Aktuální (matematika) - Current (mathematics) - Wikipedia

v matematika, konkrétněji v funkční analýza, diferenciální topologie, a teorie geometrických měr, a k-proud ve smyslu Georges de Rham je funkční v prostoru kompaktně podporováno rozdíl k-formuláře, na hladké potrubí M. Proudy se formálně chovají jako Schwartzovy distribuce v prostoru diferenciálních forem, ale v geometrickém prostředí mohou představovat integraci přes podmaněl, zobecňující Diracova delta funkce, nebo obecněji dokonce směrové deriváty delta funkcí (multipóly ) rozloženy podél podmnožin M.

Definice

Nechat ${ displaystyle Omega _ {c} ^ {m} (M)}$ označit prostor hladké m-formuláře s kompaktní podpora na hladké potrubí ${ displaystyle M}$ . Proud je a lineární funkční na ${ displaystyle Omega _ {c} ^ {m} (M)}$ který je kontinuální ve smyslu distribuce. Tedy lineární funkční

{ displaystyle T colon Omega _ {c} ^ {m} (M) to mathbb {R}}

je m-dimenzionální proud, pokud je kontinuální v následujícím smyslu: Pokud sekvence ${ displaystyle omega _ {k}}$ hladkých forem, všechny podporované ve stejné kompaktní sadě, je takové, že všechny derivace všech jejich koeficientů mají tendenci jednotně k 0, když ${ displaystyle k}$ má tedy sklon k nekonečnu ${ displaystyle T ( omega _ {k})}$ inklinuje k 0.

Prostor ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {m} (M)}$ z m-dimenzionální proudy na ${ displaystyle M}$ je nemovitý vektorový prostor s operacemi definovanými

{ displaystyle (T + S) ( omega): = T ( omega) + S ( omega), qquad ( lambda T) ( omega): = lambda T ( omega).}

Velká část teorie distribuce se přenáší do proudů s minimálními úpravami. Například lze definovat Podpěra, podpora proudu ${ displaystyle T v { mathcal {D}} _ {m} (M)}$ jako doplněk největšího otevřená sada ${ displaystyle U podmnožina M}$ takhle

{ displaystyle T ( omega) = 0}

kdykoli

{ displaystyle omega in Omega _ {c} ^ {m} (U)}

The lineární podprostor z ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {m} (M)}$ skládající se z proudů s podporou (ve smyslu výše), což je kompaktní podmnožina ${ displaystyle M}$ je označen ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {m} (M)}$ .

Homologická teorie

Integrace přes kompaktní napravitelný orientované podmanifold M (s hranicí ) dimenze m definuje m-proud, označeno ${ displaystyle [[M]]}$ :

{ displaystyle [[M]] ( omega) = int _ {M} omega. ,}

Pokud hranice ∂M z M je napravitelný, pak také definuje proud integrací a na základě Stokesova věta jeden má:

{ displaystyle [[ částečné M]] ( omega) = int _ { částečné M} omega = int _ {M} d omega = [[M]] (d omega).}

To souvisí s vnější derivace d s hraniční operátor ∂ na homologie z M.

S ohledem na tento vzorec můžeme definovat A hraniční operátor na libovolné proudy

{ displaystyle částečné tlusté střevo { mathcal {D}} _ {m + 1} až { mathcal {D}} _ {m}}

prostřednictvím duality s vnějším derivátem

{ displaystyle ( částečné T) ( omega): = T (d omega) ,}

pro všechny kompaktně podporované m-formy ω.

Určité podtřídy proudů, které jsou uzavřeny pod ${ displaystyle částečné}$ lze použít místo všech proudů k vytvoření teorie homologie, která může uspokojit Eilenberg – Steenrodovy axiomy v určitých případech. Klasickým příkladem je podtřída integrálních proudů na Lipschitzově sousedství.

Topologie a normy

Prostor proudů je přirozeně vybaven slabá topologie, který bude dále jednoduše nazýván slabá konvergence. A sekvence T_k proudů, konverguje do proudu T -li

{ displaystyle T_ {k} ( omega) až T ( omega), qquad forall omega. ,}

Je možné definovat několik normy na podprostorech prostoru všech proudů. Jednou z takových norem je hromadná norma. Pokud ω je m-forma, pak definujte jeho komas podle

{ displaystyle | omega |: = sup {| langle omega, xi rangle | colon xi { mbox {je jednotka, jednoduchá,}} m { mbox {-vector} } }.}

Takže pokud ω je a jednoduchý m-forma, pak její hmotnostní normou je obvyklá L^∞-norm jeho koeficientu. The Hmotnost proudu T je pak definována jako

{ displaystyle mathbf {M} (T): = sup {T ( omega) colon sup _ {x} | vert omega (x) | vert leq 1 }.}

Hmotnost proudu představuje vážená plocha zobecněného povrchu. Proud takový, že M(T) <∞ je reprezentovatelný integrací běžného Borelova opatření verzí Rieszova věta o reprezentaci. Toto je výchozí bod homologická integrace.

Mezilehlou normou je Whitney plochá norma, definován

{ displaystyle mathbf {F} (T): = inf { mathbf {M} (T- částečné A) + mathbf {M} (A) dvojtečka A v { mathcal {E}} _ {m + 1} }.}

Dva proudy jsou si blízké v masové normě, pokud se shodují od malé části. Na druhou stranu jsou v ploché normě blízko, pokud se shodují až do malé deformace.

Příklady

Odvolej to

{ displaystyle Omega _ {c} ^ {0} ( mathbb {R} ^ {n}) equiv C_ {c} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) ,}

takže následující definuje 0-proud:

{ displaystyle T (f) = f (0). ,}

Zejména každý podepsaný pravidelné opatření ${ displaystyle mu}$ je 0-proud:

{ Displaystyle T (f) = int f (x) , d mu (x).}

Nechť (X, y, z) jsou souřadnice v ℝ³. Následující text definuje 2-proud (jeden z mnoha):

{ displaystyle T (a , dx klín dy + b , dy klín dz + c , dx klín dz) = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} b (x, y, 0) , dx , dy.}

Viz také

Reference

de Rham, G. (1973), Variétés Différentiables„Actualites Scientifiques et Industrielles (ve francouzštině), 1222 (3. vyd.), Paris: Hermann, s. X + 198, Zbl 0284.58001.
Federer, Herbert (1969), Teorie geometrických měr, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153, Berlín – Heidelberg – New York: Springer-Verlag, str. xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, PAN 0257325, Zbl 0176.00801.
Whitney, H. (1957), Teorie geometrické integrace, Princeton Mathematical Series, 21, Princeton, NJ a Londýn: Princeton University Press a Oxford University Press, s. XV + 387, PAN 0087148, Zbl 0083.28204.
Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2003), Teorie geometrických měr: Úvod, Pokročilá matematika (Peking / Boston), 1, Peking / Boston: Science Press / International Press, s. X + 237, ISBN 978-1-57146-125-4, PAN 2030862, Zbl 1074.49011

Tento článek včlení materiál od aktuálního dne PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.