Besselova funkce - Bessel function

Besselovy funkce jsou radiální částí režimů vibrací kruhového bubnu.

Besselovy funkce, nejprve definovaný matematikem Daniel Bernoulli a poté zobecnit Friedrich Bessel, jsou kanonická řešení y(X) Besselova diferenciální rovnice

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} + vlevo (x ^ {2} -alpha ^ {2} ight) y = 0}$

pro svévolné komplexní číslo α, objednat Besselovy funkce. Ačkoli α a −α vytvořit stejnou diferenciální rovnici, je běžné definovat různé Besselovy funkce pro tyto dvě hodnoty takovým způsobem, že Besselovy funkce jsou většinou hladké funkce α.

Nejdůležitější případy jsou kdy α je celé číslo nebo napůl celé číslo. Besselovy funkce pro celé číslo α jsou také známé jako funkce válce nebo válcové harmonické protože se objevují v řešení Laplaceova rovnice v válcové souřadnice. Sférické Besselovy funkce s polovičním celým číslem α jsou získány, když Helmholtzova rovnice je vyřešen v sférické souřadnice.

Aplikace Besselových funkcí

Besselova rovnice vyvstává při hledání oddělitelných řešení Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice ve válcovém nebo sférické souřadnice. Besselovy funkce jsou proto zvláště důležité pro mnoho problémů šíření vln a statické potenciály. Při řešení problémů ve válcových souřadnicových systémech získáme Besselovy funkce celočíselného řádu (α = n); ve sférických problémech získá člověk celočíselné objednávky (α = n + 1/2). Například:

• Elektromagnetické vlny ve válcovém tvaru vlnovod
• Amplitudy tlaku neviditelný rotační toky
• Vedení tepla ve válcovitém předmětu
• Režimy vibrací tenkého kruhu (nebo prstence) akustická membrána (například a buben nebo jiný membranofon )
• Difúzní problémy na mřížce
• Řešení radiálu Schrödingerova rovnice (ve sférických a válcových souřadnicích) pro volnou částici
• Řešení pro vzorce akustického záření
• Frekvenčně závislé tření v kruhových potrubích
• Dynamika plovoucích těles
• Úhlové rozlišení
• Difrakce od spirálových objektů, včetně DNA
• Funkce hustoty pravděpodobnosti součinu dvou normálně distribuovaných náhodných proměnných

Besselovy funkce se objevují také v dalších problémech, jako je zpracování signálu (např. Viz FM syntéza, Okno Kaiser nebo Besselův filtr ).

Definice

Protože se jedná o lineární diferenciální rovnici druhého řádu, musí existovat dvě lineárně nezávislé řešení. V závislosti na okolnostech jsou však vhodné různé formulace těchto řešení. Různé varianty jsou shrnuty v tabulce níže a popsány v následujících částech.

Typ	První druh	Druhý druh
Besselovy funkce	Jα	Yα
Upravené Besselovy funkce	Jáα	K.α
Hankel funkce	H(1) α = Jα + iYα	H(2) α = Jα − iYα
Sférické Besselovy funkce	jn	yn
Funkce sférického Hankela	h(1) n = jn + iyn	h(2) n = jn − iyn

Besselovy funkce druhého druhu a sférické Besselovy funkce druhého druhu jsou někdy označovány N_n a n_n respektive spíše než Y_n a y_n.^[1][2]

Besselovy funkce prvního druhu: J_α

Besselovy funkce prvního druhu, označené jako J_α(X), jsou řešení Besselovy diferenciální rovnice, která jsou konečná v počátku (X = 0) pro celé číslo nebo kladnéα a rozcházejí se jako X se blíží nule pro záporné jiné než celé čísloα. Funkci je možné definovat pomocí rozšíření série kolem X = 0, které lze nalézt použitím Frobeniova metoda k Besselově rovnici:^[3]

${displaystyle J_ {alpha} (x) = součet _ {m = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {m}} {m! gama (m + alfa +1)}} {vlevo ({ frac {x} {2}} ight)} ^ {2m + alpha},}$

kde Γ (z) je funkce gama, posunuté zobecnění faktoriál funkce na jiné než celočíselné hodnoty. Besselova funkce prvního druhu je celá funkce -li α je celé číslo, jinak je a funkce s více hodnotami se singularitou na nule. Grafy Besselových funkcí vypadají zhruba jako oscilační sinusové nebo kosinové funkce, které se úměrně rozpadají ${displaystyle x ^ {- {frac {1} {2}}}}$ (viz také jejich asymptotické formy níže), i když jejich kořeny nejsou obecně periodické, s výjimkou asymptoticky pro velké X. (Série to naznačuje −J₁(X) je derivát J₀(X), hodně jako −sin X je derivát cos X; obecněji derivát J_n(X) lze vyjádřit pomocí J_{n ± 1}(X) podle identit níže.)

Spiknutí Besselovy funkce prvního druhu, J_α(X), pro celočíselné objednávky α = 0, 1, 2

Pro jiné než celé číslo α, funkce J_α(X) a J_−α(X) jsou lineárně nezávislé a jsou tedy dvěma řešeními diferenciální rovnice. Na druhou stranu pro celočíselné pořadí n, je platný následující vztah (funkce gama má jednoduché póly u každého z pozitivních celých čísel):^[4]

${displaystyle J _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n} J_ {n} (x).}$

To znamená, že tato dvě řešení již nejsou lineárně nezávislá. V tomto případě se pak zjistí, že druhým lineárně nezávislým řešením je Besselova funkce druhého druhu, jak je popsáno níže.

Besselovy integrály

Další definice Besselovy funkce pro celočíselné hodnoty n, je možné pomocí integrálního vyjádření:^[5]

${displaystyle J_ {n} (x) = {frac {1} {pi}} int _ {0} ^ {pi} cos (n au -xsin au), d au.}$

Další integrální reprezentace je:^[5]

${displaystyle J_ {n} (x) = {frac {1} {2pi}} int _ {- pi} ^ {pi} e ^ {i (xsin au -n au)}, d au.}$

To byl přístup, který použil Bessel, az této definice odvodil několik vlastností funkce. Definici lze rozšířit na neceločíselné objednávky jedním ze Schläfliho integrálů, například Re(X) > 0:^{[5][6][7][8][9]}

${displaystyle J_ {alpha} (x) = {frac {1} {pi}} int _ {0} ^ {pi} cos (alpha au -xsin au), d au - {frac {sin alpha pi} {pi} } int _ {0} ^ {infty} e ^ {- xsinh t-alpha t}, dt.}$

Vztah k hypergeometrické řadě

Besselovy funkce lze vyjádřit pomocí zobecněná hypergeometrická řada tak jako^[10]

${displaystyle J_ {alpha} (x) = {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {Gamma (alpha +1)}}; _ {0} F_ {1} left (alfa +1; - {frac {x ^ {2}} {4}} vpravo).}$

Tento výraz souvisí s vývojem Besselových funkcí z hlediska Funkce Bessel – Clifford.

Vztah k Laguerrovým polynomům

Z hlediska Laguerrovy polynomy L_k a libovolně zvolený parametr tlze Besselovu funkci vyjádřit jako^[11]

${displaystyle {frac {J_ {alpha} (x)} {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}}} = {frac {e ^ {- t}} {Gamma (alfa +1 )}} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {L_ {k} ^ {(alfa)} vlevo ({frac {x ^ {2}} {4t}} ight)} {jiný {k + alpha} {k}}} {frac {t ^ {k}} {k!}}.}$

Besselovy funkce druhého druhu: Y_α

Besselovy funkce druhého druhu, označené Y_α(X), místo toho příležitostně označeno N_α(X), jsou řešení Besselovy diferenciální rovnice, která mají v počátku singularitu (X = 0) a jsou více hodnot. Někdy se jim říká Weber funkce, jak byly představeny H. M. Weber  (1873 ), a také Neumannovy funkce po Carl Neumann.^[12]

Spiknutí Besselovy funkce druhého druhu, Y_α(X), pro celočíselné objednávky α = 0, 1, 2

Pro jiné než celé číslo α, Y_α(X) je spojen s J_α(X) podle

${displaystyle Y_ {alpha} (x) = {frac {J_ {alpha} (x) cos (alpha pi) -J _ {- alpha} (x)} {sin (alpha pi)}}.}$

V případě celočíselného pořadí n, funkce je definována tím, že limit vezmeme jako jiné než celé číslo α má sklony k n:

${displaystyle Y_ {n} (x) = lim _ {alpha o n} Y_ {alpha} (x).}$

Li n je nezáporné celé číslo, máme řadu^[13]

${displaystyle Y_ {n} (z) = - {frac {left ({frac {z} {2}} ight) ^ {- n}} {pi}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} {frac {(nk-1)!} {k!}} vlevo ({frac {z ^ {2}} {4}} ight) ^ {k} + {frac {2} {pi}} J_ {n} (z) ln {frac {z} {2}} - {frac {left ({frac {z} {2}} ight) ^ {n}} {pi}} součet _ {k = 0} ^ {infty} (psi (k + 1) + psi (n + k + 1)) {frac {left (- {frac {z ^ {2}} {4}} ight) ^ {k}} {k! (n + k )!}}}$

kde ${displaystyle psi (z)}$ je funkce digamma, logaritmická derivace z funkce gama.^[14]

K dispozici je také odpovídající integrální vzorec (pro Re(X) > 0):^[15]

${displaystyle Y_ {n} (x) = {frac {1} {pi}} int _ {0} ^ {pi} sin (xsin heta -n heta), d heta - {frac {1} {pi}} int _ {0} ^ {infty} left (e ^ {nt} + (- 1) ^ {n} e ^ {- nt} ight) e ^ {- xsinh t}, dt.}$

Y_α(X) je nezbytné jako druhé lineárně nezávislé řešení Besselovy rovnice, když α je celé číslo. Ale Y_α(X) má větší význam než to. Lze jej považovat za „přirozeného“ partnera společnosti J_α(X). Viz také podsekce o Hankových funkcích níže.

Když α je celé číslo, navíc, jak tomu bylo obdobně u funkcí prvního druhu, platí následující vztah:

${displaystyle Y _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n} Y_ {n} (x).}$

Oba J_α(X) a Y_α(X) jsou holomorfní funkce z X na složité letadlo řez podél záporné reálné osy. Když α je celé číslo, Besselovy funkce J jsou celé funkce z X. Li X je udržována pevně na nenulové hodnotě, pak jsou Besselovy funkce celé funkce α.

Besselovy funkce druhého druhu, když α je celé číslo je příkladem druhého druhu řešení v Fuchsova věta.

Hankel funkce: H⁽¹⁾
_α, H⁽²⁾
_α

Další důležitou formulací dvou lineárně nezávislých řešení Besselovy rovnice jsou Hankelovy funkce prvního a druhého druhu, H⁽¹⁾
_α(X) a H⁽²⁾
_α(X), definováno jako^[16]

${displaystyle {egin {aligned} H_ {alpha} ^ {(1)} (x) & = J_ {alpha} (x) + iY_ {alpha} (x), H_ {alpha} ^ {(2)} ( x) & = J_ {alpha} (x) -iY_ {alpha} (x), konec {zarovnáno}}}$

kde i je imaginární jednotka. Tyto lineární kombinace jsou také známé jako Besselovy funkce třetího druhu; jsou to dvě lineárně nezávislá řešení Besselovy diferenciální rovnice. Jsou pojmenovány po Hermann Hankel.

Tyto formy lineární kombinace uspokojují řadu jednoduše vypadajících vlastností, jako jsou asymptotické vzorce nebo integrální reprezentace. „Jednoduchý“ zde znamená vzhled faktoru formuláře E^i F(X). Besselovu funkci druhého druhu lze tedy považovat za přirozenou jako imaginární součást Hankelových funkcí.

Funkce Hankel se používají k vyjádření vnějšího a vnitřního šíření řešení válcových vln rovnice válcových vln (nebo naopak, v závislosti na podepsat konvenci pro frekvence ).

Pomocí předchozích vztahů je lze vyjádřit jako

${displaystyle {egin {aligned} H_ {alpha} ^ {(1)} (x) & = {frac {J _ {- alpha} (x) -e ^ {- alpha pi i} J_ {alpha} (x)} {isin alpha pi}}, H_ {alpha} ^ {(2)} (x) & = {frac {J _ {- alpha} (x) -e ^ {alpha pi i} J_ {alpha} (x)} {-isin alpha pi}}. end {aligned}}}$

Li α je celé číslo, je třeba vypočítat limit. Platné jsou následující vztahy α je celé číslo nebo ne:^[17]

${displaystyle {egin {aligned} H _ {- alpha} ^ {(1)} (x) & = e ^ {alpha pi i} H_ {alpha} ^ {(1)} (x), H _ {- alpha} ^ {(2)} (x) & = e ^ {- alfa pi i} H_ {alpha} ^ {(2)} (x) .end {zarovnáno}}}$

Zejména pokud α = m + 1/2 s m nezáporné celé číslo, z výše uvedených vztahů přímo vyplývá, že

${displaystyle {egin {aligned} J _ {- (m + {frac {1} {2}})} (x) & = (- 1) ^ {m + 1} Y_ {m + {frac {1} {2}} } (x), Y _ {- (m + {frac {1} {2}})} (x) & = (- 1) ^ {m} J_ {m + {frac {1} {2}}} (x ). end {zarovnáno}}}$

Jsou užitečné při vývoji sférických Besselových funkcí (viz níže).

Funkce Hankel připouštějí následující integrální reprezentace pro Re(X) > 0:^[18]

${displaystyle {egin {aligned} H_ {alpha} ^ {(1)} (x) & = {frac {1} {pi i}} int _ {- infty} ^ {+ infty + ipi} e ^ {xsinh t -alpha t}, dt, H_ {alpha} ^ {(2)} (x) & = - {frac {1} {pi i}} int _ {- infty} ^ {+ infty -ipi} e ^ { xsinh t-alpha t}, dt, end {zarovnáno}}}$

kde integrační limity označují integraci podél a obrys které lze zvolit následovně: od −∞ na 0 podél záporné reálné osy, od 0 do ±iπ podél imaginární osy a od ±iπ na +∞ ± iπ podél obrysu rovnoběžného se skutečnou osou.^[15]

Upravené Besselovy funkce: Já_α, K._α

Funkce Bessel jsou platné i pro komplex argumenty X, a důležitým zvláštním případem je případ čistě imaginárního argumentu. V tomto případě se řešení Besselovy rovnice nazývá upravené Besselovy funkce (nebo příležitostně hyperbolické Besselovy funkce) prvního a druhého druhu a jsou definovány jako^[19]

${displaystyle {egin {aligned} I_ {alpha} (x) & = i ^ {- alpha} J_ {alpha} (ix) = sum _ {m = 0} ^ {infty} {frac {1} {m !, Gamma (m + alfa +1)}} vlevo ({frac {x} {2}} vpravo) ^ {2m + alfa}, K_ {alpha} (x) & = {frac {pi} {2}} { frac {I _ {- alpha} (x) -I_ {alpha} (x)} {sin alpha pi}}, konec {zarovnáno}}}$

když α není celé číslo; když α je celé číslo, použije se limit. Ty jsou vybrány tak, aby byly skutečně oceněny pro skutečné a pozitivní argumenty X. Rozšíření série pro Já_α(X) je tedy podobný tomu pro J_α(X), ale bez střídání (−1)^m faktor.

${displaystyle K_ {alpha}}$ lze vyjádřit pomocí Hankelových funkcí:

${displaystyle K_ {alpha} = {egin {cases} {frac {pi} {2}} i ^ {alpha +1} H_ {alpha} ^ {(1)} (ix) & - pi$

Můžeme vyjádřit první a druhou Besselovu funkci z hlediska upravených Besselových funkcí (jsou platné, pokud −π z ≤ π/2):^[20]

${displaystyle {egin {aligned} J_ {alpha} (iz) & = e ^ {frac {alpha ipi} {2}} I_ {alpha} (z), Y_ {alpha} (iz) & = e ^ {frac {(alpha +1) ipi} {2}} I_ {alpha} (z) - {frac {2} {pi}} e ^ {- {frac {alpha ipi} {2}}} K_ {alpha} (z ). end {zarovnáno}}}$

Já_α(X) a K._α(X) jsou dvě lineárně nezávislá řešení upravená Besselova rovnice:^[21]

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} - vlevo (x ^ {2} + alfa ^ {2} ight) y = 0.}$

Na rozdíl od běžných Besselových funkcí, které oscilují jako funkce skutečného argumentu, Já_α a K._α jsou exponenciálně roste a rozpadající se funkce. Jako běžná Besselova funkce J_α, funkce Já_α jde na nulu v X = 0 pro α > 0 a je konečný v X = 0 pro α = 0. Analogicky, K._α rozchází se X = 0 se singularitou logaritmického typu pro K.₀, a ½Γ (|α|)(2/X)^|α| v opačném případě.^[22]

Upravené Besselovy funkce prvního druhu, Jáα(X), pro α = 0, 1, 2, 3

Modifikované Besselovy funkce druhého druhu, K.α(X), pro α = 0, 1, 2, 3

Dva integrální vzorce pro upravené Besselovy funkce jsou (pro Re(X) > 0):^[23]

${displaystyle {egin {aligned} I_ {alpha} (x) & = {frac {1} {pi}} int _ {0} ^ {pi} e ^ {xcos heta} cos alpha heta, d heta - {frac { sin alpha pi} {pi}} int _ {0} ^ {infty} e ^ {- xcosh t-alpha t}, dt, K_ {alpha} (x) & = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- xcosh t} cosh alpha t, dt.end {zarovnáno}}}$

Besselovy funkce lze popsat jako Fourierovy transformace sil kvadratických funkcí. Například:

${displaystyle 2, K_ {0} (omega) = int _ {- infty} ^ {infty} {frac {e ^ {iomega t}} {sqrt {t ^ {2} +1}}}, dt.}$

Lze to prokázat prokázáním rovnosti výše uvedené integrální definici pro K.₀. To se provádí integrací uzavřené křivky v prvním kvadrantu komplexní roviny.

Upravené Besselovy funkce K._1/3 a K._2/3 lze vyjádřit z hlediska rychle konvergentních integrálů^[24]

${displaystyle {egin {aligned} K_ {frac {1} {3}} (xi) & = {sqrt {3}} int _ {0} ^ {infty} exp left (-xi left (1+ {frac {4x ^ {2}} {3}} ight) {sqrt {1+ {frac {x ^ {2}} {3}}}} ight), dx, K_ {frac {2} {3}} (xi) & = {frac {1} {sqrt {3}}} int _ {0} ^ {infty} {frac {3 + 2x ^ {2}} {sqrt {1+ {frac {x ^ {2}} {3 }}}}} exp vlevo (-xi vlevo (1+ {frac {4x ^ {2}} {3}} ight) {sqrt {1+ {frac {x ^ {2}} {3}}}} vpravo ), dx.end {zarovnáno}}}$

The modifikovaná Besselova funkce druhého druhu byl také nazýván následujícími jmény (nyní vzácnými):

• Funkce Basset po Alfred Barnard Basset
• Modifikovaná Besselova funkce třetího druhu
• Upravená Hankelova funkce^[25]
• Macdonaldova funkce po Hector Munro Macdonald

Funkce sférického Bessela: j_n, y_n

Sférické Besselovy funkce prvního druhu, j_n(X), pro n = 0, 1, 2

Sférické Besselovy funkce druhého druhu, y_n(X), pro n = 0, 1, 2

Při řešení Helmholtzova rovnice ve sférických souřadnicích oddělením proměnných má radiální rovnice tvar

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x {frac {dy} {dx}} + vlevo (x ^ {2} -n (n + 1 ) ight) y = 0.}$

Dvě lineárně nezávislá řešení této rovnice se nazývají sférické Besselovy funkce j_n a y_n, a souvisí s běžnými Besselovými funkcemi J_n a Y_n podle^[26]

${displaystyle {egin {aligned} j_ {n} (x) & = {sqrt {frac {pi} {2x}}} J_ {n + {frac {1} {2}}} (x), y_ {n} (x) & = {sqrt {frac {pi} {2x}}} Y_ {n + {frac {1} {2}}} (x) = (- 1) ^ {n + 1} {sqrt {frac {pi } {2x}}} J _ {- n- {frac {1} {2}}} (x) .end {zarovnáno}}}$

y_n je také označen n_n nebo η_n; někteří autoři nazývají tyto funkce sférické Neumannovy funkce.

Sférické Besselovy funkce lze také psát jako (Rayleighovy vzorce)^[27]

${displaystyle {egin {aligned} j_ {n} (x) & = (- x) ^ {n} vlevo ({frac {1} {x}} {frac {d} {dx}} vpravo) ^ {n} {frac {sin x} {x}}, y_ {n} (x) & = - (- x) ^ {n} vlevo ({frac {1} {x}} {frac {d} {dx}} ight) ^ {n} {frac {cos x} {x}}. konec {zarovnáno}}}$

První sférická Besselova funkce j₀(X) je také známý jako (nenormalizovaný) funkce sinc. Prvních několik sférických Besselových funkcí je:^[28]

${displaystyle {egin {aligned} j_ {0} (x) & = {frac {sin x} {x}}. j_ {1} (x) & = {frac {sin x} {x ^ {2}} } - {frac {cos x} {x}}, j_ {2} (x) & = left ({frac {3} {x ^ {2}}} - 1ight) {frac {sin x} {x} } - {frac {3cos x} {x ^ {2}}}, j_ {3} (x) & = left ({frac {15} {x ^ {3}}} - {frac {6} {x }} ight) {frac {sin x} {x}} - vlevo ({frac {15} {x ^ {2}}} - 1ight) {frac {cos x} {x}} konec {zarovnáno}}}$

a^[29]

${displaystyle {egin {aligned} y_ {0} (x) & = - j _ {- 1} (x) = - {frac {cos x} {x}}, y_ {1} (x) & = j_ { -2} (x) = - {frac {cos x} {x ^ {2}}} - {frac {sin x} {x}}, y_ {2} (x) & = - j _ {- 3} (x) = left (- {frac {3} {x ^ {2}}} + 1ight) {frac {cos x} {x}} - {frac {3sin x} {x ^ {2}}}, y_ {3} (x) & = j _ {- 4} (x) = vlevo (- {frac {15} {x ^ {3}}} + {frac {6} {x}} ight) {frac {cos x} {x}} - vlevo ({frac {15} {x ^ {2}}} - 1 světlo) {frac {sin x} {x}}. konec {zarovnáno}}}$

Generující funkce

Sférické Besselovy funkce mají generující funkce^[30]

${displaystyle {egin {aligned} {frac {1} {z}} cos left ({sqrt {z ^ {2} -2zt}} ight) & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {t ^ {n}} {n!}} j_ {n-1} (z), {frac {1} {z}} hřích doleva ({sqrt {z ^ {2} -2zt}} ight) & = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {t ^ {n}} {n!}} y_ {n-1} (z). end {aligned}}}$

Diferenciální vztahy

V následujícím, F_n je některý z j_n, y_n, h⁽¹⁾
_n, h⁽²⁾
_n pro n = 0, ±1, ±2, ...^[31]

${displaystyle {egin {aligned} left ({frac {1} {z}} {frac {d} {dz}} ight) ^ {m} left (z ^ {n + 1} f_ {n} (z) ight ) & = z ^ {n-m + 1} f_ {nm} (z), left ({frac {1} {z}} {frac {d} {dz}} ight) ^ {m} left (z ^ {- n} f_ {n} (z) ight) & = (- 1) ^ {m} z ^ {- nm} f_ {n + m} (z). end {zarovnáno}}}$

Funkce sférického Hankela: h⁽¹⁾
_n, h⁽²⁾
_n

Existují také sférické analogy Hankelových funkcí:

${displaystyle {egin {aligned} h_ {n} ^ {(1)} (x) & = j_ {n} (x) + iy_ {n} (x), h_ {n} ^ {(2)} ( x) & = j_ {n} (x) -iy_ {n} (x) .end {zarovnáno}}}$

Ve skutečnosti existují jednoduché výrazy uzavřené formy pro Besselovy funkce napůl celé číslo pořadí ve smyslu normy trigonometrické funkce, a tedy pro sférické Besselovy funkce. Zejména pro nezáporná celá čísla n:

${displaystyle h_ {n} ^ {(1)} (x) = (- i) ^ {n + 1} {frac {e ^ {ix}} {x}} součet _ {m = 0} ^ {n} {frac {i ^ {m}} {m!, (2x) ^ {m}}} {frac {(n + m)!} {(nm)!}},}$

a h⁽²⁾
_n je komplexní konjugát tohoto (ve skutečnosti X). Z toho například vyplývá j₀(X) = hřích X/X a y₀(X) = −cos X/X, a tak dále.

Sférické Hankelovy funkce se objevují v problémech, které se jich týkají sférická vlna propagace, například v multipólová expanze elektromagnetického pole.

Funkce Riccati – Bessel: S_n, C_n, ξ_n, ζ_n

Riccati –Besselovy funkce se jen mírně liší od sférických Besselovských funkcí:

${displaystyle {egin {aligned} S_ {n} (x) & = xj_ {n} (x) = {sqrt {frac {pi x} {2}}} J_ {n + {frac {1} {2}}} (x) C_ {n} (x) & = - xy_ {n} (x) = - {sqrt {frac {pi x} {2}}} Y_ {n + {frac {1} {2}}} ( x) xi _ {n} (x) & = xh_ {n} ^ {(1)} (x) = {sqrt {frac {pi x} {2}}} H_ {n + {frac {1} {2 }}} ^ {(1)} (x) = S_ {n} (x) -iC_ {n} (x) zeta _ {n} (x) & = xh_ {n} ^ {(2)} ( x) = {sqrt {frac {pi x} {2}}} H_ {n + {frac {1} {2}}} ^ {(2)} (x) = S_ {n} (x) + iC_ {n } (x) konec {zarovnáno}}}$

Vyhovují diferenciální rovnici

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + vlevo (x ^ {2} -n (n + 1) ight) y = 0.}$

Například tento druh diferenciální rovnice se objevuje v kvantová mechanika při řešení radiální složky Schrödingerova rovnice s hypotetickou válcovou nekonečnou potenciální bariérou.^[32] Tato diferenciální rovnice a Riccati-Besselova řešení také vyvstávají v problému rozptylu elektromagnetických vln koulí známou jako Mie rozptyl po prvním publikovaném řešení Mie (1908). Viz např. Du (2004)^[33] pro nejnovější vývoj a reference.

Následující Debye (1909), notace ψ_n, χ_n se někdy používá místo S_n, C_n.

Asymptotické formy

Funkce Bessel mají následující asymptotické formuláře. Pro malé argumenty 0 < z ≪ √α + 1, jeden získá, když α není záporné celé číslo:^[3]

${displaystyle J_ {alpha} (z) sim {frac {1} {Gamma (alpha +1)}} vlevo ({frac {z} {2}} vpravo) ^ {alpha}.}$

Když α je záporné celé číslo, máme

${displaystyle J_ {alpha} (z) sim {frac {(-1) ^ {alpha}} {(- alfa)!}} vlevo ({frac {2} {z}} vpravo) ^ {alpha}.}$

Pro Besselovu funkci druhého druhu máme tři případy:

${displaystyle Y_ {alpha} (z) sim {egin {cases} {dfrac {2} {pi}} left (ln left ({dfrac {z} {2}} ight) + gamma ight) & {ext {if} } alpha = 0 - {dfrac {Gamma (alpha)} {pi}} vlevo ({dfrac {2} {z}} ight) ^ {alpha} + {dfrac {1} {Gamma (alfa +1)}} left ({dfrac {z} {2}} ight) ^ {alpha} cot (alpha pi) & {ext {if}} alpha {ext {is not a non positive positive integer (one term dominates unless}} alpha {ext {is imaginary)}}, - {dfrac {(-1) ^ {alpha} Gamma (-alpha)} {pi}} left ({dfrac {z} {2}} ight) ^ {alpha} & {ext {if}} alfa {ext {je záporné celé číslo,}} konec {případů}}}$

kde y je Euler – Mascheroniho konstanta (0.5772...).

Pro velké skutečné argumenty z ≫ |α² − 1/4|, nelze pro Besselovy funkce prvního a druhého druhu napsat skutečnou asymptotickou formu (pokud α je napůl celé číslo ) protože mají nuly až do nekonečna, které by muselo přesně odpovídat jakékoli asymptotické expanzi. Avšak pro danou hodnotu arg z lze napsat rovnici obsahující řádový člen |z|⁻¹:^[34]

${displaystyle {egin {aligned} J_ {alpha} (z) & = {sqrt {frac {2} {pi z}}} left (cos left (z- {frac {alpha pi} {2}} - {frac { pi} {4}} ight) + e ^ {left | operatorname {Im} (z) ight |} mathrm {O} left (| z | ^ {- 1} ight) ight) && {ext {for}} left | arg zight |$

(Pro α = 1/2 poslední výrazy v těchto vzorcích vypadnou úplně; viz sférické Besselovy funkce výše.) I když jsou tyto rovnice pravdivé, pro komplex mohou být k dispozici lepší aproximace z. Například, J₀(z) když z je blízko záporné reálné linie je lépe aproximováno o

${displaystyle J_ {0} (z) cca {sqrt {frac {-2} {pi z}}} protože zbývá (z + {frac {pi} {4}} vpravo)}$

než

${displaystyle J_ {0} (z) zbývá přibližně {sqrt {frac {2} {pi z}}} (z- {frac {pi} {4}} vpravo).}$

Asymptotické formy pro Hankelovy funkce jsou:

${displaystyle {egin {aligned} H_ {alpha} ^ {(1)} (z) & sim {sqrt {frac {2} {pi z}}} e ^ {ileft (z- {frac {alpha pi} {2} } - {frac {pi} {4}} ight)} && {ext {for}} - pi$

Ty lze rozšířit na další hodnoty arg z pomocí vztahujících se rovnic H⁽¹⁾
_α(ze^imπ) a H⁽²⁾
_α(ze^imπ) na H⁽¹⁾
_α(z) a H⁽²⁾
_α(z).^[35]

Je zajímavé, že ačkoli Besselova funkce prvního druhu je průměrem dvou Hankelových funkcí, J_α(z) není asymptotický k průměru těchto dvou asymptotických forem, když z je záporný (protože jeden nebo druhý tam nebude správný, v závislosti na arg z použitý). Ale asymptotické formy pro Hankelovy funkce nám umožňují psát asymptotické formy pro Besselovy funkce prvního a druhého druhu pro komplex (nereálné) z Pokud |z| jde do nekonečna při konstantním fázovém úhlu arg z (pomocí druhé odmocniny s pozitivní skutečnou částí):

${displaystyle {egin {aligned} J_ {alpha} (z) & sim {frac {1} {sqrt {2pi z}}} e ^ {ileft (z- {frac {alpha pi} {2}} - {frac {pi } {4}} ight)} && {ext {for}} - pi$

Pro upravené Besselovy funkce Hankel rozvinutý asymptotické (velké argumenty) expanze také:^[36][37]

${displaystyle {egin {aligned} I_ {alpha} (z) & sim {frac {e ^ {z}} {sqrt {2pi z}}} vlevo (1- {frac {4alpha ^ {2} -1} {8z} } + {frac {left (4alpha ^ {2} -1ight) left (4alpha ^ {2} -9ight)} {2! (8z) ^ {2}}} - {frac {left (4alpha ^ {2} - 1ight) left (4alpha ^ {2} -9ight) left (4alpha ^ {2} -25ight)} {3! (8z) ^ {3}}} + cdots ight) && {ext {for}} left | arg zight | <{frac {pi} {2}}, K_ {alpha} (z) & sim {sqrt {frac {pi} {2z}}} e ^ {- z} vlevo (1+ {frac {4alpha ^ {2 } -1} {8z}} + {frac {left (4alpha ^ {2} -1ight) left (4alpha ^ {2} -9ight)} {2! (8z) ^ {2}}} + {frac {left (4alpha ^ {2} -1ight) vlevo (4alpha ^ {2} -9ight) vlevo (4alpha ^ {2} -25ight)} {3! (8z) ^ {3}}} + cdots ight) && {ext { pro}} vlevo | arg zight | <{frac {3pi} {2}}. konec {zarovnáno}}}$

Když α = 1/2, všechny výrazy kromě prvního zmizí a my máme

${displaystyle {egin {aligned} I_ {frac {1} {2}} (z) & = {sqrt {frac {2} {pi z}}} sinh (z) sim {frac {e ^ {z}} { sqrt {2pi z}}} && {ext {for}} vlevo | arg zight | <{frac {pi} {2}}, K_ {frac {1} {2}} (z) & = {sqrt {frac {pi} {2z}}} e ^ {- z} .end {zarovnáno}}}$

Pro malé argumenty 0 < |z| ≪ √α + 1, my máme

${displaystyle {egin {aligned} I_ {alpha} (z) & sim {frac {1} {Gamma (alpha +1)}} left ({frac {z} {2}} ight) ^ {alpha}, K_ { alpha} (z) & sim {egin {cases} -ln left ({dfrac {z} {2}} ight) -gamma & {ext {if}} alpha = 0 {frac {Gamma (alpha)} {2} } left ({dfrac {2} {z}} ight) ^ {alpha} & {ext {if}} alpha> 0end {cases}} end {aligned}}}$

Aproximace celé domény se základními funkcemi

Velmi dobrá aproximace (chyba níže ${displaystyle 0,3 \%}$ maximální hodnoty 1)^{[Citace je zapotřebí ]} Besselovy funkce ${displaystyle J_ {0}}$ pro libovolnou hodnotu argumentu X lze získat s elementárními funkcemi spojením trigonometrické aproximace pracující pro menší hodnoty X s výrazem obsahujícím oslabenou kosinovou funkci platnou pro velké argumenty s využitím funkce plynulého přechodu ${displaystyle {frac {1} {1+ (x / 7) ^ {20}}}}$ tj.

${displaystyle J_ {0} (x) přibližně vlevo [{frac {1} {6}} + {frac {1} {3}} cos {frac {x} {2}} + {frac {1} {3} } cos {frac {{sqrt {3}} x} {2}} + {frac {1} {6}} cos xight] {frac {1} {1+ (x / 7) ^ {20}}} + {sqrt {frac {2} {pi | x |}}} protože vlevo [x- {frac {pi} {4}} operatorname {sgn} (x) ight] vlevo [1- {frac {1} {1+ (x / 7) ^ {20}}} hned].}$

Vlastnosti

Pro celočíselné pořadí α = n, J_n je často definován pomocí a Laurentova řada pro generující funkci:

${displaystyle e ^ {left ({frac {x} {2}} ight) left (t- {frac {1} {t}} ight)} = součet _ {n = -infty} ^ {infty} J_ {n } (x) t ^ {n}}$

přístup používaný P. A. Hansen v roce 1843. (Toto lze zobecnit na necelé číslo podle integrace kontury nebo jiné metody.) Dalším důležitým vztahem pro celočíselné objednávky je Jacobi – Angerova expanze:

${displaystyle e ^ {izcos phi} = součet _ {n = -infty} ^ {infty} i ^ {n} J_ {n} (z) e ^ {inphi}}$

a

${displaystyle e ^ {pm izsin phi} = J_ {0} (z) + 2sum _ {n = 1} ^ {infty} J_ {2n} (z) cos (2nphi) pm 2isum _ {n = 0} ^ { infty} J_ {2n + 1} (z) sin ((2n + 1) phi)}$

který se používá k rozšíření a rovinná vlna jako součet válcových vln, nebo najít Fourierova řada tónové modulace FM signál.

Obecněji řečeno série

${displaystyle f (z) = a_ {0} ^ {u} J_ {u} (z) + 2cdot součet _ {k = 1} ^ {infty} a_ {k} ^ {u} J_ {u + k} ( z)}$

se nazývá Neumannova expanze F. Koeficienty pro ν = 0 mít explicitní formu

${displaystyle a_ {k} ^ {0} = {frac {1} {2pi i}} int _ {| z | = c} f (z) O_ {k} (z), dz}$

kde Ó_k je Neumannův polynom.^[38]

Vybrané funkce připouštějí speciální zastoupení

${displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ {infty} a_ {k} ^ {u} J_ {u + 2k} (z)}$

s

${displaystyle a_ {k} ^ {u} = 2 (u + 2k) int _ {0} ^ {infty} f (z) {frac {J_ {u + 2k} (z)} {z}}, dz}$

kvůli vztahu ortogonality

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} J_ {alpha} (z) J_ {eta} (z) {frac {dz} {z}} = {frac {2} {pi}} {frac {sin left ( {frac {pi} {2}} (alfa - eta) ight)} {alpha ^ {2} - eta ^ {2}}}}$

Obecněji, pokud F má pobočku poblíž původu takové povahy, že

${displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} a_ {k} J_ {u + k} (z)}$

pak

${displaystyle {mathcal {L}} vlevo {sum _ {k = 0} a_ {k} J_ {u + k} ight} (s) = {frac {1} {sqrt {1 + s ^ {2}}} } součet _ {k = 0} {frac {a_ {k}} {left (s + {sqrt {1 + s ^ {2}}} ight) ^ {u + k}}}}$

nebo

${displaystyle sum _ {k = 0} a_ {k} xi ^ {u + k} = {frac {1 + xi ^ {2}} {2xi}} {mathcal {L}} {f} vlevo ({frac { 1-xi ^ {2}} {2xi}} ight)}$

kde ${displaystyle {mathcal {L}} {f}}$ je Laplaceova transformace z F.^[39]

Dalším způsobem, jak definovat Besselovy funkce, je Poissonův reprezentační vzorec a Mehler-Soninův vzorec:

${displaystyle {egin {aligned} J_ {u} (z) & = {frac {left ({frac {z} {2}} ight) ^ {u}} {Gamma left (u + {frac {1} {2 }} ight) {sqrt {pi}}}} int _ {- 1} ^ {1} e ^ {izs} left (1-s ^ {2} ight) ^ {u - {frac {1} {2} }}, ds [5px] & = {frac {2} {{left ({frac {z} {2}} ight)} ^ {u} cdot {sqrt {pi}} cdot Gamma left ({frac {1 } {2}} - u ight)}} int _ {1} ^ {infty} {frac {sin zu} {left (u ^ {2} -1ight) ^ {u + {frac {1} {2}} }}}, duend {zarovnáno}}}$

kde ν> -1/2 a z ∈ C.^[40]Tento vzorec je užitečný zejména při práci s Fourierovy transformace.

Protože Besselova rovnice se stává Hermitian (self-adjoint), pokud je vyděleno X, řešení musí vyhovovat vztahu ortogonality pro vhodné okrajové podmínky. Z toho zejména vyplývá, že:

${displaystyle int _ {0} ^ {1} xJ_ {alpha} left (xu_ {alpha, m} ight) J_ {alpha} left (xu_ {alpha, n} ight), dx = {frac {delta _ {m, n}} {2}} vlevo [J_ {alfa +1} vlevo (u_ {alpha, m} ight) ight] ^ {2} = {frac {delta _ {m, n}} {2}} vlevo [J_ {alpha} 'left (u_ {alpha, m} ight) ight] ^ {2}}$

kde α > −1, δ_m,n je Kroneckerova delta, a u_α,m je mth nula z J_α(X). Tento vztah ortogonality lze poté použít k extrakci koeficientů v Série Fourier – Bessel, kde je funkce rozšířena na základě funkcí J_α(X u_α,m) pro pevné α a různé m.

Okamžitě následuje analogický vztah pro sférické Besselovy funkce:

${displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {2} j_ {alpha} left (xu_ {alpha, m} ight) j_ {alpha} left (xu_ {alpha, n} ight), dx = {frac { delta _ {m, n}} {2}} vlevo [j_ {alpha +1} vlevo (u_ {alpha, m} ight) ight] ^ {2}}$

Pokud jeden definuje a funkce vagónu z X to záleží na malém parametru ε tak jako:

${displaystyle f_ {varepsilon} (x) = varepsilon operatorname {rect} left ({frac {x-1} {varepsilon}} ight)}$

(kde přímý je funkce obdélník ) pak Hankelova transformace z toho (jakékoli dané objednávky α > −1/2), G_ε(k), přistupuje J_α(k) tak jako ε blíží se nule, pro jakýkoli daný k. Naopak Hankelova transformace (ve stejném pořadí) z G_ε(k) je F_ε(X):

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} kJ_ {alpha} (kx) g_ {varepsilon} (k), dk = f_ {varepsilon} (x)}$

což je všude nula s výjimkou blízkosti 1. As ε blíží se nule, pravá strana se blíží δ(X − 1), kde δ je Diracova delta funkce. To připouští limit (v distribuční smysl):

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} kJ_ {alpha} (kx) J_ {alpha} (k), dk = delta (x-1)}$

Změna proměnných pak vede k uzavírací rovnice:^[41]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} xJ_ {alpha} (ux) J_ {alpha} (vx), dx = {frac {1} {u}} delta (u-v)}$

pro α > −1/2. Hankelova transformace může vyjádřit poměrně libovolnou funkci^{[je zapotřebí objasnění ]}jako integrál Besselových funkcí různých měřítek. Pro sférické Besselovy funkce je vztah ortogonality:

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} x ^ {2} j_ {alpha} (ux) j_ {alpha} (vx), dx = {frac {pi} {2u ^ {2}}} delta (uv) }$

pro α > −1.

Další důležitá vlastnost Besselových rovnic, která vyplývá z Ábelova identita, zahrnuje Wronskian řešení:

${displaystyle A_ {alpha} (x) {frac {dB_ {alpha}} {dx}} - {frac {dA_ {alpha}} {dx}} B_ {alpha} (x) = {frac {C_ {alpha}} {X}}}$

kde A_α a B_α jsou libovolná dvě řešení Besselovy rovnice a C_α je konstanta nezávislá na X (což závisí na α a na konkrétních uvažovaných Besselových funkcích). Zejména,

${displaystyle J_ {alpha} (x) {frac {dY_ {alpha}} {dx}} - {frac {dJ_ {alpha}} {dx}} Y_ {alpha} (x) = {frac {2} {pi x }}}$

a

${displaystyle I_ {alpha} (x) {frac {dK_ {alpha}} {dx}} - {frac {dI_ {alpha}} {dx}} K_ {alpha} (x) = - {frac {1} {x }},}$

pro α > −1.

Pro α > −1sudá celá funkce rodu 1, X^−αJ_α(X), má pouze skutečné nuly. Nechat

${displaystyle 0$

být tedy všechny jeho pozitivní nuly

${displaystyle J_ {alpha} (z) = {frac {left ({frac {z} {2}} ight) ^ {alpha}} {Gamma (alpha +1)}} prod _ {n = 1} ^ {infty } vlevo (1- {frac {z ^ {2}} {j_ {alpha, n} ^ {2}}} vpravo)}$

(Existuje velké množství dalších známých integrálů a identit, které zde nejsou reprodukovány, ale které lze najít v referencích.)

Vztahy opakování

Funkce J_α, Y_α, H⁽¹⁾
_α, a H⁽²⁾
_α všichni uspokojí relace opakování^[42]

${displaystyle {frac {2alpha} {x}} Z_ {alpha} (x) = Z_ {alpha -1} (x) + Z_ {alpha +1} (x)}$

a

${displaystyle 2 {frac {dZ_ {alpha} (x)} {dx}} = Z_ {alpha -1} (x) -Z_ {alpha +1} (x),}$

kde Z označuje J, Y, H⁽¹⁾nebo H⁽²⁾. Tyto dvě identity jsou často kombinovány, např. přidané nebo odečtené, aby se získaly různé další vztahy. Tímto způsobem lze například vypočítat Besselovy funkce vyšších řádů (nebo vyšších derivátů) vzhledem k hodnotám nižších řádů (nebo nižších derivátů). Z toho zejména vyplývá^[43]

${displaystyle {egin {aligned} left ({frac {1} {x}} {frac {d} {dx}} ight) ^ {m} left [x ^ {alpha} Z_ {alpha} (x) ight] & = x ^ {alpha -m} Z_ {alpha -m} (x), left ({frac {1} {x}} {frac {d} {dx}} ight) ^ {m} vlevo [{frac { Z_ {alpha} (x)} {x ^ {alpha}}} ight] & = (- 1) ^ {m} {frac {Z_ {alpha + m} (x)} {x ^ {alpha + m}} } .end {zarovnáno}}}$

Upraveno Besselovy funkce sledují podobné vztahy:

${displaystyle e ^ {left ({frac {x} {2}} ight) left (t + {frac {1} {t}} ight)} = součet _ {n = -infty} ^ {infty} I_ {n} (x) t ^ {n}}$

a

${displaystyle e ^ {zcos heta} = I_ {0} (z) + 2sum _ {n = 1} ^ {infty} I_ {n} (z) cos n heta.}$

a

${displaystyle {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} e ^ {zcos (m heta) + ycos heta} = I_ {0} (z) I_ {0} (y) + 2sum _ {n = 1} ^ {infty} I_ {n} (z) I_ {mn} (y).}$

Přečte se relace opakování

${displaystyle {egin {aligned} C_ {alpha -1} (x) -C_ {alpha +1} (x) & = {frac {2alpha} {x}} C_ {alpha} (x), C_ {alpha - 1} (x) + C_ {alpha +1} (x) & = 2 {frac {dC_ {alpha}} {dx}}, konec {zarovnáno}}}$