Rozptylová-gama distribuce - Variance-gamma distribution

varianční-gama distribuce

Parametry	${displaystyle mu}$ umístění (nemovitý ) ${displaystyle alpha}$ (nemovitý) ${displaystyle eta}$ parametr asymetrie (skutečný) ${displaystyle lambda> 0}$ tvarový parametr (použití alternativních parametrizací ${displaystyle u = 1 / lambda}$[1]) ${displaystyle gamma = {sqrt {alpha ^ {2} - eta ^ {2}}}> 0}$
Podpěra, podpora	${displaystyle xin (-infty; + infty)!}$
PDF	${displaystyle {frac {gamma ^ {2lambda} | x-mu | ^ {lambda -1/2} K_ {lambda -1/2} vlevo (alfa | x-mu | ight)} {{sqrt {pi}} gama (lambda) (2alpha) ^ {lambda -1/2}}}; e ^ {eta (x-mu)}}$ ${displaystyle K_ {lambda}}$ označuje a upravená Besselova funkce druhého druhu ${displaystyle Gamma}$ označuje Funkce gama
Znamenat	${displaystyle mu +2 eta lambda / gamma ^ {2}}$
Rozptyl	${displaystyle 2lambda (1 + 2 eta ^ {2} / gamma ^ {2}) / gamma ^ {2}}$
MGF	${displaystyle e ^ {mu z} left (gamma / {sqrt {alpha ^ {2} - (eta + z) ^ {2}}} ight) ^ {2lambda}}$

The varianční-gama distribuce, zobecněná Laplaceova distribuce^[2] nebo Distribuce Besselových funkcí^[2] je spojité rozdělení pravděpodobnosti který je definován jako normální odchylka-střední směs Kde hustota míchání je gama distribuce. Ocasy distribuce klesají pomaleji než normální distribuce. Je proto vhodné modelovat jevy, kde jsou numericky velké hodnoty pravděpodobnější, než je tomu v případě normálního rozdělení. Příkladem jsou výnosy z finančních aktiv a turbulentní rychlosti větru. Distribuci představili ve finanční literatuře Madan a Seneta.^[3] Rozptyl rozptylu-gama tvoří podtřídu zobecněné hyperbolické distribuce.

Skutečnost, že existuje jednoduchý výraz pro funkce generování momentů znamená, že jednoduché výrazy pro všechny momenty jsou dostupné. Třída distribucí rozptylu-gama je uzavřena pod konvoluce v následujícím smyslu. Li ${displaystyle X_ {1}}$ a ${displaystyle X_ {2}}$ jsou nezávislý náhodné proměnné které jsou rozptylově gama distribuovány se stejnými hodnotami parametrů ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$, ale možná jiné hodnoty ostatních parametrů, ${displaystyle lambda _ {1}}$, ${displaystyle mu _ {1}}$ a ${displaystyle lambda _ {2},}$ ${displaystyle mu _ {2}}$pak ${displaystyle X_ {1} + X_ {2}}$ je rozptyl-gama distribuovaný s parametry ${displaystyle alpha}$, ${displaystyle eta}$, ${displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2}}$ a ${displaystyle mu _ {1} + mu _ {2}}$.

Rozptyl rozptylu-gama lze také vyjádřit pomocí tří vstupních parametrů (C, G, M) označených za iniciálami jeho zakladatelů. Pokud je „C“, ${displaystyle lambda}$ zde je parametr celé číslo a distribuce má uzavřenou formu distribuce 2-EPT. Vidět Funkce hustoty pravděpodobnosti 2-EPT. Na základě tohoto omezení lze odvodit ceny opcí uzavřené formy.

Li ${displaystyle alpha = 1}$, ${displaystyle lambda = 1}$ a ${displaystyle eta = 0}$, distribuce se stává a Laplaceova distribuce s parametr měřítka ${displaystyle b = 1}$. Tak dlouho jak ${displaystyle lambda = 1}$, alternativní možnosti ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$ bude vyrábět distribuce související s Laplaceovou distribucí, se šikmostí, měřítkem a umístěním v závislosti na dalších parametrech.^[4]

Pro symetrické rozptyl-gama rozdělení je špičatost může být dáno ${displaystyle 3 (1 + 1 / lambda)}$.^[1]

Viz také Variační gama proces.

Poznámky