Cauchyho problém - Cauchy problem

A Cauchyho problém v matematice žádá o řešení a parciální diferenciální rovnice který splňuje určité podmínky, které jsou uvedeny na a nadpovrch v doméně.^[1] Cauchyho problém může být problém počáteční hodnoty nebo a problém mezní hodnoty (pro tento případ viz také Cauchyho okrajová podmínka ). Je pojmenován po Augustin Louis Cauchy.

Formální prohlášení

Pro parciální diferenciální rovnici definovanou na R^{n + 1} a a hladké potrubí S ⊂ R^{n + 1} dimenze n (S se nazývá Cauchyho povrch ), Cauchyho problém spočívá v hledání neznámých funkcí ${ displaystyle u_ {1}, tečky, u_ {N}}$ diferenciální rovnice s ohledem na nezávislé proměnné ${ displaystyle t, x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ to uspokojuje^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { částečné ^ {n_ {i}} u_ {i}} { částečné t ^ {n_ {i}}}}} = F_ {i} vlevo (t , x_ {1}, dots, x_ {n}, u_ {1}, dots, u_ {N}, dots, { frac { částečné ^ {k} u_ {j}} { částečné t ^ {k_ {0}} částečné x_ {1} ^ {k_ {1}} dots částečné x_ {n} ^ {k_ {n}}}}, dots right) & { text {pro }} i, j = 1,2, dots, N; , k_ {0} + k_ {1} + dots + k_ {n} = k leq n_ {j}; , k_ {0} < n_ {j} end {zarovnáno}}}$

podléhá podmínce, pro určitou hodnotu ${ displaystyle t = t_ {0}}$,

${ displaystyle { frac { částečné ^ {k} u_ {i}} { částečné t ^ {k}}} = phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, tečky, x_ {n}) quad { text {for}} k = 0,1,2, dots, n_ {i} -1}$

kde ${ displaystyle phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, tečky, x_ {n})}$ jsou uvedeny funkce definované na povrchu ${ displaystyle S}$ (souhrnně označováno jako Cauchyova data problému). Derivace řádu nula znamená, že je zadána samotná funkce.

Cauchy – Kowalevského věta

The Cauchy – Kowalevského věta tvrdí, že Pokud jsou všechny funkce ${ displaystyle F_ {i}}$ jsou analytický v nějakém sousedství bodu ${ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, phi _ {j, k_ {0}, k_ {1}, dots, k_ {n}} ^ {0}, dots)}$, a pokud jsou všechny funkce ${ displaystyle phi _ {j} ^ {(k)}}$ jsou analytické v nějakém sousedství bodu ${ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0})}$, potom má Cauchyho problém jedinečné analytické řešení v nějakém sousedství bodu ${ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0})}$.

Viz také

• Cauchyho okrajová podmínka

Reference

externí odkazy

• Cauchyho problém na MathWorld.