Poissonův součtový vzorec - Poisson summation formula

v matematika, Poissonův součtový vzorec je rovnice, která souvisí s Fourierova řada koeficienty periodický součet a funkce na hodnoty funkcí spojitá Fourierova transformace. V důsledku toho je periodický součet funkce zcela definován diskrétními vzorky Fourierovy transformace původní funkce. A naopak, periodický součet Fourierovy transformace funkce je zcela definován diskrétními vzorky původní funkce. Poissonův součtový vzorec objevil Siméon Denis Poisson a někdy se mu říká Poissonovo obnovení.

Formy rovnice

Pro příslušné funkce ${ displaystyle f,}$ Poissonův součtový vzorec lze uvést jako:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (n) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {f}} vlevo (k že jo),}$ kde ${ displaystyle { hat {f}}}$ je Fourierova transformace[A] z ${ displaystyle f}$; to je ${ displaystyle { hat {f}} ( nu) = { mathcal {F}} {f (x) }.}$

(Rovnice 1)

Se střídáním ${ displaystyle g (xP) triangleq f (x),}$ a vlastnost Fourierovy transformace,${ displaystyle { mathcal {F}} {g (xP) } = { frac {1} {P}} cdot { hat {g}} left ({ frac { nu} { P}} vpravo)}$ (pro ${ displaystyle P> 0}$),  Rovnice 1 se stává:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} g (nP) = { frac {1} {P}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} { klobouk {g}} vlevo ({ frac {k} {P}} vpravo)}$     (Stein & Weiss 1971 ).

(Rovnice 2)

S další definicí,${ displaystyle s (t + x) triangleq g (x),}$ a vlastnost transformace${ displaystyle { mathcal {F}} {s (t + x) } = { hat {s}} ( nu) cdot e ^ {i2 pi nu t},}$  Rovnice 2 se stává periodický součet (s tečkou ${ displaystyle P}$) a jeho ekvivalent Fourierova řada:

${ displaystyle underbrace { sum _ {n = - infty} ^ { infty} s (t + nP)} _ {S_ {P} (t)} = sum _ {k = - infty} ^ { infty} underbrace {{ frac {1} {P}} cdot { hat {s}} left ({ frac {k} {P}} right)} _ {S [k]} e ^ {i2 pi { frac {k} {P}} t}}$     (Pinsky 2002; Zygmund 1968 ).

(Rovnice 3)

Podobně periodický součet Fourierovy transformace funkce má tento ekvivalent Fourierovy řady:

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {s}} ( nu + k / T) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) e ^ {- i2 pi nT nu} equiv { mathcal {F}} left { sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) delta (t-nT) doprava },}$

(Rovnice 4)

kde T představuje časový interval, ve kterém je funkce ${ displaystyle s (t)}$ je odebrán vzorek a ${ displaystyle 1 / T}$ je rychlost vzorků / s

Příklady

• Nechat ${ displaystyle f (x) = e ^ {- sekera}}$ pro ${ displaystyle 0 leq x}$ a ${ displaystyle f (x) = 0}$ pro ${ displaystyle x <0}$ dostat

${ displaystyle coth (x) = x sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {x ^ {2} + pi ^ {2} n ^ {2}}} = { frac {1} {x}} + 2x sum _ {n in mathbb {Z _ {+}}} { frac {1} {x ^ {2} + pi ^ {2} n ^ { 2}}},}$

• Může být použit k prokázání funkční rovnice pro funkci theta
• Poissonův součtový vzorec se objevuje v poznámkových blocích Ramanujana a lze jej použít k prokázání některých jeho vzorců, zejména k prokázání jednoho ze vzorců v prvním dopise Ramanujana Hardymu^{[je zapotřebí objasnění ]}
• Lze jej použít k výpočtu kvadratické Gaussovy sumy

Distribuční formulace

Tyto rovnice lze interpretovat v jazyce distribuce (Córdoba 1988 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFCórdoba1988 (Pomoc); Hörmander 1983, §7.2) pro funkci ${ displaystyle f}$ jejichž deriváty se rychle snižují (viz Schwartzova funkce ). Poissonův součtový vzorec vzniká jako konkrétní případ Věta o konvoluci o temperovaných distribucích.Za použití Dirac hřeben distribuce a její Fourierova řada:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (x-nT) equiv sum _ {k = - infty} ^ { infty} { frac {1} {T }} cdot e ^ {i2 pi { frac {k} {T}} x} quad { stackrel { mathcal {F}} { Longleftrightarrow}} quad { frac {1} {T} } cdot sum _ {k = - infty} ^ { infty} delta ( nu -k / T),}$

(Rovnice 7)

Jinými slovy, periodizace a Diracova delta ${ displaystyle delta}$, což má za následek Dirac hřeben, odpovídá diskretizaci jeho spektra, která je neustále jedna. Z tohoto důvodu se opět jedná o Diracův hřeben, ale s vzájemnými přírůstky.

Rovnice 1 snadno následuje:

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {f}} (k) & = sum _ {k = - infty} ^ { infty } left ( int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- i2 pi kx} dx right) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) underbrace { left ( sum _ {k = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi kx} right)} _ { sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (xn)} dx & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} left ( int _ {- infty} ^ { infty} f (x) delta (xn) dx right) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (n). end {zarovnáno}}}$

Podobně:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {s}} ( nu + k / T) & = součet _ {k = - infty } ^ { infty} { mathcal {F}} vlevo {s (t) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {T}} t} vpravo } & = { mathcal {F}} { bigg {} s (t) underbrace { sum _ {k = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi { frac {k} {T }} t}} _ {T sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (t-nT)} { bigg }} = { mathcal {F}} vlevo { součet _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) cdot delta (t-nT) right } & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) cdot { mathcal {F}} left { delta (t-nT) right } = sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) cdot e ^ {- i2 pi nT nu}. End {zarovnáno}}}$

Derivace

Můžeme to také dokázat Rovnice 3 platí v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle s (t) v L_ {1} ( mathbb {R})}$, pak je pravá strana (pravděpodobně divergentní) Fourierova řada levé strany. Tento důkaz lze najít v (Pinsky 2002 ) nebo (Zygmund 1968 ). Vyplývá to z dominující věta o konvergenci že ${ displaystyle s_ {P} (t)}$ existuje a je konečný pro téměř všechny ${ displaystyle t}$. A dále z toho vyplývá ${ displaystyle s_ {P}}$ je integrovatelný do intervalu ${ displaystyle [0, P]}$. Pravá strana Rovnice 3 má formu a Fourierova řada. Stačí tedy ukázat, že koeficienty Fourierovy řady o ${ displaystyle s_ {P} (t)}$ jsou ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {P}} { hat {s}} vlevo ({ frac {k} {P}} vpravo)}$. Vycházíme z definice Fourierových koeficientů, které máme:

${ displaystyle { begin {aligned} S [k] & { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} {P}} int _ {0} ^ {P} s_ {P} (t) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} t} , dt & = { frac {1} {P}} int _ { 0} ^ {P} left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty} s (t + nP) right) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {P }} t} , dt & = { frac {1} {P}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} int _ {0} ^ {P} s (t + nP) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} t} , dt, end {zarovnáno}}}$

kde je výměna součtu s integrací opět ospravedlněna dominující konvergencí. S změna proměnných (${ displaystyle tau = t + nP}$) toto se stává:

${ displaystyle { begin {aligned} S [k] = { frac {1} {P}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} int _ {nP} ^ {nP + P } s ( tau) e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} tau} underbrace {e ^ {i2 pi kn}} _ {1} , d tau = { frac {1} {P}} int _ {- infty} ^ { infty} s ( tau) e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} tau } d tau = { frac {1} {P}} cdot { hat {s}} vlevo ({ frac {k} {P}} vpravo) end {zarovnáno}}}$       QED.

Poissonův součtový vzorec lze také docela koncepčně dokázat pomocí kompatibility Pontryaginova dualita s krátké přesné sekvence jako

${ displaystyle 0 až mathbb {Z} až mathbb {R} až mathbb {R} / mathbb {Z} až 0.}$^[1]

Použitelnost

Rovnice 3 drží za předpokladu ${ displaystyle s (t)}$ je spojitý integrovatelná funkce který uspokojuje

${ displaystyle | s (t) | + | { hat {s}} (t) | leq C (1+ | t |) ^ {- 1- delta}}$

pro některé ${ displaystyle C> 0, delta> 0}$ a každý ${ displaystyle t}$ (Grafakos 2004; Stein & Weiss 1971 ). Všimněte si, že takové ${ displaystyle s (t)}$ je rovnoměrně spojité, to spolu s předpokladem rozpadu na ${ displaystyle s}$, ukazují, že řada definuje ${ displaystyle s_ {P}}$ konverguje rovnoměrně na spojitou funkci. Rovnice 3 platí v silném smyslu, že obě strany konvergují jednotně a absolutně na stejnou hranici (Stein & Weiss 1971 ).

Rovnice 3 drží v bodově smysl za přísně slabšího předpokladu, že ${ displaystyle s}$ má ohraničenou variaci a

${ displaystyle 2 cdot s (t) = lim _ { varepsilon až 0} s (t + varepsilon) + lim _ { varepsilon až 0} s (t- varepsilon)}$     (Zygmund 1968 ).

Série Fourier na pravé straně Rovnice 3 je pak chápán jako (podmíněně konvergentní) limit symetrických dílčích součtů.

Jak je uvedeno výše, Rovnice 3 platí za mnohem méně omezujícího předpokladu, že ${ displaystyle s (t)}$ je v ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$, ale pak je nutné to interpretovat v tom smyslu, že pravá strana je (možná divergentní) Fourierova řada ${ displaystyle s_ {P} (t)}$ (Zygmund 1968 ). V tomto případě lze rozšířit oblast, kde platí rovnost, a to zvážením metod summability, jako je Cesàro summability. Při interpretaci konvergence tímto způsobem Rovnice 2 platí za méně omezujících podmínek ${ displaystyle g (x)}$ je integrovatelný a 0 je bod spojitosti ${ displaystyle g_ {P} (x)}$. nicméně Rovnice 2 nemusí držet, i když obojí ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle { hat {g}}}$ jsou integrovatelné a spojité a součty konvergují absolutně (Katznelson 1976 ).

Aplikace

Metoda obrázků

v parciální diferenciální rovnice, Poissonův součtový vzorec poskytuje přísné odůvodnění pro zásadní řešení z rovnice tepla s absorbující obdélníkovou hranicí metoda obrázků. Tady tepelné jádro na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ je známo a obdélník je určen periodizací. Poissonův součtový vzorec podobně poskytuje spojení mezi Fourierovou analýzou na euklidovských prostorech a na tori odpovídajících dimenzí (Grafakos 2004 ). V jedné dimenzi se výsledné řešení nazývá a funkce theta.

Vzorkování

Ve statistické studii časových řad, pokud ${ displaystyle f}$ je funkce času, pak se při pohledu pouze na jeho hodnoty ve stejně rozložených časových bodech nazývá „vzorkování“. V aplikacích obvykle funkce ${ displaystyle f}$ je pásmo omezeno, což znamená, že existuje určitá mezní frekvence ${ displaystyle f_ {o}}$ tak, že Fourierova transformace je nulová pro frekvence překračující mezní hodnotu: ${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = 0}$ pro ${ displaystyle | xi |> f_ {o}}$. U funkcí omezených na pásmo výběr vzorkovací frekvence ${ displaystyle 2f_ {o}}$ zaručuje, že žádné informace nebudou ztraceny: od ${ displaystyle { hat {f}}}$ lze z těchto vzorkovaných hodnot rekonstruovat, tedy Fourierovou inverzí, tak lze ${ displaystyle f}$. To vede k Nyquist – Shannonova věta o vzorkování (Pinsky 2002 ).

Ewaldův součet

Výpočtově je Poissonův součtový vzorec užitečný, protože je zaručeno, že pomalu konvergující součet v reálném prostoru bude převeden na rychle konvergující ekvivalentní součet ve Fourierově prostoru.^{[Citace je zapotřebí ]} (Široká funkce v reálném prostoru se stává úzkou funkcí ve Fourierově prostoru a naopak.) Toto je základní myšlenka Ewaldův součet.

Mřížové body v kouli

Poissonův součtový vzorec lze použít k odvození Landauova asymptotického vzorce pro počet mřížových bodů ve velké euklidovské sféře. Lze jej také použít k prokázání, že pokud je integrovatelná funkce ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle { hat {f}}}$ oba mají kompaktní podpora pak ${ displaystyle f = 0}$  (Pinsky 2002 ).

Teorie čísel

v teorie čísel, Poissonův součet lze také použít k odvození různých funkčních rovnic včetně funkční rovnice pro Funkce Riemann zeta.^[2]

Jedno důležité takové použití Poissonova součtu se týká theta funkce: periodické shrnutí Gaussianů. Dát ${ displaystyle q = e ^ {i pi tau}}$, pro ${ displaystyle tau}$ komplexní číslo v horní polovině roviny a definujte funkci theta:

${ displaystyle theta ( tau) = součet _ {n} q ^ {n ^ {2}}.}$

Vztah mezi ${ displaystyle theta (-1 / tau)}$ a ${ displaystyle theta ( tau)}$ Ukázalo se, že je to důležité pro teorii čísel, protože tento druh relace je jednou z definujících vlastností a modulární forma. Výběrem ${ displaystyle f = e ^ {- pi x ^ {2}}}$ ve druhé verzi Poissonova součtového vzorce (s ${ displaystyle a = 0}$) a s využitím skutečnosti, že ${ displaystyle { hat {f}} = e ^ {- pi xi ^ {2}}}$, jeden dostane okamžitě

${ displaystyle theta left ({- 1 over tau} right) = { sqrt { tau over i}} theta ( tau)}$

uvedením ${ displaystyle {1 / lambda} = { sqrt { tau / i}}}$.

Z toho vyplývá, že ${ displaystyle theta ^ {8}}$ má jednoduchou transformační vlastnost pod ${ displaystyle tau mapsto {-1 / tau}}$ a to lze použít k prokázání Jacobiho vzorce pro počet různých způsobů, jak vyjádřit celé číslo jako součet osmi dokonalých čtverců.

Balení koulí

Cohn & Elkies (2003) prokázal horní hranici hustoty koule balení pomocí Poissonova součtového vzorce, který následně vedl k prokázání optimálního složení koule v rozměrech 8 a 24.

Zobecnění

Poissonův součtový vzorec platí Euklidovský prostor libovolného rozměru. Nechat ${ displaystyle Lambda}$ být mříž v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ skládající se z bodů s celočíselnými souřadnicemi; ${ displaystyle Lambda}$ je skupina znaků nebo Pontryagin dual, z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$^{[pochybný – diskutovat]}. Pro funkci ${ displaystyle f}$ v ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {d})}$, zvažte sérii danou sečtením překladů ${ displaystyle f}$ prvky ${ displaystyle Lambda}$:

${ displaystyle sum _ { nu in Lambda} f (x + nu).}$

Teorém Pro ${ displaystyle f}$ v ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {d})}$, výše uvedená řada konverguje bodově téměř všude a definuje tak periodickou funkci Pƒ ${ displaystyle Lambda}$. Pƒ leží v ${ displaystyle L ^ {1}}$ s || Pƒ ||₁ ≤ || ƒ ||₁. Navíc pro všechny ${ displaystyle nu}$ v ${ displaystyle Lambda}$, Pƒ̂ (ν) (Fourierova transformace zapnuta ${ displaystyle Lambda}$) rovná se ${ displaystyle { hat {f}} ( nu)}$ (Fourierova transformace zapnuta ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$).

Když ${ displaystyle f}$ je navíc kontinuální a obojí ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle { hat {f}}}$ rozpadat se dostatečně rychle v nekonečnu, pak lze doménu „invertovat“ zpět ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ a učinit silnější prohlášení. Přesněji řečeno, pokud

${ displaystyle | f (x) | + | { hat {f}} (x) | leq C (1+ | x |) ^ {- d- delta}}$

pro některé C, δ> 0, pak

${ displaystyle sum _ { nu in Lambda} f (x + nu) = sum _ { nu in Lambda} { hat {f}} ( nu) e ^ {2 pi ix cdot nu},}$    (Stein & Weiss 1971, VII §2)

kde obě řady konvergují absolutně a jednotně na Λ. Když d = 1 a X = 0, získá se vzorec uvedený v první části výše.

Obecněji platí, že verze příkazu platí, pokud je Λ nahrazeno obecnější mřížkou v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. The dvojitá mříž Λ ′ lze definovat jako podmnožinu dvojitého vektorového prostoru nebo alternativně pomocí Dualita Pontryagin. Pak je tvrzení, že součet delta-funkcí v každém bodě Λ a v každém bodě Λ ′ jsou opět Fourierovy transformace jako distribuce, které podléhají správné normalizaci.

Toto je aplikováno v teorii theta funkce a je možnou metodou v geometrie čísel. Ve skutečnosti se v novější práci na počítání mřížových bodů v regionech běžně používá - sečtením funkce indikátoru regionu D přes mřížové body je přesně otázka, takže LHS součtového vzorce je to, co se hledá, a RHS něco, na co lze zaútočit matematická analýza.

Selbergův stopový vzorec

Další zobecnění na místně kompaktní abelianské skupiny je vyžadováno v teorie čísel. V nekomutativním harmonická analýza, je myšlenka v projektu posouvána ještě dále Selbergův stopový vzorec, ale nabývá mnohem hlubšího charakteru.

Řada matematiků aplikujících harmonickou analýzu na teorii čísel, zejména Martin Eichler, Atle Selberg, Robert Langlands a James Arthur zobecnili Poissonův součtový vzorec na Fourierovu transformaci na nekomutativních lokálně kompaktních redukčních algebraických skupinách ${ displaystyle G}$ s diskrétní podskupinou ${ displaystyle Gamma}$ takhle ${ displaystyle G / Gamma}$ má konečný objem. Například, ${ displaystyle G}$ mohou být skutečné body ${ displaystyle GL_ {n}}$ a ${ displaystyle Gamma}$ mohou být integrální body ${ displaystyle GL_ {n}}$. V tomto nastavení ${ displaystyle G}$ hraje roli linky reálného čísla v klasické verzi Poissonova součtu a ${ displaystyle Gamma}$ hraje roli celých čísel ${ displaystyle n}$ které se objevují v součtu. Zobecněná verze Poissonova součtu se nazývá Selbergova stopová formule a hrála roli při dokazování mnoha případů Artinova domněnky a ve Wilesově důkazu Fermatovy poslední věty. Levá strana (1) se stává součtem nad neredukovatelnými jednotkovými reprezentacemi ${ displaystyle G}$, a nazývá se „spektrální strana“, zatímco pravá strana se stává součtem oproti třídám konjugace ${ displaystyle Gamma}$a nazývá se „geometrická strana“.

Poissonův součtový vzorec je archetypem pro obrovský vývoj v harmonické analýze a teorii čísel.

Viz také

• Fourierova analýza # Shrnutí
• Vzorec inverze příspěvku
• Voronoiův vzorec
• Diskrétní Fourierova transformace
• explicitní vzorce pro L-funkce

Poznámky

Reference

Další čtení

• Benedetto, J.J .; Zimmermann, G. (1997), "Multiplikátory vzorkování a Poissonův součtový vzorec", J. Fourier Ana. Aplikace., 3 (5), archivovány od originál dne 2011-05-24, vyvoláno 2008-06-19.
• Cohn, Henry; Elkies, Noam (2003), „Nové horní meze u koule. I“, Ann. matematiky., 2, 157 (2): 689–714, arXiv:matematika / 0110009, doi:10.4007 / annals.2003.157.689, PAN  1973059
• Córdoba, A., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376.
• Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Fourierova analýza a aplikace, Springer, str. 344–352, ISBN  0-387-98485-2.
• Grafakos, Loukas (2004), Klasická a moderní Fourierova analýza, Pearson Education, Inc., s. 253–257, ISBN  0-13-035399-X.
• Higgins, J. R. (1985), „Pět povídek o zásadní sérii“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 12 (1): 45–89, doi:10.1090 / S0273-0979-1985-15293-0.
• Hörmander, L. (1983), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IGrundl. Matematika. Wissenschaft., 256Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  3-540-12104-8, PAN  0717035.
• Katznelson, Yitzhak (1976), Úvod do harmonické analýzy (Druhé opravené vydání), New York: Dover Publications, Inc, ISBN  0-486-63331-4
• Pinsky, M. (2002), Úvod do Fourierovy analýzy a waveletů., Brooks Cole, ISBN  978-0-534-37660-4.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Úvod do Fourierovy analýzy na euklidovských prostorech, Princeton, N.J .: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9.
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometrická řada (2. vyd.), Cambridge University Press (publikováno 1988), ISBN  978-0-521-35885-9.