Hodnota Cauchyho jistiny - Cauchy principal value

v matematika, Hodnota Cauchyho jistiny, pojmenoval podle Augustin Louis Cauchy, je metoda pro přiřazování hodnot určitým nesprávné integrály které by jinak nebyly definovány.

Formulace

V závislosti na typu jedinečnost v integrand F, hodnota Cauchyho jistiny je definována podle následujících pravidel:

(1) Pro singularitu v konečném počtu b :

${ displaystyle lim _ {; varepsilon rightarrow 0 ^ {+}} , left [, int _ {a} ^ {b- varepsilon} f (x) , mathrm {d} x ~ + ~ int _ {b + varepsilon} ^ {c} f (x) , mathrm {d} x , right]}$

s   A < b < C   a kde b je obtížný bod, ve kterém je chování funkce F je takový

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} x = pm infty quad}$ pro všechny A < b a

${ displaystyle int _ {b} ^ {c} f (x) , mathrm {d} x = mp infty quad}$ pro všechny C > b .

(Vidět plus nebo minus pro přesné použití notací ± a).)

(2) Pro jedinečnost v nekonečnu:

${ displaystyle lim _ {a rightarrow infty} , int _ {- a} ^ {a} f (x) , mathrm {d} x}$

kde ${ displaystyle ~ int _ {- infty} ^ {0} f (x) , mathrm {d} x = pm infty ~}$

a ${ displaystyle ~ int _ {0} ^ { infty} f (x) , mathrm {d} x = mp infty ~.}$

V některých případech je nutné zabývat se singularitami současně v konečném počtu b a v nekonečnu. To se obvykle provádí limitem formuláře

${ displaystyle lim _ {; eta rightarrow 0 ^ {+}} , lim _ {; varepsilon rightarrow 0 ^ {+}} , left [, int _ {b- { frac {1} { eta}}} ^ {b- varepsilon} f (x) , mathrm {d} x , ~ + ~ int _ {b + varepsilon} ^ {b + { frac {1} { eta}}} f (x) , mathrm {d} x , vpravo] ~.}$

V případech, kdy lze integrál rozdělit na dva nezávislé, konečné limity,

${ displaystyle lim _ {; varepsilon rightarrow 0 ^ {+}} ; left | , int _ {a} ^ {b- varepsilon} f (x) , mathrm {d} x , right | ; <; infty quad}$ a ${ displaystyle quad lim _ {; eta rightarrow 0 ^ {+}} ; left | , int _ {b + eta} ^ {c} f (x) , mathrm {d } x , doprava | ; <; infty ~,}$

konečný výsledek je stejný, ale již neodpovídá definici a technicky se nenazývá „hlavní hodnota“.

Hodnotu jistiny Cauchy lze také definovat z hlediska konturové integrály funkce s komplexní hodnotou F(z) : z = X + já y, X, y ∈ ℝ , s pólem na obrysu C. Definovat C(ε) být stejný obrys, kde část uvnitř disku o poloměru ε kolem sloupu byla odstraněna. Poskytl funkci F(z) je integrovatelný C(ε) nezáleží jak malý ε se stane, pak hodnota Cauchyho jistiny je limit:^[1]

${ displaystyle mathrm {P} int _ {C} f (z) mathrm {d} z = lim _ {; varepsilon až 0 ^ {+}} int _ {C ( varepsilon )} f (z) mathrm {d} z ~.}$

V případě Lebesgue-integrovatelný funkce, tj. funkce, které jsou integrovatelné absolutní hodnota, tyto definice se shodují se standardní definicí integrálu.

Pokud je funkce F(z) je meromorfní, Sokhotski – Plemeljova věta vztahuje hodnotu jistiny integrálu k C se střední hodnotou integrálů s konturou posunutou mírně nad a pod, takže věta o zbytku lze na tyto integrály použít.

Hlavní hodnotové integrály hrají ústřední roli v diskusi o Hilbert se transformuje.^[2]

Teorie distribuce

Nechat ${ displaystyle {C_ {c} ^ { infty}} ( mathbb {R})}$ být množinou bump funkce, tj. prostor plynulé funkce s kompaktní podpora na skutečná linie ${ displaystyle mathbb {R}}$. Pak mapa

${ displaystyle operatorname {str. ! v.} left ({ frac {1} {x}} right) ,: , {C_ {c} ^ { infty}} ( mathbb {R }) to mathbb {C}}$

definováno prostřednictvím hodnoty Cauchyho jistiny jako

${ displaystyle left [ operatorname {str. ! v.} left ({ frac {1} {x}} right) right] (u) = lim _ { varepsilon na 0 ^ { +}} int _ { mathbb {R} setminus [- varepsilon, varepsilon]} { frac {u (x)} {x}} , mathrm {d} x = int _ {0 } ^ {+ infty} { frac {u (x) -u (-x)} {x}} , mathrm {d} x quad { text {pro}} u v {C_ {c } ^ { infty}} ( mathbb {R})}$

je rozdělení. Samotná mapa může být někdy nazývána hlavní hodnota (odtud notace p.v.). Toto rozdělení se objevuje například ve Fourierově transformaci Funkce podepsat a Funkce kroku Heaviside.

Dobře definovaná jako distribuce

Dokázat existenci limitu

${ displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} { frac {u (x) -u (-x)} {x}} , mathrm {d} x}$

pro Schwartzova funkce ${ displaystyle u (x)}$, nejprve to pozorujte ${ displaystyle { frac {u (x) -u (-x)} {x}}}$ je nepřetržitě zapnuto ${ displaystyle [0, infty)}$, tak jako

${ displaystyle lim _ {x searrow 0} u (x) -u (-x) = 0}$ a tudíž

${ displaystyle lim _ {x searrow 0} { frac {u (x) -u (-x)} {x}} = lim _ {x searrow 0} { frac {u '(x) + u '(- x)} {1}} = 2u' (0),}$

od té doby ${ displaystyle u '(x)}$ je spojitý a Pravidlo společnosti L'Hospital platí.

Proto, ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {u (x) -u (-x)} {x}} , mathrm {d} x}$ existuje a použitím věta o střední hodnotě na ${ displaystyle u (x) -u (-x)}$, máme to

${ displaystyle left | int _ {0} ^ {1} { frac {u (x) -u (-x)} {x}} , mathrm {d} x right | leq int _ {0} ^ {1} { frac {| u (x) -u (-x) |} {x}} , mathrm {d} x leq int _ {0} ^ {1} { frac {2x} {x}} sup _ {x in mathbb {R}} | u '(x) | , mathrm {d} x leq 2 sup _ {x in mathbb { R}} | u '(x) |.}$

Jako dále

${ displaystyle left | int _ {1} ^ { infty} { frac {u (x) -u (-x)} {x}} , mathrm {d} x right | leq 2 sup _ {x in mathbb {R}} | x cdot u (x) | int _ {1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {2}}} , mathrm {d} x = 2 sup _ {x in mathbb {R}} | x cdot u (x) |,}$

všimli jsme si, že mapa ${ displaystyle operatorname {str. ! v.} left ({ frac {1} {x}} right) ,: , {C_ {c} ^ { infty}} ( mathbb {R }) to mathbb {C}}$ je ohraničen obvyklými semináři pro Schwartzovy funkce ${ displaystyle u}$. Tato mapa proto definuje, protože je zjevně lineární, spojitou funkci na Schwartzův prostor a proto a temperované rozdělení.

Všimněte si, že důkaz potřebuje ${ displaystyle u}$ pouze být neustále diferencovatelný v sousedství ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle xu}$ být ohraničen k nekonečnu. Hodnota jistiny je tedy definována na ještě slabších předpokladech, jako je ${ displaystyle u}$ integrovatelný s kompaktní podporou a rozlišitelný na 0.

Obecnější definice

Hlavní hodnotou je inverzní rozdělení funkce ${ displaystyle x}$ a je téměř jedinou distribucí s touto vlastností:

${ displaystyle xf = 1 quad Leftrightarrow quad existuje K: ; ; f = operatorname {str. ! v.} left ({ frac {1} {x}} right) + K delta,}$

kde ${ displaystyle K}$ je konstanta a ${ displaystyle delta}$ distribuce Dirac.

V širším smyslu lze hlavní hodnotu definovat pro širokou třídu singulární integrál jádra v euklidovském prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Li ${ displaystyle K}$ má na počátku izolovanou singularitu, ale je to jinak „pěkná“ funkce, pak je distribuce jistiny-hodnoty definována na kompaktně podporovaných hladkých funkcích

${ displaystyle [ operatorname {p. ! v.} (K)] (f) = lim _ { varepsilon až 0} int _ { mathbb {R} ^ {n} setminus B _ { varepsilon} (0)} f (x) K (x) , mathrm {d} x.}$

Takový limit nemusí být dobře definován, nebo, je-li dobře definován, nemusí nutně definovat distribuci. Je však dobře definované, pokud ${ displaystyle K}$ je spojitý homogenní funkce stupně ${ displaystyle -n}$ jehož integrál nad jakoukoli sférou soustředěnou na počátek zmizí. To je například případ Riesz se transformuje.

Příklady

Zvažte hodnoty dvou limitů:

${ displaystyle lim _ {a rightarrow 0 +} left ( int _ {- 1} ^ {- a} { frac { mathrm {d} x} {x}} + int _ {a} ^ {1} { frac { mathrm {d} x} {x}} vpravo) = 0,}$

Toto je Cauchyova hlavní hodnota jinak špatně definovaného výrazu

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac { mathrm {d} x} {x}}, { text {(což dává}} {- infty} + infty { text {)}}.}$

Taky:

${ displaystyle lim _ {a rightarrow 0 +} left ( int _ {- 1} ^ {- 2a} { frac { mathrm {d} x} {x}} + int _ {a} ^ {1} { frac { mathrm {d} x} {x}} vpravo) = ln 2.}$

Podobně máme

${ displaystyle lim _ {a rightarrow infty} int _ {- a} ^ {a} { frac {2x , mathrm {d} x} {x ^ {2} +1}} = 0 ,}$

Toto je hlavní hodnota jinak špatně definovaného výrazu

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {2x , mathrm {d} x} {x ^ {2} +1}} { text {(což dává}} { - infty} + infty { text {)}}.}$

ale

${ displaystyle lim _ {a rightarrow infty} int _ {- 2a} ^ {a} { frac {2x , mathrm {d} x} {x ^ {2} +1}} = - ln 4.}$

Zápis

Různí autoři používají různé notace pro Cauchyovu hlavní hodnotu funkce ${ displaystyle f}$, mezi ostatními:

${ displaystyle PV int f (x) , mathrm {d} x,}$

${ displaystyle mathrm {p.v.} int f (x) , mathrm {d} x,}$

${ displaystyle int _ {L} ^ {*} f (z) , mathrm {d} z,}$

${ displaystyle - ! ! ! ! ! ! int f (x) , mathrm {d} x,}$

stejně jako ${ displaystyle P,}$ P.V., ${ displaystyle { mathcal {P}},}$ ${ displaystyle P_ {v},}$ ${ displaystyle (CPV),}$ a V.P.

Viz také

• Hadamardova konečná součást integrální
• Hilbertova transformace
• Sokhotski – Plemeljova věta

Reference