Hyperexponenciální distribuce - Hyperexponential distribution

Schéma ukazující ekvivalentní systém řazení do fronty hyperexponenciální distribuci

v teorie pravděpodobnosti, a hyperexponenciální distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti jehož funkce hustoty pravděpodobnosti z náhodná proměnná X darováno

${displaystyle f_ {X} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} f_ {Y_ {i}} (x); p_ {i},}$

kde každý Y_i je exponenciálně distribuováno náhodná proměnná s parametrem sazby λ_i, a p_i je pravděpodobnost, že X bude mít formu exponenciálního rozdělení s rychlostí λ_i.^[1] Je pojmenován hyperexponenciální rozdělení od jeho variační koeficient je větší než exponenciální distribuce, jejíž variační koeficient je 1, a hypoexponenciální distribuce, který má variační koeficient menší než jeden. Zatímco exponenciální rozdělení je spojitý analog geometrické rozdělení, hyperexponenciální distribuce není analogická s hypergeometrická distribuce. Hyperexponenciální distribuce je příkladem a hustota směsi.

Příklad hyperexponenciální náhodné proměnné lze vidět v kontextu telefonie, kde, pokud má někdo modem a telefon, lze jeho využití telefonní linky modelovat jako hyperexponenciální distribuci tam, kde je pravděpodobnost p z nich mluví po telefonu s rychlostí λ₁ a pravděpodobnost q z nich využívá své připojení k internetu se sazbouλ₂.

Vlastnosti

Protože očekávaná hodnota součtu je součtem očekávaných hodnot, lze očekávanou hodnotu hyperexponenciální náhodné proměnné zobrazit jako

${displaystyle E [X] = int _ {- infty} ^ {infty} xf (x), dx = sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} int _ {0} ^ {infty} xlambda _ {i} e ^ {- lambda _ {i} x}, dx = součet _ {i = 1} ^ {n} {frac {p_ {i}} {lambda _ {i}}}}$

a

${displaystyle E! left [X ^ {2} ight] = int _ {- infty} ^ {infty} x ^ {2} f (x), dx = sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i } int _ {0} ^ {infty} x ^ {2} lambda _ {i} e ^ {- lambda _ {i} x}, dx = sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {2} {lambda _ {i} ^ {2}}} p_ {i},}$

ze kterého můžeme odvodit rozptyl:^[2]

${displaystyle operatorname {Var} [X] = E! left [X ^ {2} ight] -E! left [Xight] ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {2} { lambda _ {i} ^ {2}}} p_ {i} - vlevo [součet _ {i = 1} ^ {n} {frac {p_ {i}} {lambda _ {i}}} vpravo] ^ {2 } = left [sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {p_ {i}} {lambda _ {i}}} ight] ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} p_ {i} p_ {j} vlevo ({frac {1} {lambda _ {i}}} - {frac {1} {lambda _ {j}}} vpravo) ^ {2}.}$

Směrodatná odchylka obecně přesahuje průměr (kromě degenerovaného případu všech λs stejný), takže variační koeficient je větší než 1.

The funkce generující momenty darováno

${displaystyle E! left [e ^ {tx} ight] = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {tx} f (x), dx = sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i } int _ {0} ^ {infty} e ^ {tx} lambda _ {i} e ^ {- lambda _ {i} x}, dx = suma _ {i = 1} ^ {n} {frac {lambda _ {i}} {lambda _ {i} -t}} p_ {i}.}$

Kování

Dané rozdělení pravděpodobnosti, včetně a těžký-sledoval distribuci, lze aproximovat hyperexponenciálním rozdělením rekurzivním přizpůsobením různým časovým měřítkům pomocí Pronyho metoda.^[3]

Viz také

• Fázová distribuce
• Hyper-Erlang distribuce
• Distribuce Lomax (spojitá směs exponenciálů)

Reference