Noncentrální F-distribuce - Noncentral F-distribution

v teorie pravděpodobnosti a statistika, necentrální F-rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti to je necentrální zobecnění z (obyčejných) F-rozdělení. Popisuje rozdělení kvocientu (X/n₁)/(Y/n₂), kde je čitatel X má necentrální distribuce chí-kvadrát s n₁ stupně volnosti a jmenovatel Y má centrální distribuce chí-kvadrát s n₂ stupně svobody. To je také vyžadováno X a Y jsou statisticky nezávislé navzájem.

Jedná se o distribuci statistika testu v analýza rozptylu problémy, když nulová hypotéza je nepravdivé. Necentrální F-distribuce se používá k nalezení funkce napájení takové zkoušky.

Výskyt a specifikace

Li ${ displaystyle X}$ je necentrální chi-kvadrát náhodná proměnná s parametrem necentrality ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle nu _ {1}}$ stupně volnosti a ${ displaystyle Y}$ je chi-kvadrát náhodná proměnná s ${ displaystyle nu _ {2}}$ stupně volnosti to je statisticky nezávislé z ${ displaystyle X}$, pak

${ displaystyle F = { frac {X / nu _ {1}} {Y / nu _ {2}}}}$

je necentrální F-distribuovaná náhodná proměnná funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro necentrální F-distribuce je^[1]

${ displaystyle p (f) = součet limity _ {k = 0} ^ { infty} { frac {e ^ {- lambda / 2} ( lambda / 2) ^ {k}} {B left ({ frac { nu _ {2}} {2}}, { frac { nu _ {1}} {2}} + k right) k!}} left ({ frac { nu _ {1}} { nu _ {2}}} vpravo) ^ {{ frac { nu _ {1}} {2}} + k} vlevo ({ frac { nu _ {2 }} { nu _ {2} + nu _ {1} f}} vpravo) ^ {{ frac { nu _ {1} + nu _ {2}} {2}} + k} f ^ { nu _ {1} / 2-1 + k}}$

když ${ displaystyle f geq 0}$ a jinak nula. Stupně volnosti ${ displaystyle nu _ {1}}$ a ${ displaystyle nu _ {2}}$ jsou pozitivní ${ displaystyle B (x, y)}$ je funkce beta, kde

${ displaystyle B (x, y) = { frac { gama (x) gama (y)} { gama (x + y)}}.}$

The kumulativní distribuční funkce pro necentrální F-distribuce je

${ displaystyle F (x | d_ {1}, d_ {2}, lambda) = součet limity _ {j = 0} ^ { infty} left ({ frac { left ({ frac { 1} {2}} lambda right) ^ {j}} {j!}} E ^ {- { frac { lambda} {2}}} right) I left ({ frac {d_ { 1} x} {d_ {2} + d_ {1} x}} { bigg |} { frac {d_ {1}} {2}} + j, { frac {d_ {2}} {2} }že jo)}$

kde ${ displaystyle I}$ je legalizovaná neúplná beta funkce.

Průměr a rozptyl noncentral F-distribuce jsou

${ displaystyle operatorname {E} left [F right] = { begin {cases} { frac { nu _ {2} ( nu _ {1} + lambda)} { nu _ {1 } ( nu _ {2} -2)}} & nu _ {2}> 2 { text {neexistuje}} & nu _ {2} leq 2 konec {případů} }}$

a

${ displaystyle operatorname {Var} left [F right] = { begin {cases} 2 { frac {( nu _ {1} + lambda) ^ {2} + ( nu _ {1} +2 lambda) ( nu _ {2} -2)} {( nu _ {2} -2) ^ {2} ( nu _ {2} -4)}} left ({ frac { nu _ {2}} { nu _ {1}}} vpravo) ^ {2} & nu _ {2}> 4 { text {neexistuje}} & nu _ {2} leq 4. end {cases}}}$

Speciální případy

Když λ = 0, necentrální F-distribuce se stáváF-rozdělení.

Související distribuce

Z má necentrální distribuce chí-kvadrát -li

${ displaystyle Z = lim _ { nu _ {2} to infty} nu _ {1} F}$

kde F má noncentral F-rozdělení.

Viz také necentrální t-distribuce.

Implementace

Necentrální F-distribuce je implementována v R jazyk (např. funkce pf), v MATLAB (funkce ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd a ncfstat v sadě statistických nástrojů) v Mathematica (Funkce NoncentralFRatioDistribution), v NumPy (random.noncentral_f) a v Zvyšte knihovny C ++.^[2]

Spolupráce na wiki stránce implementuje interaktivní online kalkulačku naprogramovanou v jazyce R pro necentrální t, chi-kvadrát, and F distribution, at the Institute of Statistics and Econometrics, School of Business and Economics, Humboldt-Universität zu Berlin.^[3]

Poznámky

Reference

• Weisstein, Eric W.; et al. „Noncentrální F-rozdělení". MathWorld. Wolfram Research, Inc.. Citováno 20. srpna 2011.