Kontinuální funkce - Continuous function

v matematika, a spojitá funkce je funkce který nemá žádné náhlé změny v hodnota, známý jako nespojitosti. Přesněji řečeno, dostatečně malé změny ve vstupu spojité funkce vedou k libovolně malým změnám v jejím výstupu. Pokud není spojitá, říká se o funkci diskontinuální. Až do 19. století se matematici do značné míry spoléhali intuitivní pojmy kontinuity, během nichž se pokusy jako definice epsilon – delta byly formalizovány.

Kontinuita funkcí je jedním ze základních pojmů topologie, který je zpracován v plné obecnosti níže. Úvodní část tohoto článku se zaměřuje na speciální případ, kdy jsou vstupy a výstupy funkcí reálná čísla. Silnější forma kontinuity je jednotná kontinuita. Kromě toho tento článek pojednává o definici obecnějšího případu funkcí mezi dvěma metrické prostory. v teorie objednávek, speciálně v teorie domény, jeden zvažuje pojem kontinuity známý jako Scottova kontinuita. Jiné formy kontinuity existují, ale nejsou v tomto článku popsány.

Jako příklad funkce H(t) označující výšku rostoucí květiny v čase t bude považováno za spojité. Naproti tomu funkce M(t) označující množství peněz na bankovním účtu v čase t by bylo považováno za diskontinuální, protože „skáče“ v každém okamžiku, kdy jsou peníze ukládány nebo vybírány.

Dějiny

Forma epsilon – delta definice spojitosti byl poprvé dán Bernard Bolzano v roce 1817. Augustin-Louis Cauchy definovaná kontinuita ${displaystyle y = f (x)}$ takto: nekonečně malý přírůstek ${displaystyle alpha}$ nezávislé proměnné X vždy vytváří nekonečně malou změnu ${displaystyle f (x + alpha) -f (x)}$ závislé proměnné y (viz např. Cours d'Analyse, str. 34). Cauchy definoval nekonečně malá množství, pokud jde o proměnné veličiny, a jeho definice spojitosti se vyrovná dnes používané nekonečně malé definici (viz mikrokontinuita ). Formální definice a rozdíl mezi bodovou kontinuitou a jednotná kontinuita byly poprvé dány Bolzanem ve 30. letech 20. století, ale práce byla publikována až ve 30. letech. Jako Bolzano,^[1] Karl Weierstrass^[2] popřel spojitost funkce v bodě C pokud to nebylo definováno na a na obou stranách C, ale Édouard Goursat^[3] povolil definování funkce pouze na a na jedné straně C, a Camille Jordan^[4] povoleno, i když byla funkce definována pouze v C. Všechny tři z těchto neekvivalentních definic bodové spojitosti se stále používají.^[5] Eduard Heine poskytl první publikovanou definici jednotné kontinuity v roce 1872, ale tyto myšlenky založil na přednáškách poskytnutých Peter Gustav Lejeune Dirichlet v roce 1854.^[6]

Skutečné funkce

Definice

Funkce ${displaystyle f (x) = {frac {1} {x}}}$ je v doméně kontinuální ${displaystyle mathbb {R} smallsetminus {0}}$, ale není spojitý nad doménou ${displaystyle mathbb {R}}$ protože není definováno v ${displaystyle x = 0}$

A skutečná funkce, to je a funkce z reálná čísla na reálná čísla, mohou být reprezentována a graf v Kartézské letadlo; taková funkce je spojitá, pokud je graf zhruba jediný nepřerušený křivka jehož doména je celá skutečná linie. Matematičtěji přísnější definice je uvedena níže.^[7]

Důsledná definice spojitosti reálných funkcí je obvykle uvedena v prvním kurzu v počtu z hlediska myšlenky a omezit. Nejprve funkce F s proměnnou X se říká, že je kontinuální na místě C na skutečné linii, pokud je limit F(X), tak jako X přistupuje k tomuto bodu C, se rovná hodnotě F(C); a za druhé funkce (jako celek) se říká, že je kontinuální, pokud je spojitá v každém bodě. Funkce se říká, že je diskontinuální (nebo mít diskontinuita) v určitém okamžiku, kdy to tam není spojité. Samotné tyto body jsou rovněž označovány jako nespojitosti.

Existuje několik různých definic spojitosti funkce. Někdy se o funkci říká, že je spojitá, pokud je spojitá v každém bodě své domény. V tomto případě funkce F(X) = opálení (X), s doménou všeho skutečného X ≠ (2n+1) π / 2, n jakékoli celé číslo, je spojité. Někdy se udělá výjimka pro hranice domény. Například graf funkce F(X) = √X, s doménou všech nezáporných real, má a levá ruka koncový bod. V tomto případě pouze limit z že jo je požadováno, aby se rovnalo hodnotě funkce. Podle této definice F je spojitý na hranici X = 0 a tak pro všechny nezáporné argumenty. Nejběžnější a omezující definicí je, že funkce je spojitá, pokud je spojitá ve všech reálných číslech. V tomto případě nejsou předchozí dva příklady spojité, ale všechny polynomiální funkce je spojitá, stejně jako sinus, kosinus, a exponenciální funkce. Při používání tohoto slova je třeba postupovat opatrně kontinuální, takže z kontextu jasně vyplývá, o jaký význam slova jde.

Pomocí matematické notace existuje několik způsobů, jak definovat spojité funkce v každém ze tří výše zmíněných smyslů.

Nechat

${displaystyle fcolon Dightarrow mathbf {R} quad}$ být funkcí definovanou v a podmnožina ${displaystyle D}$ sady ${displaystyle mathbf {R}}$ reálných čísel.

Tato podmnožina ${displaystyle D}$ je doména z F. Některé možné volby zahrnují

${displaystyle D = mathbf {R} čtyřkolka}$ (${displaystyle D}$ je celá sada reálných čísel), nebo, pro A a b reálná čísla,

${displaystyle D = [a, b] = {xin mathbf {R}, |, aleq xleq b} quad}$ (${displaystyle D}$ je uzavřený interval ), nebo

${displaystyle D = (a, b) = {xin mathbf {R}, |, a$ (${displaystyle D}$ je otevřený interval ).

V případě domény ${displaystyle D}$ je definován jako otevřený interval, ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ nepatří ${displaystyle D}$a hodnoty ${displaystyle f (a)}$ a ${displaystyle f (b)}$ na kontinuitě nezáleží ${displaystyle D}$.

Definice z hlediska omezení funkcí

Funkce F je kontinuální v určitém okamžiku C jeho domény, pokud omezit z F(X), tak jako X přístupy C prostřednictvím domény F, existuje a rovná se F(C).^[8] V matematické notaci se to píše jako

${displaystyle lim _ {x o c} {f (x)} = f (c).}$

Podrobně to znamená tři podmínky: zaprvé, F musí být definováno na C (zaručeno požadavkem, že C je v doméně F). Zadruhé, limit na levé straně této rovnice musí existovat. Za třetí, hodnota tohoto limitu se musí rovnat F(C).

(Předpokládali jsme, že doména F nemá žádné izolované body. Například interval nebo sjednocení intervalů nemá žádné izolované body.)

Definice z hlediska čtvrtí

A sousedství bodu C je sada, která obsahuje alespoň všechny body v určité pevné vzdálenosti od C. Intuitivně je funkce spojitá v určitém bodě C pokud je rozsah F nad sousedstvím C zmenší se na jediný bod F(C) jako šířka okolí C zmenší se na nulu. Přesněji řečeno, funkce F je spojitá v bodě C její domény, pokud pro jakékoli sousedství ${displaystyle N_ {1} (f (c))}$ existuje sousedství ${displaystyle N_ {2} (c)}$ ve své doméně takové, že ${displaystyle f (x) v N_ {1} (f (c))}$ kdykoli ${displaystyle xin N_ {2} (c).}$

Tato definice vyžaduje pouze to, aby doména a codomain byly topologické prostory, a je tedy nejobecnější definicí. Z této definice vyplývá, že funkce F je automaticky spojitý u každého izolovaný bod její domény. Jako konkrétní příklad je každá skutečná hodnotná funkce na množině celých čísel spojitá.

Definice z hlediska limitů posloupností

Posloupnost exp (1 /n) konverguje k exp (0)

Jeden může místo toho požadovat pro všechny sekvence ${displaystyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ bodů v doméně, které konverguje na C, odpovídající sekvence ${displaystyle left (f (x_ {n}) ight) _ {nin mathbb {N}}}$ konverguje k F(C). V matematické notaci ${displaystyle forall (x_ {n}) _ {nin mathbb {N}} podmnožina D: lim _ {n o infty} x_ {n} = cRightarrow lim _ {n o infty} f (x_ {n}) = f ( C),.}$

Weierstrassova a Jordanova definice (epsilon – delta) spojitých funkcí

Ilustrace definice ε-δ: pro ε = 0,5, c = 2 splňuje podmínku definice hodnota δ = 0,5.

Explicitně včetně definice limitu funkce získáme samostatnou definici: Vzhledem k funkci F : D → R jako výše a prvek X₀ domény D, F je řekl, aby byl spojitý v bodě X₀ když platí: Pro libovolné číslo ε > 0, jakkoli malé, existuje nějaké číslo δ > 0 takové, že pro všechny X v doméně F s X₀ − δ < X < X₀ + δ, hodnota F(X) splňuje

${displaystyle f (x_ {0}) - varepsilon$

Alternativně psáno, kontinuita F : D → R na X₀ ∈ D znamená to pro každéhoε > 0 existuje a δ > 0 takové, že pro všechny X ∈ D :

${displaystyle | x-x_ {0} |$

Intuitivněji můžeme říci, že pokud chceme získat vše F(X) hodnoty zůstat v některých malých sousedství kolem F(X₀), jednoduše si musíme vybrat dostatečně malé sousedství pro X hodnoty kolem X₀. Pokud to dokážeme bez ohledu na to, jak malé je F(X) sousedství je tedy F je spojitá vX₀.

V moderních termínech je to zobecněno definicí kontinuity funkce s ohledem na a základ pro topologii, tady metrická topologie.

Weierstrass požadoval tento interval X₀ − δ < X < X₀ + δ být zcela v doméně D, ale Jordan toto omezení odstranil.

Definice, pokud jde o kontrolu nad zbytkem

V důkazech a numerické analýze často potřebujeme vědět, jak rychlé limity se sbíhají, nebo jinými slovy, kontrola zbytku. Můžeme to formalizovat na definici kontinuity. Funkce ${displaystyle C: [0, infty) o [0, infty]}$ se nazývá kontrolní funkce, pokud

• C neklesá
• ${displaystyle inf _ {delta> 0} C (delta) = 0}$

Funkce F : D → R je C- nepřetržitě v X₀ -li

${displaystyle | f (x) -f (x_ {0}) | leq C (| x-x_ {0} |)}$ pro všechny ${displaystyle xin D}$

Funkce je spojitá v X₀ Pokud to je C-kontinuální pro některé kontrolní funkce C.

Tento přístup přirozeně vede k upřesnění pojmu kontinuity omezením souboru přípustných řídicích funkcí. Pro danou sadu řídicích funkcí ${displaystyle {mathcal {C}}}$ funkce je ${displaystyle {mathcal {C}}}$- nepřetržitě, pokud je ${displaystyle C}$-kontinuální pro některé ${displaystyle Cin {mathcal {C}}}$. Například Lipschitz a Hölderovy spojité funkce níže exponent α jsou definovány množinou řídících funkcí

${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{mathrm {Lipschitz}} = {C: C (delta) = K | delta |, K> 0}}$

resp

${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{{ext {Hölder}} - alfa} =}$${displaystyle {C: C (delta) = K | delta | ^ {alpha}, K> 0}}$.

Definice pomocí oscilace

Selhání funkce být spojitá v bodě je kvantifikováno jejím kmitání.

Spojitost lze definovat také z hlediska kmitání: funkce F je spojitá v bodě X₀ právě když jeho oscilace v tomto bodě je nulová;^[9] v symbolech, ${displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$ Výhodou této definice je, že je kvantifikuje diskontinuita: oscilace udává jak hodně funkce je v bodě diskontinuální.

Tato definice je užitečná v deskriptivní teorie množin studovat množinu nespojitostí a spojitých bodů - spojité body jsou průsečíky množin, kde je oscilace menší než ε (odtud a G_δ soubor ) - a poskytuje velmi rychlý důkaz o jednom směru Podmínka integrace Lebesgue.^[10]

Oscilace je ekvivalentní k ε-δ definice jednoduchým přeuspořádáním a použitím limitu (lim sup, lim inf ) k definování oscilace: pokud (v daném bodě) pro daný ε₀ tady není žádný δ který uspokojuje ε-δ definice, pak oscilace je alespoň ε₀, a naopak, pokud pro každého ε tam je žádoucí δ, oscilace je 0. Definici oscilace lze přirozeně zobecnit na mapy z topologického prostoru do metrického prostoru.

Definice pomocí hyperrealů

Cauchy definovaná kontinuita funkce v následujících intuitivních pojmech: an infinitezimální změna nezávislé proměnné odpovídá nekonečně malé změně závislé proměnné (viz Cours d'analyse, strana 34). Nestandardní analýza je způsob, jak to udělat matematicky přísným. Skutečná čára je rozšířena přidáním nekonečných a nekonečně malých čísel k vytvoření hyperrealistická čísla. V nestandardní analýze lze kontinuitu definovat následovně.

Funkce se skutečnou hodnotou F je spojitá v X pokud jeho přirozené rozšíření na hyperrealy má tu vlastnost, že pro všechny nekonečně malé dx, F(X+dx) − F(X) je nekonečně malý^[11]

(vidět mikrokontinuita ). Jinými slovy, nekonečně malý přírůstek nezávislé proměnné vždy vytváří nekonečně malou změnu závislé proměnné, což dává moderní výraz Augustin-Louis Cauchy definice spojitosti.

Konstrukce spojitých funkcí

Graf a kubická funkce nemá žádné skoky ani díry. Funkce je spojitá.

Kontrola kontinuity dané funkce může být zjednodušena kontrolou jedné z výše definujících vlastností pro stavební bloky dané funkce. Je jednoduché ukázat, že součet dvou funkcí, spojitých na nějaké doméně, je také spojitý na této doméně. Dáno

${displaystyle f, gcolon Dightarrow mathbf {R}}$,

pak součet spojitých funkcí

${displaystyle s = f + g}$

(definován ${displaystyle s (x) = f (x) + g (x)}$ pro všechny ${displaystyle xin D}$) je nepřetržitý v ${displaystyle D}$.

Totéž platí pro produkt spojitých funkcí,

${displaystyle p = fcdot g}$

(definován ${displaystyle p (x) = f (x) cdot g (x)}$ pro všechny ${displaystyle xin D}$) je nepřetržitý v ${displaystyle D}$.

Kombinace výše uvedených zachování kontinuity a kontinuity konstantní funkce a funkce identity ${displaystyle I (x) = x}$ na ${displaystyle mathbf {R}}$, jeden dospěje ke kontinuitě všech polynomiální funkce na ${displaystyle mathbf {R}}$, jako

F(X) = X³ + X² - 5X + 3

(na obrázku vpravo).

Graf spojitého racionální funkce. Funkce není definována pro X= -2. Svislé a vodorovné čáry jsou asymptoty.

Stejným způsobem lze prokázat, že převrácená hodnota spojité funkce

${displaystyle r = 1 / f}$

(definován ${displaystyle r (x) = 1 / f (x)}$ pro všechny ${displaystyle xin D}$ takhle ${displaystyle f (x) eq 0}$) je nepřetržitý v ${displaystyle Dsmallsetminus {x: f (x) = 0}}$.

To znamená, že s výjimkou kořenů ${displaystyle g}$, kvocient spojitých funkcí

${displaystyle q = f / g}$

(definován ${displaystyle q (x) = f (x) / g (x)}$ pro všechny ${displaystyle xin D}$, takový, že ${displaystyle g (x) eq 0}$) je také nepřetržitě zapnuto ${displaystyle Dsmallsetminus {x: g (x) = 0}}$.

Například funkce (na obrázku)

${displaystyle y (x) = {frac {2x-1} {x + 2}}}$

je definována pro všechna reálná čísla X ≠ −2 a je spojitá v každém takovém bodě. Jedná se tedy o spojitou funkci. Otázka kontinuity v X = −2 nevzniká, protože X = −2 není v doméně y. Neexistuje nepřetržitá funkce F: R → R s čím souhlasím y(X) pro všechny X ≠ −2.

Funkce sinus a cos

Protože funkce sinus je spojitý ve všech realitách, funkce sinc G(X) = hřích(X)/X, je definovaný a spojitý pro všechny skutečné X ≠ 0. Avšak na rozdíl od předchozího příkladu G umět být rozšířena na nepřetržitou funkci na Všechno reálná čísla podle definování hodnota G(0) je 1, což je limit G(X), když X blíží se 0, tj.

${displaystyle G (0) = lim _ {xightarrow 0} {frac {sin x} {x}} = 1.}$

Tedy nastavením

${displaystyle G (x) = {egin {cases} {frac {sin (x)} {x}} & {ext {if}} xeq 0 1 & {ext {if}} x = 0, end {cases}} }$

funkce sinc se stává spojitou funkcí na všech reálných číslech. Termín odnímatelná singularita se používá v takových případech, kdy (re) definování hodnot funkce, která se shoduje s příslušnými limity, způsobí, že funkce bude spojitá v určitých bodech.

Více zapojená konstrukce spojitých funkcí je složení funkce. Vzhledem ke dvěma spojitým funkcím

${displaystyle quad gcolon D_ {g} subseteq mathbf {R} ightarrow R_ {g} subseteq mathbf {R} quad {ext {and}} quad fcolon D_ {f} subseteq mathbf {R} ightarrow R_ {f} subseteq D_ {g },}$

jejich složení, označené jako${displaystyle c = gcirc fcolon D_ {f} ightarrow mathbf {R}}$a definováno ${displaystyle c (x) = g (f (x)),}$ je spojitý.

Tato konstrukce umožňuje například uvést, že

${displaystyle e ^ {sin (ln x)}}$ je nepřetržitý pro všechny ${displaystyle x> 0.}$

Příklady nespojitých funkcí

Graf funkce signum. Ukazuje to ${displaystyle lim _ {n o infty} operatorname {sgn} left ({frac {1} {n}} ight) eq operatorname {sgn} left (lim _ {n o infty} {frac {1} {n}} ight )}$. Funkce signum je tedy při 0 nespojitá (viz oddíl 2.1.3 ).

Příkladem nespojité funkce je Funkce Heaviside step ${displaystyle H}$, definován

${displaystyle H (x) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} xgeq 0 0 & {ext {if}} x <0end {cases}}}$

Vyberte například ${displaystyle varepsilon = 1/2}$. Pak neexistuje ${displaystyle delta}$-sousedství kolem ${displaystyle x = 0}$, tj. žádný otevřený interval ${displaystyle (-delta;; delta)}$ s ${displaystyle delta> 0,}$ to donutí všechny ${displaystyle H (x)}$ hodnoty, které mají být v rámci ${displaystyle varepsilon}$-sousedství z ${displaystyle H (0)}$, tj. uvnitř ${displaystyle (1/2;; 3/2)}$. Intuitivně můžeme tento typ diskontinuity považovat za náhlou skok ve funkčních hodnotách.

Podobně signum nebo podepsat funkci

${displaystyle operatorname {sgn} (x) = {egin {cases} ;; 1 & {ext {if}} x> 0 ;; 0 & {ext {if}} x = 0 -1 & {ext {if}} x <0end {případů}}}$

je diskontinuální v ${displaystyle x = 0}$ ale nepřetržitě všude jinde. Ještě další příklad: funkce

${displaystyle f (x) = {egin {cases} sin left (x ^ {- 2} ight) & {ext {if}} xeq 0 0 & {ext {if}} x = 0end {cases}}}$

je nepřetržitý všude kromě ${displaystyle x = 0}$.

Bodový graf funkce Thomae na intervalu (0,1). Nejvyšší bod ve středu ukazuje f (1/2) = 1/2.

Kromě věrohodných kontinuit a diskontinuit, jako výše, existují také funkce s chováním, často vytvořené patologické, například, Funkce Thomae,

${displaystyle f (x) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} x = 0 {frac {1} {q}} & {ext {if}} x = {frac {p} {q}} {ext {(v nejnižších termínech) je racionální číslo}} 0 & {ext {if}} x {ext {je iracionální}}. end {cases}}}$

je spojitá u všech iracionálních čísel a diskontinuální u všech racionálních čísel. V podobném duchu, Dirichletova funkce, funkce indikátoru pro množinu racionálních čísel,

${displaystyle D (x) = {egin {cases} 0 & {ext {if}} x {ext {is iracional}} (v mathbb {R} smallsetminus mathbb {Q}) 1 & {ext {if}} x {ext {je racionální}} (v mathbb {Q}) konec {případů}}}$

není nikde spojitá.

Vlastnosti

Užitečné lemma

Nechat ${displaystyle f (x)}$ být funkcí, která je spojitá v bodě ${displaystyle x_ {0},}$ a ${displaystyle y_ {0}}$ být taková hodnota ${displaystyle f (x_ {0}) eq y_ {0}.}$ Pak ${displaystyle f (x) eq y_ {0}}$ po celé čtvrti ${displaystyle x_ {0}.}$^[12]

Důkaz: Podle definice kontinuity vezměte ${displaystyle varepsilon = {frac {| y_ {0} -f (x_ {0}) |} {2}}> 0}$ , pak existuje ${displaystyle delta> 0}$ takhle

${displaystyle | f (x) -f (x_ {0}) | <{frac {| y_ {0} -f (x_ {0}) |} {2}} quad {ext {whenever}} quad | x- x_ {0} |$

Předpokládejme, že v sousedství je nějaký bod ${displaystyle | x-x_ {0} |$ pro který ${displaystyle f (x) = y_ {0};}$ pak máme rozpor

${displaystyle | f (x_ {0}) - y_ {0} | <{frac {| f (x_ {0}) - y_ {0} |} {2}}.}$

Věta o střední hodnotě

The věta o střední hodnotě je věta o existenci na základě vlastnosti reálného čísla úplnost a uvádí:

Pokud je funkce se skutečnou hodnotou F je kontinuální na uzavřený interval [A, b] a k je nějaké číslo mezi F(A) a F(b), pak je nějaké číslo C v [A, b] takové, že F(C) = k.

Například pokud dítě doroste z 1 m na 1,5 m ve věku mezi dvěma a šesti lety, pak v určitém období mezi dvěma a šesti lety musí být výška dítěte 1,25 m.

V důsledku toho, pokud F je spojitý na [A, b] a F(A) a F(b) lišit se v podepsat poté tedy v určitém okamžiku C v [A, b], F(C) se musí rovnat nula.

Věta o extrémní hodnotě

The věta o extrémní hodnotě uvádí, že pokud funkce F je definován v uzavřeném intervalu [A,b] (nebo jakákoli uzavřená a ohraničená množina) a je tam spojitá, pak funkce dosáhne svého maxima, tj. existuje C ∈ [A,b] s F(C) ≥ F(X) pro všechny X ∈ [A,b]. Totéž platí o minimu F. Tyto příkazy nejsou obecně pravdivé, pokud je funkce definována v otevřeném intervalu (A,b) (nebo libovolná množina, která není uzavřená ani ohraničená), jako je například spojitá funkce F(X) = 1/X, definovaný na otevřeném intervalu (0,1), nedosahuje maxima, výše je neomezený.

Vztah k diferencovatelnosti a integrovatelnosti

Každý diferencovatelná funkce

${displaystyle fcolon (a, b) ightarrow mathbf {R}}$

je spojitý, jak je vidět. The konverzovat nedrží: například absolutní hodnota funkce

${displaystyle f (x) = | x | = {egin {cases} ;; x & {ext {if}} xgeq 0 -x & {ext {if}} x <0end {cases}}}$

je všude nepřetržitý. Nelze jej však rozlišit X = 0 (ale je to tak všude jinde). Weierstrassova funkce je také všude kontinuální, ale nikde nedefinovatelné.

The derivát F'(X) rozlišitelné funkce F(X) nemusí být nepřetržitý. Li F'(X) je spojitý, F(X) se říká, že je neustále diferencovatelný. Sada takových funkcí je označena C¹((A, b)). Obecněji řečeno, sada funkcí

${displaystyle fcolon Omega ightarrow mathbf {R}}$

(z otevřeného intervalu (nebo otevřená podmnožina z R) Ω do reality) takový, že F je n časy diferencovatelné a takové, že n-tý derivát F je spojitý je označen Cⁿ(Ω). Vidět třída diferencovatelnosti. V oblasti počítačové grafiky vlastnosti související (ale ne identické) s C⁰, C¹, C² jsou někdy nazývány G⁰ (kontinuita polohy), G¹ (kontinuita tečnosti) a G² (kontinuita zakřivení); vidět Hladkost křivek a povrchů.

Každá spojitá funkce

${displaystyle fcolon [a, b] ightarrow mathbf {R}}$

je integrovatelný (například ve smyslu Riemannův integrál ). Konverzace neplatí, protože (integrovatelná, ale nespojitá) znaková funkce ukazuje.

Bodové a jednotné limity

Posloupnost spojitých funkcí F_n(X) jehož (bodová) limitní funkce F(X) je přerušovaný. Konvergence není jednotná.

Vzhledem k tomu, sekvence

${displaystyle f_ {1}, f_ {2}, dotsc dvojtečka Iightarrow mathbf {R}}$

funkcí, jako je limit

${displaystyle f (x): = lim _ {nightarrow infty} f_ {n} (x)}$

existuje pro všechny X v D, výsledná funkce F(X) se označuje jako bodový limit ze sledu funkcí (F_n)_n∈N. Funkce bodového limitu nemusí být spojitá, i když všechny funkce F_n jsou spojité, jak ukazuje animace vpravo. Nicméně, F je spojitý, pokud všechny funkce F_n jsou spojité a sekvence konverguje rovnoměrně tím, že věta o jednotné konvergenci. Tuto větu lze použít k prokázání, že exponenciální funkce, logaritmy, odmocnina funkce a trigonometrické funkce jsou spojité.

Směrová a polokontinuita

Diskontinuální funkce mohou být diskontinuální omezeným způsobem, což vede ke konceptu směrové kontinuity (nebo pravé a levé spojité funkce) a polokontinuita. Zhruba řečeno, funkce je pravý spojitý pokud nenastane skok při přiblížení k meznímu bodu zprava. Formálně, F je řekl, aby byl pravý-spojitý v bodě C pokud platí: Pro libovolné číslo ε > 0 jakkoli malé, existuje nějaké číslo δ > 0 takové, že pro všechny X v doméně s C < X < C + δ, hodnota F(X) uspokojí

${displaystyle | f (x) -f (c) |$

Toto je stejná podmínka jako pro spojité funkce, kromě toho, že je nutné ji podržet X přísně větší než C pouze. Místo toho to vyžaduje pro všechny X s C − δ < X < C dává představu levý spojitý funkce. Funkce je spojitá právě tehdy, když je spojitá vpravo i vlevo.

Funkce F je nižší polokontinuální pokud zhruba všechny skoky, které by se mohly vyskytnout, jdou pouze dolů, ale ne nahoru. To znamená pro všechny ε > 0, existuje nějaké číslo δ > 0 takové, že pro všechny X v doméně s |x - c| < δ, hodnota F(X) splňuje

${displaystyle f (x) geq f (c) -epsilon.}$

Opačný stav je horní polokontinuita.

Spojité funkce mezi metrickými prostory

Koncept spojitých reálných funkcí lze zobecnit na funkce mezi metrické prostory. Metrický prostor je množina X vybavené funkcí (tzv metrický ) d_X, což lze považovat za měření vzdálenosti libovolných dvou prvků v X. Formálně je metrika funkcí

${displaystyle d_ {X} dvojtečka X je Xightarrow mathbf {R}}$

který splňuje řadu požadavků, zejména: nerovnost trojúhelníku. Vzhledem ke dvěma metrickým prostorům (X, d_X) a (Y, d_Y) a funkce

${displaystyle fcolon Xightarrow Y}$

pak F je spojitá v bodě C v X (s ohledem na danou metriku) pokud pro jakékoli kladné reálné číslo ε existuje kladné reálné číslo δ takové, že všechny X v X uspokojující d_X(X, C) <δ také uspokojí d_Y(F(X), F(C)) <ε. Stejně jako v případě výše uvedených skutečných funkcí je to ekvivalentní podmínce, že pro každou sekvenci (X_n) v X s limitní lim X_n = C, máme lim F(X_n) = F(C). Druhá podmínka může být oslabena následovně: F je spojitá v bodě C právě když pro každou konvergentní sekvenci (X_n) v X s limitem C, sekvence (F(X_n)) je Cauchyova posloupnost, a C je v doméně F.

Sada bodů, ve kterých je funkce mezi metrickými prostory spojitá, je a G_δ soubor - vyplývá to z definice spojitosti ε-δ.

Tento pojem kontinuity se používá například v funkční analýza. Klíčové prohlášení v této oblasti říká, že a lineární operátor

${displaystyle Tcolon Vightarrow W}$

mezi normované vektorové prostory PROTI a Ž (což jsou vektorové prostory vybaven kompatibilním norma, označeno ||X||) je spojitý právě tehdy, když je ohraničený, to znamená, že existuje konstanta K. takhle

${displaystyle | T (x) | leq K | x |}$

pro všechny X v PROTI.

Uniformní, Hölderova a Lipschitzova kontinuita

Pro Lipschitzovu spojitou funkci existuje dvojitý kužel (zobrazený bíle), jehož vrchol lze přeložit podél grafu, takže graf vždy zůstává zcela mimo kužel.

Koncept kontinuity pro funkce mezi metrickými prostory lze posílit různými způsoby omezením způsobu, jakým δ závisí na ε a C ve výše uvedené definici. Intuitivně funkce F jak je uvedeno výše rovnoměrně spojité jestliže δ nezávisí na bodě C. Přesněji řečeno, je vyžadováno, aby pro každého reálné číslo ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každého C, b ∈ X s d_X(b, C) < δ, máme to d_Y(F(b), F(C)) < ε. Jakákoli rovnoměrně spojitá funkce je tedy spojitá. Konverzace neplatí obecně, ale platí, když je prostor domény X je kompaktní. Rovnoměrně spojité mapy lze definovat v obecnější situaci jednotné prostory.^[13]

Funkce je Hölder kontinuální s exponentem α (reálné číslo), pokud existuje konstanta K. takové, že pro všechny b a C v Xnerovnost

${displaystyle d_ {Y} (f (b), f (c)) leq Kcdot (d_ {X} (b, c)) ^ {alpha}}$

drží. Jakákoli Hölderova spojitá funkce je rovnoměrně spojitá. Konkrétní případ α = 1 se označuje jako Lipschitzova kontinuita. To znamená, že funkce je Lipschitzova spojitá, pokud existuje konstanta K. taková, že nerovnost

${displaystyle d_ {Y} (f (b), f (c)) leq Kcdot d_ {X} (b, c)}$

platí pro všechny b, C v X.^[14] Lipschitzův stav se vyskytuje například v Picard – Lindelöfova věta týkající se řešení obyčejné diferenciální rovnice.

Spojité funkce mezi topologickými prostory

Dalším abstraktnějším pojmem spojitosti je spojitost funkcí mezi topologické prostory kde obecně neexistuje formální pojem vzdálenosti, jako je tomu v případě metrické prostory. Topologický prostor je sada X spolu s topologií na X, což je sada podmnožiny z X splňující několik požadavků, pokud jde o jejich svazky a křižovatky, které zobecňují vlastnosti otevřené koule v metrických prostorech, zatímco stále umožňuje mluvit o sousedství daného bodu. Prvky topologie se nazývají otevřené podmnožiny z X (s ohledem na topologii).

Funkce

${displaystyle fcolon Xightarrow Y}$

mezi dvěma topologickými prostory X a Y je spojitý, pokud pro každou otevřenou sadu PROTI ⊆ Y, inverzní obraz

${displaystyle f ^ {- 1} (V) = {xin X; |; f (x) ve V}}$

je otevřená podmnožina X. To znamená F je funkce mezi množinami X a Y (ne na prvcích topologie T_X), ale kontinuita F záleží na topologiích použitých na X a Y.

To odpovídá podmínce, že preimages z uzavřené sady (což jsou doplňky otevřených podmnožin) v Y jsou uzavřeni X.

Extrémní příklad: pokud množina X je dána diskrétní topologie (ve kterém je otevřena každá podmnožina), všechny funkce

${displaystyle fcolon Xightarrow T}$

do jakéhokoli topologického prostoru T jsou spojité. Na druhou stranu, pokud X je vybaven neurčitá topologie (ve kterých jsou jedinou otevřenou podmnožinou prázdná množina a X) a prostor T sada je minimálně T₀, pak jediné spojité funkce jsou konstantní funkce. Naopak každá funkce, jejíž rozsah je neurčitý, je spojitá.

Spojitost v bodě

Kontinuita v bodě: Pro každou čtvrť PROTI z F(X), existuje sousedství U z X takhle F(U) ⊆ PROTI

Překlad jazyků čtvrtí (ε, δ) - definice spojitosti vede k následující definici spojitosti v bodě:

Funkce ${displaystyle f: Xightarrow Y}$ je spojitá v bodě ${displaystyle xin X}$ jen a jen pro jakékoli sousedství PROTI z ${displaystyle f (x)}$ v Y, existuje sousedství U z X takhle F(U) ⊆ PROTI.

Tato definice je ekvivalentní stejnému tvrzení u čtvrtí omezených na otevřená sousedství a lze ji přepracovat několika způsoby pomocí preimages spíše než obrázky.

Protože každá sada obsahující sousedství je také sousedstvím, a ${displaystyle f ^ {- 1} (V)}$ je největší podmnožinou U z X takhle F(U) ⊆ PROTIlze tuto definici zjednodušit na:

Funkce ${displaystyle f: Xightarrow Y}$ je spojitá v bodě ${displaystyle xin X}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle f ^ {- 1} (V)}$ je sousedství města X pro každou čtvrť PROTI z ${displaystyle f (x)}$ v Y.

Protože otevřená množina je množina, která je sousedstvím všech jejích bodů, funkce ${displaystyle f: Xightarrow Y}$ je spojitý v každém bodě X právě když se jedná o spojitou funkci.

Li X a Y jsou metrické prostory, je ekvivalentní uvažovat sousedský systém z otevřené koule se středem na X a F(X) namísto všech čtvrtí. To dává zpět výše uvedenou definici δ-ε kontinuity v kontextu metrických prostorů. V obecných topologických prostorech není pojem vzdálenosti ani vzdálenosti. Pokud je však cílovým prostorem a Hausdorffův prostor, stále to platí F je spojitá v A právě tehdy, pokud je limit F tak jako X přístupy A je F(A). V izolovaném bodě je každá funkce spojitá.

Alternativní definice

Několik ekvivalentní definice topologické struktury existuje, a proto existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat spojitou funkci.

Sekvence a sítě

V několika kontextech je topologie prostoru pohodlně specifikována z hlediska mezní body. V mnoha případech je toho dosaženo určením, kdy je bod limit posloupnosti, ale pro některé prostory, které jsou v určitém smyslu příliš velké, lze určit, kdy je bod limitem obecnějších sad bodů indexováno podle a řízená sada, známý jako sítě. Funkce je (Heine-) spojitá, pouze pokud bere limity posloupností na limity posloupností. V prvním případě je také dostatečné zachování limitů; v druhém případě může funkce zachovat všechny limity sekvencí, přesto však nemusí být kontinuální a zachování sítí je nezbytnou a dostatečnou podmínkou.

Podrobně funkce F: X → Y je postupně kontinuální pokud kdykoli sekvence (X_n) v X konverguje k limitu X, sekvence (F(X_n)) konverguje k F(X). Sekvenčně spojité funkce tedy „zachovávají sekvenční limity“. Každá spojitá funkce je postupně spojitá. Li X je první spočetný prostor a spočítatelná volba drží, pak platí i obrácený: jakákoli funkce zachovávající sekvenční limity je spojitá. Zejména pokud X je metrický prostor, sekvenční kontinuita a kontinuita jsou ekvivalentní. Pro nepočitatelné prostory může být sekvenční kontinuita přísně slabší než kontinuita. (Jsou volány prostory, pro které jsou tyto dvě vlastnosti ekvivalentní sekvenční prostory.) To motivuje uvažování sítí místo sekvencí v obecných topologických prostorech. Kontinuální funkce zachovávají limity sítí a tato vlastnost ve skutečnosti charakterizuje kontinuální funkce.

Zvažte například případ reálných funkcí jedné reálné proměnné:^[15]

Teorém. Funkce ${displaystyle fcolon Asubseteq mathbb {R} o mathbb {R}}$ je spojitá v ${displaystyle x_ {0}}$ právě když je v daném bodě postupně spojitý.

Důkaz. Předpokládat, že ${displaystyle fcolon Asubseteq mathbb {R} o mathbb {R}}$ je spojitá v ${displaystyle x_ {0}}$ (ve smyslu ${displaystyle epsilon -delta}$ kontinuita ). Nechat ${displaystyle (x_ {n}) _ {ngeq 1}}$ být sekvence konvergující v ${displaystyle x_ {0}}$ (taková sekvence vždy existuje, např. ${displaystyle x_ {n} = x, všech n}$); od té doby ${displaystyle f}$ je spojitá v ${displaystyle x_ {0}}$

${displaystyle forall epsilon> 0, there delta _ {epsilon}> 0: 0 <| x-x_ {0} |$

U každého takového ${displaystyle delta _ {epsilon}}$ můžeme najít přirozené číslo ${displaystyle u _ {epsilon}> 0}$ takhle ${displaystyle forall n> u _ {epsilon}}$

${displaystyle | x_ {n} -x_ {0} |$

od té doby ${displaystyle (x_ {n})}$ konverguje v ${displaystyle x_ {0}}$; kombinovat to s ${displaystyle (*)}$ získáváme

${displaystyle forall epsilon> 0, existuje u _ {epsilon}> 0: forall n> u _ {epsilon} quad | f (x_ {n}) - f (x_ {0}) |$

Předpokládejme naopak, že ${displaystyle f}$ je postupně spojitý a postupuje rozporem: předpokládejme ${displaystyle f}$ není spojitý v ${displaystyle x_ {0}}$

${displaystyle existuje epsilon> 0: forall delta _ {epsilon}> 0,, existuje x_ {delta _ {epsilon}}: 0 <| x_ {delta _ {epsilon}} - x_ {0} | epsilon}$

pak můžeme vzít ${displaystyle delta _ {epsilon} = 1 / n ,, forall n> 0}$ a zavolat na odpovídající bod ${displaystyle x_ {delta _ {epsilon}} =: x_ {n}}$: tímto způsobem jsme definovali sekvenci ${displaystyle (x_ {n}) _ {ngeq 1}}$ takhle

${displaystyle forall n> 0quad | x_ {n} -x_ {0} | <{frac {1} {n}}, quad | f (x_ {n}) - f (x_ {0}) |> epsilon}$

podle konstrukce ${displaystyle x_ {n} o x_ {0}}$ ale ${displaystyle f (x_ {n}) ot o f (x_ {0})}$, což je v rozporu s hypotézou sekvenční kontinuity.

Definice operátora uzavření

Místo určení otevřených podmnožin topologického prostoru lze topologii určit také pomocí a operátor uzavření (označené cl), které se přiřadí jakékoli podskupině A ⊆ X své uzavření, nebo operátor interiéru (označeno int), které se přiřadí jakékoli podmnožině A z X své interiér. V těchto termínech funkce

${displaystyle fcolon (X, mathrm {cl}) o (X ', mathrm {cl}')}$

mezi topologickými prostory je spojitý ve výše uvedeném smyslu právě tehdy, pokud pro všechny podmnožiny A z X

${displaystyle f (mathrm {cl} (A)) subseteq mathrm {cl} '(f (A)).}$

To znamená, vzhledem k jakémukoli prvku X z X to je v závěru jakékoli podmnožiny A, F(X) patří k uzavření F(A). To odpovídá požadavku, který platí pro všechny podskupiny A'z X'

${displaystyle f ^ {- 1} (mathrm {cl} '(A')) supseteq mathrm {cl} (f ^ {- 1} (A ')).}$

Navíc,

${displaystyle fcolon (X, mathrm {int}) o (X ', mathrm {int}')}$

je spojitý právě tehdy

${displaystyle f ^ {- 1} (mathrm {int} '(A')) subseteq mathrm {int} (f ^ {- 1} (A '))}$

pro jakoukoli podmnožinu A' z Y.

Vlastnosti

Li F: X → Y a G: Y → Z jsou spojité, pak také složení G ∘ F: X → Z. Li F: X → Y je spojitý a

• X je kompaktní, pak F(X) je kompaktní.
• X je připojeno, pak F(X) is connected.
• X je path-connected, pak F(X) is path-connected.
• X je Lindelöf, pak F(X) is Lindelöf.
• X je oddělitelný, pak F(X) is separable.

The possible topologies on a fixed set X jsou partially ordered: a topology τ₁ se říká, že je coarser than another topology τ₂ (notation: τ₁ ⊆ τ₂) if every open subset with respect to τ₁ is also open with respect to τ₂. Poté identity map

id_X: (X, τ₂) → (X, τ₁)

is continuous if and only if τ₁ ⊆ τ₂ (viz také comparison of topologies ). More generally, a continuous function

${displaystyle (X, au _{X})ightarrow (Y, au _{Y})}$

stays continuous if the topology τ_Y se nahrazuje a coarser topology and/or τ_X se nahrazuje a finer topology.

Homeomorphisms

Symmetric to the concept of a continuous map is an open map, pro který snímky of open sets are open. In fact, if an open map F má inverzní funkce, that inverse is continuous, and if a continuous map G has an inverse, that inverse is open. Vzhledem k tomu, bijektivní funkce F between two topological spaces, the inverse function F⁻¹ need not be continuous. A bijective continuous function with continuous inverse function is called a homeomorfismus.

If a continuous bijection has as its doména A compact space a jeho codomain je Hausdorff, then it is a homeomorphism.

Defining topologies via continuous functions

Given a function

${displaystyle fcolon Xightarrow S,}$

kde X is a topological space and S is a set (without a specified topology), the final topology na S is defined by letting the open sets of S be those subsets A z S pro který F⁻¹(A) is open in X. Li S has an existing topology, F is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is coarser than the final topology on S. Thus the final topology can be characterized as the finest topology on S that makes F continuous. Li F je surjektivní, this topology is canonically identified with the quotient topology pod vztah ekvivalence definován F.

Dually, for a function F from a set S to a topological space X, initial topology na S is defined by designating as an open set every subset A z S takhle ${displaystyle A=f^{-1}(U)}$ for some open subset U z X. Li S has an existing topology, F is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is finer than the initial topology on S. Thus the initial topology can be characterized as the coarsest topology on S that makes F continuous. Li F is injective, this topology is canonically identified with the subspace topology z S, viewed as a subset of X.

A topology on a set S is uniquely determined by the class of all continuous functions ${displaystyle Sightarrow X}$ into all topological spaces X. Dually, a similar idea can be applied to maps ${displaystyle Xightarrow S.}$

Related notions

Various other mathematical domains use the concept of continuity in different, but related meanings. Například v teorie objednávek, an order-preserving function F: X → Y between particular types of částečně objednané sady X a Y je kontinuální if for each directed subset A z X, we have sup(F(A)) = F(sup(A)). Here sup is the supremum with respect to the orderings in X a Y, resp. This notion of continuity is the same as topological continuity when the partially ordered sets are given the Scott topology.^[16][17]

v teorie kategorií, a funktor

${displaystyle Fcolon {mathcal {C}}ightarrow {mathcal {D}}}$

mezi dvěma Kategorie je nazýván kontinuální, if it commutes with small limity. To znamená,

${displaystyle varprojlim _{iin I}F(C_{i})cong Fleft(varprojlim _{iin I}C_{i}ight)}$

for any small (i.e., indexed by a set Já, as opposed to a třída ) diagram z předměty v ${displaystyle {mathcal {C}}}$.

A continuity space is a generalization of metric spaces and posets,^[18][19] which uses the concept of quantales, and that can be used to unify the notions of metric spaces and domén.^[20]

Viz také

• Direction-preserving function - an analogue of a continuous function in discrete spaces.

Poznámky

Reference

• "Continuous function", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]