Mikrokontinuita - Microcontinuity

v nestandardní analýza, disciplína uvnitř klasická matematika, mikrokontinuita (nebo S-kontinuita) vnitřní funkce F v určitém okamžiku A je definována takto:

pro všechny X nekonečně blízko A, hodnota F(X) je nekonečně blízko F(A).

Tady X prochází doménou F. Ve vzorcích to lze vyjádřit takto:

-li ${ displaystyle x cca a}$ pak ${ displaystyle f (x) přibližně f (a)}$.

Pro funkci F definováno dne ${ displaystyle mathbb {R}}$, definici lze vyjádřit pomocí svatozář jak následuje: F je mikrokontinuální v ${ displaystyle c in mathbb {R}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f (hal (c)) podmnožina hal (f (c))}$, kde přirozené prodloužení F do hyperrealy je stále označován F. Alternativně je vlastnost mikrokontinuity na C lze vyjádřit konstatováním, že složení ${ displaystyle { text {st}} circ f}$ je konstanta halo z C, kde „st“ je standardní funkce dílu.

Dějiny

Moderní vlastnost kontinuity funkce byla poprvé definována Bolzanem v roce 1817. Bolzanovu práci si však větší matematická komunita nevšimla, dokud nebyla znovu objevena v Heine v 60. letech 18. století. Mezitím, Cauchy učebnice Cours d'Analyse definoval kontinuitu v roce 1821 pomocí nekonečně malá čísla jak je uvedeno výše.^[1]

Spojitost a jednotná spojitost

Vlastnost mikrokontinuity se obvykle aplikuje na přirozené rozšíření F* skutečné funkce F. Tím pádem, F definován na reálném intervalu Já je spojitý právě tehdy F* je mikrokontinuální v každém bodě Já. Mezitím, F je rovnoměrně spojité na Já kdyby a jen kdyby F* je mikrokontinuální v každém bodě (standardního a nestandardního) přirozeného rozšíření Já * její domény Já (viz Davis, 1977, s. 96).

Příklad 1

Skutečná funkce ${ displaystyle f (x) = { tfrac {1} {x}}}$ na otevřeném intervalu (0,1) není rovnoměrně spojitý, protože přirozené prodloužení F* z F není mikrokontinuální na infinitezimální ${ displaystyle a> 0}$. Opravdu, pro takový A, hodnoty A a 2a jsou nekonečně blízko, ale hodnoty F*, jmenovitě ${ displaystyle { tfrac {1} {a}}}$ a ${ displaystyle { tfrac {1} {2a}}}$ nejsou nekonečně blízko.

Příklad 2

Funkce ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$ není rovnoměrně spojitý, protože F* nedokáže být mikrokontinuální v nekonečném bodě ${ displaystyle H in mathbb {R} ^ {*}}$. Jmenovitě nastavení ${ displaystyle e = { tfrac {1} {H}}}$ a K. = H + E, člověk to snadno uvidí H a K. jsou nekonečně blízko, ale F*(H) a F*(K.) nejsou nekonečně blízko.

Jednotná konvergence

Jednotná konvergence podobně připouští zjednodušenou definici v hyperrealistickém prostředí. Tedy sekvence ${ displaystyle f_ {n}}$ konverguje k F jednotně, pokud pro všechny X v doméně F* a vše nekonečné n, ${ displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$ je nekonečně blízko ${ displaystyle f ^ {*} (x)}$.

Viz také

• Standardní funkce dílu

Bibliografie

• Martin Davis (1977) Aplikovaná nestandardní analýza. Čistá a aplikovaná matematika. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney. xii + 181 stran ISBN  0-471-19897-8
• Gordon, E. I .; Kusraev, A. G .; Kutateladze, S. S .: Infinitesimální analýza. Aktualizovaný a revidovaný překlad ruského originálu z roku 2001. Přeložil Kutateladze. Matematika a její aplikace, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Reference