Poloskupina - Semigroup

Asociativní vlastnost zřetězení řetězců.

Algebraické struktury mezi magmas a skupiny: A poloskupina je magma s asociativita. A monoidní je poloskupina s prvek identity.

V matematice, a poloskupina je algebraická struktura skládající se z a soubor společně s asociativní binární operace.

Binární operace semigroup je nejčastěji označována multiplikativně: X·ynebo jednoduše xy, označuje výsledek použití operace poloskupiny na objednaný pár (X, y). Asociativita je formálně vyjádřena jako tato (X·y)·z = X·(y·z) pro všechny X, y a z v poloskupině.

Poloskupiny lze považovat za zvláštní případ magmas, kde je operace asociativní nebo jako zobecnění skupiny, bez nutnosti existence prvku identity nebo inverzí.^{[poznámka 1]} Stejně jako v případě skupin nebo magmat nemusí být operace s poloskupinou nutná komutativní, tak X·y se nemusí nutně rovnat y·X; známý příklad operace, která je asociativní, ale nekomutativní je násobení matic. Pokud je operace poloskupiny komutativní, pak se poloskupina nazývá a komutativní poloskupina nebo (méně často než v EU) analogický případ skupin ) lze jej nazvat abelianská poloskupina.

A monoidní je algebraická struktura mezi skupinami a poloskupinami a je poloskupinou mající prvek identity, tedy poslouchat všechny kromě jednoho z axiomů skupiny; od monoidu není vyžadována existence inverzí. Přirozeným příkladem je struny s zřetězení jako binární operace a prázdný řetězec jako prvek identity. Omezení na neprázdné struny uvádí příklad poloskupiny, která není monoidem. Pozitivní celá čísla s přidáním tvoří komutativní poloskupinu, která není monoidem, zatímco nezáporná celá čísla tvoří monoid. Poloskupinu bez prvku identity lze snadno změnit na monoid pouhým přidáním prvku identity. V důsledku toho jsou monoidy studovány spíše v teorii poloskupin než v teorii skupin. Semigroup by neměla být zaměňována s kvazoskupiny, což jsou zobecnění skupin v jiném směru; operace v kvazigroup nemusí být asociativní, ale kvazigroup zachovat ze skupin pojem divize. Rozdělení na poloskupiny (nebo monoidy) není obecně možné.

Formální studium poloskupin začalo na počátku 20. století. První výsledky zahrnují Cayleyova věta pro poloskupiny realizace jakékoli poloskupiny jako transformační poloskupina, ve kterém libovolné funkce nahrazují roli bijekcí z teorie grup. Hluboký výsledek v klasifikaci konečných pologrup je Krohn – Rhodesova teorie, analogicky k Jordan – Hölderův rozklad pro konečné skupiny. Některé další techniky pro studium semigroup, jako Greenovy vztahy, nepodobají se na nic v teorii skupin.

Teorie konečných pologrup má zvláštní význam v teoretická informatika od padesátých let minulého století kvůli přirozenému propojení mezi konečnými poloskupinami a konečné automaty přes syntaktický monoid. v teorie pravděpodobnosti, jsou spojeny semigroup Markovovy procesy.^[1] V ostatních oblastech aplikovaná matematika, poloskupiny jsou základními modely pro lineární časově invariantní systémy. v parciální diferenciální rovnice, poloskupina je spojena s jakoukoli rovnicí, jejíž prostorový vývoj je nezávislý na čase.

Je jich mnoho speciální třídy poloskupin, poloskupiny s dalšími vlastnostmi, které se objevují v konkrétních aplikacích. Některé z těchto tříd jsou ještě blíže ke skupinám tím, že vykazují některé další, ale ne všechny vlastnosti skupiny. Z nich zmiňujeme: pravidelné poloskupiny, ortodoxní poloskupiny, poloskupiny s involucí, inverzní poloskupiny a zrušovací poloskupiny. Existují také zajímavé třídy poloskupin, které kromě skupiny neobsahují žádné skupiny triviální skupina; příklady druhého druhu jsou kapel a jejich komutativní podtřída—pololattice, které jsou také uspořádané algebraické struktury.

Definice

Poloskupina je a soubor ${displaystyle S}$ společně s a binární operace "${displaystyle cdot}$"(tj funkce ${displaystyle cdot: S imes Sightarrow S}$) který splňuje asociativní majetek:

Pro všechny ${displaystyle a, b, cin S}$, rovnice ${displaystyle (acdot b) cdot c = acdot (bcdot c)}$ drží.

Stručněji řečeno, poloskupina je asociativní magma.

Příklady poloskupin

• Prázdná poloskupina: prázdná sada tvoří poloskupinu s prázdná funkce jako binární operace.
• Poloskupina s jedním prvkem: je v podstatě pouze jeden (konkrétně pouze jeden až do izomorfismus ), singleton {A} s provozem A · A = A.
• Poloskupina se dvěma prvky: existuje pět, které se zásadně liší.
• „Flip-flop“ monoid: a poloskupina se třemi prvky představující tři operace na přepínači - nastavit, resetovat a nedělat nic.
• Sada pozitivních celá čísla s přídavkem. (Se zahrnutou 0 se to stane a monoidní.)
• Sada celá čísla s minimem nebo maximem. (Při zahrnutí kladného / záporného nekonečna se z toho stane monoid.)
• Náměstí nezáporné matice dané velikosti s násobením matice.
• Žádný ideál a prsten s množením prstenu.
• Sada všech konečných struny přes pevnou abecedu Σ s zřetězení řetězců jako operace poloskupiny - tzv.bezplatná poloskupina nad Σ ". Se zahrnutým prázdným řetězcem se tato poloskupina stane volný monoid přes Σ.
• A rozdělení pravděpodobnosti F společně se všemi konvoluční síly F, s konvolucí jako operací. Tomu se říká konvoluční poloskupina.
• Transformační poloskupiny a monoidy.
• Sada spojité funkce od a topologický prostor sám se složením funkcí tvoří monoid s funkce identity jednající jako identita. Obecněji, endomorfismy jakéhokoli předmětu a kategorie tvoří monoid ve složení.

Základní pojmy

Totožnost a nula

A levá identita poloskupiny ${displaystyle S}$ (nebo obecněji magma ) je prvek ${displaystyle e}$ takové, že pro všechny ${displaystyle x}$ v ${displaystyle S}$, ${displaystyle ex = x}$. Podobně, a správná identita je prvek ${displaystyle f}$ takové, že pro všechny ${displaystyle x}$ v ${displaystyle S}$, ${displaystyle xf = x}$. Levá i pravá identita se nazývají obě jednostranné identity. Poloskupina může mít jednu nebo více levých identit, ale žádnou pravou identitu, a naopak.

A oboustranná identita (nebo prostě identita) je prvek, který je levou i pravou identitou. Nazývají se poloskupiny s oboustrannou identitou monoidy. Poloskupina může mít maximálně jednu oboustrannou identitu. Pokud má poloskupina oboustrannou identitu, je oboustranná identita jedinou jednostrannou identitou v poloskupině. Pokud má poloskupina levou i pravou identitu, pak má dvoustrannou identitu (což je tedy jedinečná jednostranná identita).

Poloskupina ${displaystyle S}$ bez identity může být vložený v monoidu vytvořeném přilehlým prvkem ${displaystyle eotin S}$ na ${displaystyle S}$ a definování ${displaystyle ecdot s = scdot e = s}$ pro všechny ${displaystyle sin Scup {e}}$.^[2][3] Zápis ${displaystyle S ^ {1}}$ označuje monoid získaný z ${displaystyle S}$ připojením k identitě Pokud je potřeba (${displaystyle S ^ {1} = S}$ pro monoid).^[3]

Podobně každé magma má nanejvýš jedno absorpční prvek, který se v teorii poloskupin nazývá a nula. Obdobně jako výše uvedená konstrukce, pro každou poloskupinu ${displaystyle S}$, lze definovat ${displaystyle S ^ {0}}$, poloskupina s 0, která se vkládá ${displaystyle S}$.

Podskupiny a ideály

Operace poloskupiny vyvolá operaci sběru jejích podskupin: dané podskupiny A a B poloskupiny S, jejich produkt A · B, psaný běžně jako AB, je sada { ab | A v A a b v B }. (Tento pojem je definován shodně jako je to pro skupiny.) Z hlediska této operace podmnožina A je nazýván

• A podskupina -li AA je podmnožinou A,
• A správně ideální -li TAK JAKO je podmnožinou A, a
• A vlevo ideální -li SA je podmnožinou A.

Li A je jak levý ideál, tak pravý ideál, pak se nazývá an ideál (nebo a oboustranný ideál).

Li S je poloskupina, pak průsečík jakékoli kolekce podskupin z S je také podskupinou S.Takže podskupiny z S formulář a úplná mříž.

Příkladem poloskupiny bez minimálního ideálu je sada kladných celých čísel, která se přidávají. Minimální ideál a komutativní semigroup, pokud existuje, je skupina.

Greenovy vztahy, sada pěti ekvivalenční vztahy které charakterizují prvky z hlediska hlavní ideály generují, jsou důležitými nástroji pro analýzu ideálů poloskupiny a souvisejících pojmů struktury.

Podmnožina s vlastností, kterou každý prvek dojíždí s jakýmkoli jiným prvkem poloskupiny, se nazývá centrum poloskupiny.^[4] Středem poloskupiny je ve skutečnosti podskupina.^[5]

Homomorfismy a kongruence

A poloskupina homomorfismus je funkce, která zachovává strukturu semigroup. Funkce F: S → T mezi dvěma poloskupinami je homomorfismus, pokud je rovnice

F(ab) = F(A)F(b).

drží pro všechny prvky A, b v S, tj. výsledek je stejný při provádění operace poloskupiny po nebo před aplikací mapy F.

Homomorfismus poloskupiny mezi monoidy zachovává identitu, pokud je monoidní homomorfismus. Existují však poloskupinové homomorfismy, které nejsou monoidními homomorfismy, např. kanonické vložení poloskupiny ${displaystyle S}$ bez identity do ${displaystyle S ^ {1}}$. Podmínky charakterizující monoidní homomorfismy jsou dále diskutovány. Nechat ${displaystyle f: S_ {0} o S_ {1}}$ být homomorfismem poloskupiny. Obrázek uživatele ${displaystyle f}$ je také poloskupina. Li ${displaystyle S_ {0}}$ je monoid s prvkem identity ${displaystyle e_ {0}}$, pak ${displaystyle f (e_ {0})}$ je prvek identity na obrázku ${displaystyle f}$. Li ${displaystyle S_ {1}}$ je také monoid s prvkem identity ${displaystyle e_ {1}}$ a ${displaystyle e_ {1}}$ patří k obrazu ${displaystyle f}$, pak ${displaystyle f (e_ {0}) = e_ {1}}$, tj. ${displaystyle f}$ je monoidní homomorfismus. Zejména pokud ${displaystyle f}$ je surjektivní, pak se jedná o monoidní homomorfismus.

Dvě poloskupiny S a T se říká, že jsou izomorfní pokud existuje bijekce F : S ↔ T s vlastností, že pro všechny prvky A, b v S, F(ab) = F(A)F(b). Izomorfní poloskupiny mají stejnou strukturu.

A kongruence poloskupin ${displaystyle sim}$ je vztah ekvivalence který je kompatibilní s operací poloskupiny. To je podmnožina ${displaystyle sim; subseteq S imes S}$ to je vztah ekvivalence a ${displaystyle xsim y,}$ a ${displaystyle usim v,}$ naznačuje ${displaystyle xusim yv,}$ pro každého ${displaystyle x, y, u, v}$ v S. Jako každý vztah ekvivalence, shoda semigroup ${displaystyle sim}$ indukuje třídy shody

${displaystyle [a] _ {sim} = {xin Svert; xsim a}}$

a operace poloskupiny indukuje binární operaci ${displaystyle circ}$ o třídách shody:

${displaystyle [u] _ {sim} circ [v] _ {sim} = [uv] _ {sim}}$

Protože ${displaystyle sim}$ je kongruence, množina všech tříd kongruence ${displaystyle sim}$ tvoří poloskupinu s ${displaystyle circ}$, nazvaný kvocientová poloskupina nebo faktorová poloskupinaa označil ${displaystyle S / sim}$. Mapování ${displaystyle xmapsto [x] _ {sim}}$ je homomorfismus poloskupiny nazývaný kvocientová mapa, kanonický surjection nebo projekce; pokud S je monoid, pak kvocientová poloskupina je monoid s identitou ${displaystyle [1] _ {sim}}$. Naopak jádro jakéhokoli homomorfismu semigroup je kongruence semigroup. Tyto výsledky nejsou ničím jiným než konkretizací první věta o izomorfismu v univerzální algebře. Třídy shody a monoidy faktorů jsou předmětem studia systémy přepisování řetězců.

A jaderná shoda na S je jádro endomorfismu z S.^[6]

Poloskupina S uspokojuje maximální podmínka shody pokud existuje nějaká rodina shody S, seřazené podle zařazení, má maximální prvek. Podle Zornovo lemma, to odpovídá tvrzení, že vzestupný stav řetězu platí: neexistuje nekonečný přísně vzestupný řetězec shody S.^[7]

Každý ideál Já poloskupiny vyvolá podskupinu, Reesova faktorová poloskupina přes shodu X ρ y ⇔ buď X = y nebo oboje X a y jsou v Já.

Kvocienty a divize

Následující pojmy^[8] představit myšlenku, že poloskupina je obsažena v jiné.

Poloskupina T je kvocient poloskupiny S pokud existuje surjektivní morfismus pologrupy z S na T. Například, ${displaystyle (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}, +)}$ je podíl z ${displaystyle (mathbb {Z} / 4mathbb {Z}, +)}$pomocí morfismu spočívajícího v převzetí zbytku modulo 2 celého čísla.

Poloskupina T rozděluje poloskupinu S, poznamenal ${displaystyle Tpreceq S}$ -li T je kvocient podskupiny S. Zejména podskupiny z S rozděluje T, i když nemusí platit, že existuje kvocient S.

Oba tyto vztahy jsou tranzitivní.

Struktura poloskupin

Pro jakoukoli podmnožinu A z S existuje nejmenší podskupina T z S který obsahuje A, a my to říkáme A generuje T. Jeden prvek X z S generuje podskupinu { Xⁿ | n ∈ Z⁺ }. Pokud je to konečné, pak X se říká, že je z konečná objednávka, jinak je z nekonečný řád.S poloskupina se říká, že je periodicky pokud jsou všechny jeho prvky konečného řádu. O poloskupině generované jedním prvkem se říká, že je monogenní (nebo cyklický ). Pokud je monogenní poloskupina nekonečná, pak je izomorfní s poloskupinou kladné celá čísla s operací sčítání. Pokud je konečný a neprázdný, musí obsahovat alespoň jeden idempotentní Z toho vyplývá, že každá neprázdná periodická poloskupina má alespoň jeden idempotent.

Podskupina, která je také skupinou, se nazývá a podskupina. Mezi podskupinami poloskupiny a jejími idempotenty existuje úzký vztah. Každá podskupina obsahuje přesně jeden idempotent, konkrétně prvek identity podskupiny. Pro každého idempotent E poloskupiny je jedinečná maximální podskupina obsahující E. Každá maximální podskupina vzniká tímto způsobem, takže mezi idempotenty a maximálními podskupinami existuje vzájemná korespondence. Tady termín maximální podskupina se liší od standardního použití v teorii skupin.

Když je objednávka konečná, lze často říci více. Například každá neprázdná konečná poloskupina je periodická a má minimální ideál a alespoň jeden idempotent. Počet konečných poloskupin dané velikosti (větší než 1) je (samozřejmě) větší než počet skupin stejné velikosti. Například ze šestnácti možných „multiplikačních tabulek“ pro sadu dvou prvků {a, b}, osm formulářových poloskupin^{[poznámka 2]} zatímco pouze čtyři z nich jsou monoidy a pouze dvě tvoří skupiny. Více o struktuře konečných poloskupin viz Krohn – Rhodesova teorie.

Speciální třídy poloskupin

• A monoidní je poloskupina s prvek identity.
• A skupina je poloskupina s prvek identity a inverzní prvek.
• Podskupina je a podmnožina semigroup uzavřené v rámci operace semigroup.
• A zrušovací poloskupina je ten, který má zrušení majetku:^[9] A · b = A · C naznačuje b = C a podobně pro b · A = C · A.
• A kapela je poloskupina, jejíž operace je idempotentní.
• A semilattice je poloskupina, jejíž operace je idempotentní a komutativní.
• 0-jednoduché poloskupiny.
• Transformační poloskupiny: libovolná konečná poloskupina S mohou být reprezentovány transformacemi (stavové) množiny Q maximálně |S| + 1 státy. Každý prvek X z S pak mapy Q do sebe X: Q → Q a sekvence xy je definováno q(xy) = (qx)y pro každého q v Q. Sekvenování je jasně asociativní operace, zde ekvivalentní k složení funkce. Toto znázornění je základní pro všechny automat nebo konečný stavový stroj (FSM).
• The bicyklická poloskupina je ve skutečnosti monoid, který lze popsat jako bezplatná poloskupina na dvou generátorech p a q, podle vztahu pq = 1.
• C₀-skupiny.
• Pravidelné poloskupiny. Každý prvek X má alespoň jednu inverzi y uspokojující xyx=X a yxy=y; elementy X a y se někdy nazývají „vzájemně inverzní“.
• Inverzní poloskupiny jsou pravidelné poloskupiny, kde každý prvek má přesně jednu inverzní. Alternativně je běžná poloskupina inverzní právě tehdy, když dojíždějí dva idempotenti.
• Afinní poloskupina: poloskupina, která je izomorfní s konečně generovanou podskupinou Z^d. Tyto poloskupiny mají aplikace pro komutativní algebra.

Věta o struktuře komutativních pologrup

Existuje věta o struktuře komutativních semigroup, pokud jde o pololattice.^[10] Semilattice (nebo přesněji meet-semilattice) ${displaystyle (L, leq)}$ je částečně objednaná sada kde každá dvojice prvků ${displaystyle a, bin L}$ má největší dolní mez, označeno ${displaystyle awedge b}$. Operace ${displaystyle wedge}$ dělá ${displaystyle L}$ do poloskupiny splňující další idempotence zákon ${displaystyle awedge a = a}$.

Vzhledem k homomorfismu ${displaystyle f: S o L}$ z libovolné poloskupiny do pololattice, každý inverzní obraz ${displaystyle S_ {a} = f ^ {- 1} {a}}$ je (případně prázdná) poloskupina. Navíc, ${displaystyle S}$ se stává odstupňované podle ${displaystyle L}$, V tom smyslu, že

${displaystyle S_ {a} S_ {b} subseteq S_ {awedge b}}$

Li ${displaystyle f}$ je do, semilattice ${displaystyle L}$ je isomorfní s kvocient z ${displaystyle S}$ vztahem ekvivalence ${displaystyle sim}$ takhle ${displaystyle xsim y}$ iff ${displaystyle f (x) = f (y)}$. Tento vztah ekvivalence je kongruence semigroup, jak je definováno výše.

Kdykoli vezmeme kvocient komutativní semigroup shodou, dostaneme další komutativní semigroup. Věta o struktuře říká, že pro každou komutativní semigroup ${displaystyle S}$, existuje nejlepší shoda ${displaystyle sim}$ takový, že podíl ${displaystyle S}$ tímto vztahem ekvivalence je semilattice. Označení této semilattice pomocí ${displaystyle L}$, dostaneme homomorfismus ${displaystyle f}$ z ${displaystyle S}$ na ${displaystyle L}$. Jak bylo zmíněno, ${displaystyle S}$ se stává odstupňovanou touto semilattice.

Dále komponenty ${displaystyle S_ {a}}$ všichni jsou Archimédovy poloskupiny. Archimédova poloskupina je ta, kde je dána jakákoli dvojice prvků ${displaystyle x, y}$, existuje prvek ${displaystyle z}$ a ${displaystyle n> 0}$ takhle ${displaystyle x ^ {n} = yz}$.

Vlastnost Archimedean bezprostředně vyplývá z uspořádání v semilatticích ${displaystyle L}$, protože s tímto objednáním máme ${displaystyle f (x) leq f (y)}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle x ^ {n} = yz}$ pro některé ${displaystyle z}$ a ${displaystyle n> 0}$.

Skupina zlomků

The skupina zlomků nebo skupinové dokončení poloskupiny S je skupina G = G(S) generované prvky S jako generátory a všechny rovnice xy = z které platí v S tak jako vztahy.^[11] Existuje zřejmý homomorfismus poloskupiny j : S → G(S) který posílá každý prvek z S do příslušného generátoru. Toto má univerzální vlastnictví pro morfismy z S do skupiny:^[12] dané skupině H a jakýkoli homomorfismus poloskupiny k : S → Hexistuje jedinečný skupinový homomorfismus F : G → H s k=fj. Můžeme myslet na G jako "nejobecnější" skupina, která obsahuje homomorfní obraz S.

Důležitou otázkou je charakterizovat ty poloskupiny, pro které je tato mapa vložením. To nemusí vždy platit: například vezměte S být poloskupinou podmnožin nějaké sady X s set-teoretický průnik jako binární operace (toto je příklad semilattice). Od té doby A.A = A platí pro všechny prvky S, to musí platit pro všechny generátory G(S) také: což je tedy triviální skupina. Je zjevně nutné, aby to bylo možné zakotvit S mít zrušení majetku. Když S je komutativní, tato podmínka je také dostatečná^[13] a Grothendieckova skupina poloskupiny poskytuje konstrukci skupiny zlomků. Problém nekomutativních poloskupin lze vysledovat v první podstatné práci o poloskupinách.^[14][15] Anatoly Maltsev dal v roce 1937 nezbytné a dostatečné podmínky pro zakotvení.^[16]

Poloskupinové metody v parciálních diferenciálních rovnicích

Teorii semigroup lze použít ke studiu některých problémů v oblasti parciální diferenciální rovnice. Zhruba řečeno, přístupem poloskupiny je považovat časově závislou parciální diferenciální rovnici za obyčejná diferenciální rovnice na funkčním prostoru. Zvažte například následující problém počáteční / hraniční hodnoty pro rovnice tepla na prostorovém interval (0, 1) ⊂ R a časy t ≥ 0:

${displaystyle {egin {cases} částečné _ {t} u (t, x) = částečné _ {x} ^ {2} u (t, x), & xin (0,1), t> 0; u (t , x) = 0, & xin {0,1}, t> 0; u (t, x) = u_ {0} (x), & xin (0,1), t = 0.end {případů}}}$

Nechat X = L²((0, 1) R) být L^p prostor čtvercových integrovatelných funkcí se skutečnou hodnotou s doménou interval (0, 1) a nechte A být operátorem druhé derivace s doména

${displaystyle D (A) = {ig {} uin H ^ {2} ((0,1); mathbf {R}) {ig |} u (0) = u (1) = 0 {ig}},}$

kde H² je Sobolevův prostor. Poté lze výše uvedený problém počáteční / hraniční hodnoty interpretovat jako problém počáteční hodnoty pro běžnou diferenciální rovnici v prostoru X:

${displaystyle {egin {cases} {dot {u}} (t) = Au (t); u (0) = u_ {0}. end {cases}}}$

Na heuristické úrovni by řešení tohoto problému „mělo“ být u(t) = exp (tA)u₀. Pro důsledné zacházení však musí být dán smysl exponenciální z tA. Jako funkce t, exp (tA) je poloskupina operátorů z X pro sebe, přičemž počáteční stav u₀ v čase t = 0 státu u(t) = exp (tA)u₀ v čase t. Operátor A se říká, že nekonečně malý generátor poloskupiny.

Dějiny

Studium poloskupin se táhlo za studiem jiných algebraických struktur se složitějšími axiomy, jako je skupiny nebo prsteny. Řada zdrojů^[17][18] připisují první použití výrazu (ve francouzštině) J.-A. de Séguier v Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Prvky teorie abstraktních skupin) v roce 1904. Termín je používán v angličtině v roce 1908 v Harold Hinton's Teorie skupin konečných objednávek.

Anton Sushkevich získal první netriviální výsledky o poloskupinách. Jeho práce z roku 1928 „Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit“ („O konečných skupinách bez pravidla jedinečné invertibility“) určovala strukturu konečných jednoduché poloskupiny a ukázal, že minimální ideál (nebo Greenovy vztahy Třída J) konečné poloskupiny je jednoduchá.^[18] Od té chvíle byly položeny základy teorie poloskupin David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergejevič Lyapin, Alfred H. Clifford a Gordon Preston. Posledně jmenovaní vydali v letech 1961 a 1967 dvoudílnou monografii o teorii semigroup. V roce 1970 vyšlo nové periodikum Semigroup Forum (aktuálně upravil Springer Verlag ) se stal jedním z mála matematických časopisů věnovaných výhradně teorii semigroup.

The teorie reprezentace semigroup vyvinul v roce 1963 Boris Schein použitím binární vztahy na setu A a složení vztahů pro produkt poloskupiny.^[19] Na algebraické konferenci v roce 1972 zkoumal Schein literaturu o B._A, poloskupina vztahů na A.^[20] V roce 1997 Schein a Ralph McKenzie dokázal, že každá poloskupina je izomorfní s přechodnou poloskupinou binárních vztahů.^[21]

V posledních letech se vědci v oboru více specializují na specializované monografie, které se objevují na důležitých třídách poloskupin inverzní poloskupiny, jakož i monografie zaměřené na aplikace v teorie algebraických automatů, zejména pro konečné automaty a také v funkční analýza.

Zobecnění

Pokud je axiom asociativity poloskupiny zrušen, výsledkem je a magma, což není nic jiného než sada M vybaven a binární operace to je uzavřeno M × M → M.

Zobecnění jiným směrem, an n-ary semigroup (taky n-skupinová skupina, polyadická poloskupina nebo multiary semigroup) je zobecnění poloskupiny na množinu G s n-ary provoz místo binární operace.^[22] Asociativní zákon je zobecněn následovně: ternární asociativita je (abc)de = A(bcd)E = ab(cde), tj. řetězec abcde s hranatými třemi sousedními prvky. N-ary asociativita je řetězec délky n + (n − 1) s jakýmkoli n hranaté sousední prvky. 2-ary semigroup je jen semigroup. Další axiomy vedou k n-ary skupina.

Třetí zobecnění je semigroupoid, ve kterém je zrušen požadavek, aby binární relace byla celková. Protože kategorie zobecňují monoidy stejným způsobem, pologrupoid se chová podobně jako kategorie, ale postrádá identitu.

Nekonečné zobecnění komutativních poloskupin někdy zvažovali různí autoři.^[23]

Viz také

• Absorpční prvek
• Biordered sada
• Prázdná poloskupina
• Zobecněná inverze
• Prvek identity
• Lightův test asociativity
• Kvantová dynamická poloskupina
• Poloskupinový prsten
• Slabá inverze

Poznámky

Citace

Reference