Eliptická parciální diferenciální rovnice - Elliptic partial differential equation

Lineární druhého řádu parciální diferenciální rovnice (PDE) jsou klasifikovány jako buď eliptický, hyperbolický nebo parabolický. Do formuláře lze zapsat libovolný lineární PDE druhého řádu ve dvou proměnných

{ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, ,}

kde $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , a $G$ jsou funkce $X$ a $y$ a kde ${ displaystyle u_ {x} = { frac { částečné u} { částečné x}}}$ a podobně pro ${ displaystyle u_ {xx}, u_ {y}, u_ {yy}, u_ {xy}}$ . PDE napsaný v této podobě je eliptický, pokud

{ displaystyle B ^ {2} -AC <0,}

s touto konvencí pojmenování inspirovanou rovnicí pro a rovinná elipsa.

Nejjednodušší netriviální příklady eliptických PDE jsou Laplaceova rovnice, ${ displaystyle Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} = 0}$ a Poissonova rovnice, ${ displaystyle Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} = f (x, y).}$ V jistém smyslu lze jakoukoli jinou eliptickou PDE ve dvou proměnných považovat za zobecnění jedné z těchto rovnic, protože ji lze vždy dát do kanonické formy

{ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} + { text {(výrazy nižšího řádu)}} = 0}

prostřednictvím změny proměnných.^[1]^[2]

Kvalitativní chování

Eliptické rovnice nemají žádné skutečné charakteristické křivky, křivky, podél kterých není možné vyloučit alespoň jednu sekundovou derivaci ${ displaystyle u}$ z podmínek Cauchyho problém.^[1] Protože charakteristické křivky jsou jedinými křivkami, podél kterých mohou mít řešení parciálních diferenciálních rovnic s hladkými parametry diskontinuální derivace, řešení eliptických rovnic nemůže mít diskontinuální derivace kdekoli. To znamená, že eliptické rovnice jsou vhodné k popisu rovnovážných stavů, kdy již byly vyhlazeny jakékoli diskontinuity. Například můžeme získat Laplaceovu rovnici z rovnice tepla ${ displaystyle u_ {t} = Delta u}$ nastavením ${ displaystyle u_ {t} = 0}$ . To znamená, že Laplaceova rovnice popisuje ustálený stav rovnice tepla.^[2]

V parabolických a hyperbolických rovnicích charakteristiky popisují čáry, kterými procházejí informace o počátečních datech. Jelikož eliptické rovnice nemají žádné skutečné charakteristické křivky, neexistuje smysluplný smysl pro šíření informací pro eliptické rovnice. Díky tomu se eliptické rovnice lépe hodí k popisu statických, nikoli dynamických procesů.^[2]

Odvození kanonické formy

Kanonickou formu pro eliptické rovnice odvodíme ve dvou proměnných, ${ displaystyle u_ {xx} + u_ {xy} + u_ {yy} + { text {(výrazy nižšího řádu)}} = 0}$ .

{ displaystyle xi = xi (x, y)}

a

{ displaystyle eta = eta (x, y)}

.

Li ${ displaystyle u ( xi, eta) = u [ xi (x, y), eta (x, y)]}$ , použití pravidla řetězu jednou dává

{ displaystyle u_ {x} = u _ { xi} xi _ {x} + u _ { eta} eta _ {x}}

a

{ displaystyle u_ {y} = u _ { xi} xi _ {y} + u _ { eta} eta _ {y}}

,

druhá aplikace dává

{ displaystyle u_ {xx} = u _ { xi xi} { xi ^ {2}} _ {x} + u _ { eta eta} { eta ^ {2}} _ {x} + 2u_ { xi eta} xi _ {x} eta _ {x} + u _ { xi} xi _ {xx} + u _ { eta} eta _ {xx},}

{ displaystyle u_ {yy} = u _ { xi xi} { xi ^ {2}} _ {y} + u _ { eta eta} { eta ^ {2}} _ {y} + 2u_ { xi eta} xi _ {y} eta _ {y} + u _ { xi} xi _ {yy} + u _ { eta} eta _ {yy},}

a

{ displaystyle u_ {xy} = u _ { xi xi} xi _ {x} xi _ {y} + u _ { eta eta} eta _ {x} eta _ {y} + u_ { xi eta} ( xi _ {x} eta _ {y} + xi _ {y} eta _ {x}) + u _ { xi} xi _ {xy} + u _ { eta} eta _ {xy}.}

Můžeme nahradit naše PDE v xay ekvivalentní rovnicí v ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$

{ displaystyle au _ { xi xi} + 2bu _ { xi eta} + cu _ { eta eta} { text {+ (podmínky nižšího řádu)}} = 0, ,}

kde

{ displaystyle a = A { xi _ {x}} ^ {2} + 2B xi _ {x} xi _ {y} + C { xi _ {y}} ^ {2},}

{ displaystyle b = 2A xi _ {x} eta _ {x} + 2B ( xi _ {x} eta _ {y} + xi _ {y} eta _ {x}) + 2C xi _ {y} eta _ {y},}

a

{ displaystyle c = A { eta _ {x}} ^ {2} + 2B eta _ {x} eta _ {y} + C { eta _ {y}} ^ {2}.}

Hledáme, abychom transformovali naše PDE do požadované kanonické formy ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ takhle ${ displaystyle a = c}$ a ${ displaystyle b = 0}$ . To nám dává soustavu rovnic

{ displaystyle ac = A ({ xi _ {x}} ^ {2} - { eta _ {x}} ^ {2}) + 2B ( xi _ {x} xi _ {y} - eta _ {x} eta _ {y}) + C ({ xi _ {y}} ^ {2} - { eta _ {y}} ^ {2}) = 0}

{ displaystyle b = 0 = 2A xi _ {x} eta _ {x} + 2B ( xi _ {x} eta _ {y} + xi _ {y} eta _ {x}) + 2C xi _ {y} eta _ {y},}

Přidávání ${ displaystyle i}$ krát druhá rovnice s první a nastavení ${ displaystyle phi = xi + já eta}$ dává kvadratickou rovnici

{ displaystyle A { phi _ {x}} ^ {2} + 2B phi _ {x} phi _ {y} + C { phi _ {y}} ^ {2} = 0.}

Protože diskriminující ${ displaystyle B ^ {2} -AC <0}$ , tato rovnice má dvě odlišná řešení,

{ displaystyle { phi _ {x}}, { phi _ {y}} = { frac {B pm i { sqrt {AC-B ^ {2}}}} {A}}}

což jsou komplexní konjugáty. Při výběru jednoho z řešení můžeme vyřešit ${ displaystyle phi (x, y)}$ a zotavit se ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ s transformacemi ${ displaystyle xi = operatorname {Re} phi}$ a ${ displaystyle eta = operatorname {Im} phi}$ . Od té doby ${ displaystyle eta}$ a ${ displaystyle xi}$ uspokojí ${ displaystyle a-c = 0}$ a ${ displaystyle b = 0}$ , takže se změnou proměnných z xay na ${ displaystyle eta}$ a ${ displaystyle xi}$ transformuje PDE

{ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, ,}

do kanonické podoby

{ displaystyle u _ { xi xi} + u _ { eta eta} + { text {(výrazy nižšího řádu)}} = 0,}

podle přání.

Ve vyšších dimenzích

Obecná parciální diferenciální rovnice druhého řádu v $n$ proměnné mají podobu

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x_ { i} částečné x_ {j}}} ; { text {+ (podmínky nižšího řádu)}} = 0.}

Tato rovnice je považována za eliptickou, pokud neexistují žádné charakteristické povrchy, tj. Povrchy, podél kterých není možné vyloučit alespoň jednu druhou derivaci $u$ z podmínek Cauchyho problém.^[1]

Na rozdíl od dvourozměrného případu nelze tuto rovnici obecně redukovat na jednoduchou kanonickou formu.^[2]

Viz také

Eliptický operátor
Hyperbolická parciální diferenciální rovnice
Parabolická parciální diferenciální rovnice
PDE druhého řádu (pro úplnější diskusi)

Reference

^ ^A ^b ^C Pinchover, Jehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2.
^ ^A ^b ^C ^d Zauderer, Erich (1989). Parciální diferenciální rovnice aplikované matematiky. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-61298-7.

externí odkazy

[pinchover-1] A ^b ^C Pinchover, Jehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2.

[Zauderer-2] A ^b ^C ^d Zauderer, Erich (1989). Parciální diferenciální rovnice aplikované matematiky. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-61298-7.

[1]

[2]