Neomezený operátor - Unbounded operator

v matematika, konkrétněji funkční analýza a teorie operátorů, pojem neomezený operátor poskytuje abstraktní rámec pro řešení diferenciální operátory, neomezený pozorovatelné v kvantové mechanice a dalších případech.

Pojem „neomezený operátor“ může být zavádějící, protože

• „neomezeně“ by mělo být někdy chápáno jako „neomezeně“;
• „operátor“ by měl být chápán jako „lineární operátor „(jako v případě„ omezeného operátora “);
• doménou operátora je lineární podprostor, ne nutně celý prostor;
• tento lineární podprostor nemusí být nutně uzavřený; často (ale ne vždy) se předpokládá, že je hustý;
• ve zvláštním případě omezeného operátoru se stále předpokládá, že doménou je celý prostor.

Na rozdíl od omezené operátory, neomezené operátory v daném prostoru netvoří algebru, dokonce ani lineární prostor, protože každý z nich je definován ve své vlastní doméně.

Termín „operátor“ často znamená „omezený lineární operátor“, ale v kontextu tohoto článku znamená „neomezený operátor“ s výše uvedenými výhradami. Daný prostor se považuje za a Hilbertův prostor.^{[je zapotřebí objasnění ]} Některé zobecnění na Banachovy prostory a obecnější topologické vektorové prostory jsou možné.

Krátká historie

Teorie neomezených operátorů se vyvinula koncem 20. a počátkem 30. let jako součást vývoje přísného matematického rámce pro kvantová mechanika.^[1] Vývoj teorie je způsoben John von Neumann^[2] a Marshall Stone.^[3] Von Neumann představil použití grafy analyzovat neomezené operátory v roce 1936.^[4]

Definice a základní vlastnosti

Nechat X, Y být Banachovy prostory. An neomezený operátor (nebo jednoduše operátor) T : X → Y je lineární mapa T z lineárního podprostoru D(T) ⊆ X - doména T - do vesmíru Y.^[5] Na rozdíl od obvyklé konvence T nemusí být definovány v celém prostoru X. Dva operátoři jsou si rovni, pokud mají společnou doménu a shodují se na této společné doméně.^[5]

Provozovatel T se říká, že je Zavřeno jestli je to graf Γ (T) je uzavřená sada.^[6] (Tady, graf Γ (T) je lineární podprostor přímý součet X ⊕ Y, definovaný jako množina všech párů (X, Tx), kde X běží přes doménu T .) Výslovně to znamená, že pro každou sekvenci {X_n} bodů z domény T takhle X_n → X a Tx_n → y, to platí X patří do domény T a Tx = y.^[6] Uzavření lze formulovat také z hlediska grafová norma: operátor T je uzavřen, pouze pokud je jeho doménou D(T) je kompletní prostor s ohledem na normu:^[7]

${ displaystyle | x | _ {T} = { sqrt { | x | ^ {2} + | Tx | ^ {2}}}.}$

Provozovatel T se říká, že je hustě definované pokud je jeho doména hustý v X.^[5] To zahrnuje i operátory definované na celém prostoru X, protože celý prostor je sám o sobě hustý. Hustota domény je nezbytná a dostatečná pro existenci adjunktu (pokud X a Y jsou Hilbertovy prostory) a transpozice; viz níže uvedené části.

Li T : X → Y je uzavřený, hustě definovaný a kontinuální na její doméně, pak její doména je celá X.^[8]

Hustě definovaný operátor T na Hilbertův prostor H je nazýván ohraničený zdola -li T + A je kladný operátor pro nějaké skutečné číslo A. To znamená, ⟨Tx|X⟩ ≥ −A ||X||² pro všechny X v doméně T (nebo alternativně ⟨Tx|X⟩ ≥ A ||X||² od té doby A je libovolný).^[9] Pokud obojí T a −T jsou potom ohraničeny zdola T je omezený.^[9]

Příklad

Nechat C([0, 1]) označit prostor spojitých funkcí na jednotkovém intervalu a nechat C¹([0, 1]) označují prostor spojitě diferencovatelných funkcí. Vybavujeme ${ displaystyle C ([0,1])}$ s normou supremum, ${ displaystyle | cdot | _ { infty}}$, což z něj dělá Banachův prostor. Definujte klasický operátor diferenciace d/dx : C¹([0, 1]) → C([0, 1]) obvyklým vzorcem:

${ displaystyle left ({ frac {d} {dx}} f right) (x) = lim _ {h až 0} { frac {f (x + h) -f (x)} { h}}, qquad forall x in [0,1].}$

Každá rozlišitelná funkce je spojitá, takže C¹([0, 1]) ⊆ C([0, 1]). Tvrdíme to d/dx : C([0, 1]) → C([0, 1]) je dobře definovaný neomezený operátor s doménou C¹([0, 1]). K tomu musíme ukázat, že ${ displaystyle { frac {d} {dx}}}$ je lineární a pak například některé vykazuje ${ displaystyle {f_ {n} } _ {n} podmnožina C ^ {1} ([0,1])}$ takhle ${ displaystyle | f_ {n} | _ { infty} = 1}$ a ${ displaystyle sup _ {n} | { frac {d} {dx}} f_ {n} | _ { infty} = + infty}$.

Toto je lineární operátor, protože lineární kombinace a f + bg dvou kontinuálně diferencovatelných funkcí  F , G je také neustále diferencovatelné a

${ displaystyle left ({ tfrac {d} {dx}} right) (af + bg) = a left ({ tfrac {d} {dx}} f right) + b left ({ tfrac {d} {dx}} g right).}$

Provozovatel není omezen. Například,

${ displaystyle { begin {cases} f_ {n}: [0,1] až [-1,1] f_ {n} (x) = sin (2 pi nx) end {cases} }}$

uspokojit

${ displaystyle left | f_ {n} right | _ { infty} = 1,}$

ale

${ displaystyle left | left ({ tfrac {d} {dx}} f_ {n} right) right | _ { infty} = 2 pi n to infty}$

tak jako ${ displaystyle n to infty}$.

Operátor je hustě definovaný a uzavřený.

Se stejným operátorem lze zacházet jako s operátorem Z → Z pro mnoho možností Banachova prostoru Z a nesmí být mezi žádným z nich vázán. Zároveň jej lze ohraničit jako operátor X → Y pro další páry Banachových prostorů X, Y, a také jako operátor Z → Z pro některé topologické vektorové prostory Z.^{[je zapotřebí objasnění ]} Jako příklad nechte Já ⊂ R být otevřený interval a zvážit

${ displaystyle { frac {d} {dx}}: left (C ^ {1} (I), | cdot | _ {C ^ {1}} right) doleva (C ( I), | cdot | _ { infty} vpravo),}$

kde:

${ displaystyle | f | _ {C ^ {1}} = | f | _ { infty} + | f ' | _ { infty}.}$

Sousední

Adjung neomezeného operátoru lze definovat dvěma ekvivalentními způsoby. Nechat T : D(T) ⊆ H₁ → H₂ být neomezeným operátorem mezi Hilbertovými prostory.

Nejprve jej lze definovat analogickým způsobem, jakým se definuje adjoint omezeného operátoru. Jmenovitě adjoint T ^∗ : D(T ^*) ⊆ H₂ → H₁ z T je definován jako operátor s vlastností:

${ displaystyle langle Tx mid y rangle _ {2} = left langle x mid T ^ {*} y right rangle _ {1}, qquad x v D (T).}$

Přesněji, T ^∗ je definován následujícím způsobem. Li y ∈ H₂ je takový ${ displaystyle x mapsto langle Tx mid y rangle}$ je spojitá lineární funkce na doméně T, pak y je deklarován jako prvek D(T ^*) , a po rozšíření lineární funkce na celý prostor pomocí Hahnova – Banachova věta, je možné najít a z v H₁ takhle

${ displaystyle langle Tx mid y rangle _ {2} = langle x mid z rangle _ {1}, qquad x v D (T),}$

protože duální Hilbertův prostor lze identifikovat pomocí sady lineárních funkcionálů daných vnitřním součinem. Pro každého y, z je jednoznačně určeno právě tehdy, když byla takto rozšířená lineární funkce hustě definována; tj. pokud T je hustě definován. Nakonec necháme T ^∗y = z dokončuje stavbu T ^∗.^[10] Všimněte si, že T ^∗ existuje právě tehdy T je hustě definován.

Podle definice doména T ^∗ sestává z prvků y v H₂ takhle ${ displaystyle x mapsto langle Tx mid y rangle}$ je spojitá na doméně T. V důsledku toho je doménou T ^∗ může být cokoli; může to být triviální (tj. obsahuje pouze nulu).^[11] Může se stát, že doména T^∗ je uzavřený nadrovina a T ^∗ zmizí všude v doméně.^[12][13] Takto omezenost T ^∗ na jeho doméně neznamená omezenost T. Na druhou stranu, pokud T ^∗ je tedy definován v celém prostoru T je ohraničen na své doméně, a proto jej lze rozšířit kontinuitou na omezeného operátora v celém prostoru.^[14] Pokud doména T ^∗ je hustý, pak má svůj adjoint T ^∗∗.^[15] Uzavřený hustě definovaný operátor T je omezen právě tehdy T ^∗ je omezený.^[16]

Další ekvivalentní definici adjunktu lze získat povšimnutím si obecné skutečnosti. Definujte lineární operátor J jak následuje:^[15]

${ displaystyle { begin {cases} J: H_ {1} oplus H_ {2} to H_ {2} oplus H_ {1} J (x oplus y) = - y oplus x end {případy}}}$

Od té doby J je izometrický surjection, je jednotný. Proto: J(Γ (T))^⊥ je graf nějakého operátora S kdyby a jen kdyby T je hustě definován.^[17] Jednoduchý výpočet ukazuje, že tento „nějaký“ S splňuje:

${ displaystyle langle Tx mid y rangle _ {2} = langle x mid Sy rangle _ {1},}$

pro každého X v doméně T. Tím pádem, S je adjoint z T.

Z výše uvedené definice bezprostředně vyplývá, že adjunkt T ^∗ je zavřený.^[15] Zejména operátor s vlastním nastavením (tj. T = T ^∗) je zavřený. Provozovatel T je uzavřený a hustě definovaný právě tehdy T ^∗∗ = T.^[18]

Některé dobře známé vlastnosti pro ohraničené operátory zobecňují na uzavřené hustě definované operátory. Jádro uzavřeného operátora je uzavřeno. Navíc jádro uzavřeného hustě definovaného operátora T : H₁ → H₂ se shoduje s ortogonálním doplňkem rozsahu adjunktu. To znamená,^[19]

${ displaystyle operatorname {ker} (T) = operatorname {ran} (T ^ {*}) ^ { bot}.}$

von Neumannova věta tvrdí, že T ^∗T a TT ^∗ jsou self-adjoint, a to Já + T ^∗T a Já + TT ^∗ oba mají ohraničené inverze.^[20] Li T ^∗ má triviální jádro, T má hustý rozsah (podle výše uvedené identity). Navíc:

T je surjektivní právě tehdy, když existuje K. > 0 takhle || F ||₂ ≤ K. ||T ^∗F ||₁ pro všechny  F  v D(T ^∗).^[21] (Jedná se v podstatě o variantu tzv věta o uzavřeném rozsahu.) Zejména, T má uzavřený rozsah právě tehdy T ^∗ má uzavřený rozsah.

Na rozdíl od omezeného případu to není nutné (TS)^∗ = S ^∗T ^∗, protože například je dokonce možné, že (TS)^∗ neexistuje.^{[Citace je zapotřebí ]} To však platí v případě, že například T je omezený.^[22]

Hustě definovaný, uzavřený operátor T je nazýván normální pokud splňuje následující rovnocenné podmínky:^[23]

• T ^∗T = TT ^∗;
• doména T se rovná doméně T ^∗, a ||Tx|| = ||T ^∗X|| pro každého X v této doméně;
• existují operátoři s vlastním adjunktem A, B takhle T = A + IB, T^∗ = A – IB, a ||Tx||²= ||Sekera||² + ||Bx||² pro každého X v doméně T.

Každý operátor s vlastním nastavením je normální.

Přemístit

Nechat T : B₁ → B₂ být operátorem mezi Banachovými prostory. Pak přemístit (nebo dvojí) ${ displaystyle T ': {B_ {2}} ^ {*} do {B_ {1}} ^ {*}}$ z T je operátor splňující:

${ displaystyle langle Tx, y ' rangle = langle x, T'y' rangle}$

pro všechny X v B₁ a y v B₂^*. Zde jsme použili notaci: ${ displaystyle langle x, x ' rangle = x' (x)}$.^[24]

Nutná a dostatečná podmínka pro provedení T existovat je to T je hustě definován (v zásadě ze stejného důvodu jako sousední, jak je uvedeno výše).

Pro jakýkoli Hilbertův prostor H, existuje anti-lineární izomorfismus:

${ displaystyle J: H ^ {*} do H}$

dána Jf = y kde ${ displaystyle f (x) = langle x mid y rangle _ {H}, (x v H)}$Prostřednictvím tohoto izomorfismu se provádí T^' se týká adjunktu T^∗ následujícím způsobem:

${ displaystyle T ^ {*} = J_ {1} T'J_ {2} ^ {- 1}}$,^[25]

kde ${ displaystyle J_ {j}: H_ {j} ^ {*} do H_ {j}}$. (U konečně-dimenzionálního případu to odpovídá skutečnosti, že adjunkt matice je její konjugovaná transpozice.) Všimněte si, že toto dává definici adjunktu z hlediska transpozice.

Uzavřené lineární operátory

Uzavřené lineární operátory jsou třídou lineární operátory na Banachovy prostory. Jsou obecnější než omezené operátory, a proto ne nutně kontinuální, ale stále si zachovávají dostatečně pěkné vlastnosti, které lze definovat spektrum a (s určitými předpoklady) funkční kalkul pro takové operátory. Mnoho důležitých lineárních operátorů, které nelze ohraničit, se ukázalo být uzavřeno, například derivát a velká třída diferenciální operátory.

Nechat X, Y být dva Banachovy prostory. A lineární operátor A : D(A) ⊆ X → Y je Zavřeno pokud pro každého sekvence {X_n} v D(A) konvergující na X v X takhle Sekera_n → y ∈ Y tak jako n → ∞ jeden má X ∈ D(A) a Sekera = y. Ekvivalentně A je uzavřen, pokud je graf je Zavřeno v přímý součet X ⊕ Y.

Vzhledem k lineárnímu operátoru A, nemusí být nutně uzavřeno, pokud je uzavření jeho grafu v X ⊕ Y stane se grafem nějakého operátora, kterému se operátor říká uzavření z A, a my to říkáme A je uzavíratelné. Označte uzavření A podle A. Z toho vyplývá, že A je omezení z A na D(A).

A jádro (nebo základní doména) uzavíratelného operátora je a podmnožina C z D(A) takové, že ukončení omezení A na C je A.

Příklad

Zvažte derivát operátor A = d/dx kde X = Y = C([A, b]) je Banachův prostor ze všech spojité funkce na interval [A, b]. Pokud si někdo vezme jeho doménu D(A) být C¹([A, b]), pak A je uzavřený operátor, který není omezen.^[26] Na druhou stranu, pokud D(A) = C^∞([A, b]), pak A již nebude uzavřen, ale bude uzavíratelný, přičemž uzávěr je jeho prodloužením definovaným na C¹([A, b]).

Symetrické operátory a operátory s vlastním nastavením

Provozovatel T na Hilbertově prostoru je symetrický jen a jen pokud pro každého X a y v doméně T my máme ${ displaystyle langle Tx mid y rangle = langle x mid Ty rangle}$. Hustě definovaný operátor T je symetrický právě tehdy, pokud souhlasí s jeho adjointem T^∗ omezeno na doménu Tjinými slovy, když T^∗ je příponou T.^[27]

Obecně, pokud T je hustě definovaná a symetrická, doména adjunktu T^∗ nemusí se rovnat doméně T. Li T je symetrický a doména T a doména adjunktu se shoduje, pak to říkáme T je sebe-adjunkt.^[28] Všimněte si, že když T je sebe-adjunkt, existence adjunktu to naznačuje T je hustě definován a od té doby T^∗ je nutně uzavřeno, T je zavřený.

Hustě definovaný operátor T je symetrický, pokud je to podprostor Γ (T) (definovaný v předchozí části) je kolmý k jeho obrazu J(Γ (T)) pod J (kde J(X,y):=(y,-X)).^[29]

Ekvivalentně operátor T je sebe-adjunkt pokud je hustě definovaný, uzavřený, symetrický a splňuje čtvrtou podmínku: oba operátory T – i, T + i jsou surjektivní, tj. mapují doménu T do celého prostoru H. Jinými slovy: pro každého X v H existují y a z v doméně T takhle Ty – iy = X a Tz + iz = X.^[30]

Provozovatel T je sebe-adjunkt, pokud dva podprostory Γ (T), J(Γ (T)) jsou kolmé a jejich součet je celý prostor ${ displaystyle H oplus H.}$^[15]

Tento přístup se nevztahuje na hustě definované uzavřené operátory. Non-hustě definované symetrické operátory lze definovat přímo nebo pomocí grafů, ale ne pomocí adjoint operátorů.

Symetrický operátor je často studován prostřednictvím jeho Cayleyova transformace.

Provozovatel T na komplexním Hilbertově prostoru je symetrický právě tehdy, pokud je jeho kvadratická forma skutečná, tj. číslo ${ displaystyle langle Tx mid x rangle}$ je skutečný pro všechny X v doméně T.^[27]

Hustě definovaný uzavřený symetrický operátor T je samo-adjunktní právě tehdy T^∗ je symetrický.^[31] Může se stát, že tomu tak není.^[32][33]

Hustě definovaný operátor T je nazýván pozitivní^[9] (nebo nezáporné^[34]) pokud je jeho kvadratická forma nezáporná, to znamená, ${ displaystyle langle Tx mid x rangle geq 0}$ pro všechny X v doméně T. Takový operátor je nutně symetrický.

Operátor T^∗T je sebe-adjunkt^[35] a pozitivní^[9] pro každou hustě definovanou, uzavřenou T.

The spektrální věta platí pro operátory s vlastním nastavením ^[36] a navíc běžným operátorům,^[37][38] ale ne hustě definovaným uzavřeným operátorům obecně, protože v tomto případě může být spektrum prázdné.^[39][40]

Symetrický operátor definovaný všude je uzavřený, tedy ohraničený,^[6] který je Hellingerova-Toeplitzova věta.^[41]

Související s příponou

Podle definice operátor T je rozšíření operátora S -li Γ (S) ⊆ Γ (T).^[42] Ekvivalentní přímá definice: pro každého X v doméně S, X patří do domény T a Sx = Tx.^[5][42]

Všimněte si, že všude definované rozšíření existuje pro každého operátora, což je čistě algebraický fakt vysvětlený na Diskontinuální lineární mapa # Věta o obecné existenci a na základě axiom volby. Pokud daný operátor není ohraničený, pak je přípona a nespojitá lineární mapa. Má malé využití, protože nedokáže zachovat důležité vlastnosti daného operátora (viz níže) a obvykle je vysoce nejedinečný.

Provozovatel T je nazýván uzavíratelné pokud splňuje následující rovnocenné podmínky:^[6][42][43]

• T má uzavřený nástavec;
• uzavření grafu T je graf nějakého operátora;
• pro každou sekvenci (X_n) bodů z domény T takhle X_n → 0 a také Tx_n → y to platí y = 0.

Ne všichni operátoři jsou uzavíratelní.^[44]

Uzavíratelný operátor T má nejméně uzavřenou příponu ${ displaystyle { overline {T}}}$ volal uzavření z T. Uzavření grafu T se rovná grafu ${ displaystyle { overline {T}}.}$^[6][42]

Mohou existovat i jiné, nikoli minimální uzavřené přípony.^[32][33]

Hustě definovaný operátor T je uzavíratelný právě tehdy T^∗ je hustě definován. V tomto případě ${ displaystyle { overline {T}} = T ^ {**}}$ a ${ displaystyle ({ overline {T}}) ^ {*} = T ^ {*}.}$^[15][45]

Li S je hustě definován a T je příponou S pak S^∗ je příponou T^∗.^[46]

Každý symetrický operátor je uzavíratelný.^[47]

Symetrický operátor se nazývá maximální symetrický pokud nemá žádná symetrická rozšíření, kromě sebe.^[27]

Každý operátor s vlastním adjunktem je maximální symetrický.^[27] Konverzace je špatná.^[48]

Je volán operátor v zásadě se přizpůsobí pokud je jeho uzavření samoadjungováno.^[47]

Operátor je v zásadě samo-adjunktní právě tehdy, má-li jednu a pouze jednu samo-adjunktní příponu.^[31]

Symetrický operátor může mít více než jedno samoadjunkční rozšíření a dokonce i jejich kontinuum.^[33]

Hustě definovaný, symetrický operátor T je v podstatě samo-adjunktní právě tehdy, když oba operátoři T – i, T + i mít hustý rozsah.^[49]

Nechat T být hustě definovaným operátorem. Označení vztahu "T je příponou S"od S ⊂ T (běžná zkratka pro Γ (S) ⊆ Γ (T)) jeden má následující.^[50]

• Li T je tedy symetrický T ⊂ T^∗∗ ⊂ T^∗.
• Li T je uzavřený a symetrický T = T^∗∗ ⊂ T^∗.
• Li T je potom samo-adjunktní T = T^∗∗ = T^∗.
• Li T je tedy v zásadě samo-adjunktní T ⊂ T^∗∗ = T^∗.

Důležitost operátorů se samostatným přidružením

Třída operátoři s vlastním nastavením je zvláště důležitý v matematické fyzice. Každý operátor s vlastním adjunktem je hustě definovaný, uzavřený a symetrický. Naopak platí pro ohraničené operátory, ale obecně selže. Self-adjointness je podstatně více omezující než tyto tři vlastnosti. Známý spektrální věta platí pro operátory s vlastním adjuntingem. V kombinaci s Stoneova věta o jednoparametrových unitárních skupinách ukazuje, že operátoři s vlastním adjunktem jsou přesně nekonečnými generátory silně spojitých jednoparametrových unitárních skupin, viz Self-adjoint operator # Self-adjoint extensions in quantum mechanics. Takové jednotné skupiny jsou zvláště důležité pro popis vývoj času v klasické a kvantové mechanice.

Viz také

• Hilbertův prostor # Neomezené operátory
• Stone – von Neumannova věta
• Ohraničený operátor

Poznámky

Reference

• Berezansky, Y.M .; Sheftel, Z.G .; Nás, G.F. (1996), Funkční analýza, II, Birkhäuser (viz Kapitola 12 „Obecná teorie neomezených operátorů v Hilbertových prostorech“).
• Brezis, Haim (1983), Analyse fonctionnelle - Théorie et applications (ve francouzštině), Paris: Mason
• „Neomezený operátor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Hall, B.C. (2013), „Kapitola 9. Bez omezení, operátoři se samočinným přidružením“, Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN  978-1461471158
• Kato, Tosio (1995), „Kapitola 5. Operátoři v Hilbertově prostoru“, Poruchová teorie pro lineární operátory, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  3-540-58661-X
• Pedersen, Gert K. (1989), Analýza nyníSpringer (viz kapitola 5 „Neomezené operátory“).
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Metody moderní matematické fyziky, 1: Functional Analysis (revised and expanded ed.), Academic Press (viz kapitola 8 „Neomezené operátory“).
• Teschl, Gerald (2009). Matematické metody v kvantové mechanice; S aplikacemi pro provozovatele Schrödinger. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-4660-5.
• Yoshida, Kôsaku (1980), Funkční analýza (šesté vydání), Springer

Tento článek obsahuje materiál od uzavřeného operátora PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.