Vícerozměrná stabilní distribuce - Multivariate stable distribution

multivariační stabilní

Funkce hustoty pravděpodobnosti Tepelná mapa zobrazující stabilní rozdělení s více proměnnými (bivariate) sα = 1.1
Parametry	${ displaystyle alpha in (0,2]}$ — exponent ${ displaystyle delta in mathbb {R} ^ {d}}$ - posun / umístění vektoru ${ Displaystyle Lambda (y)}$ - spektrální konečná míra na kouli
Podpěra, podpora	${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {d}}$
PDF	(bez analytického výrazu)
CDF	(bez analytického výrazu)
Rozptyl	Nekonečné kdy ${ displaystyle alpha <2}$
CF	viz text

The vícerozměrná stabilní distribuce je vícerozměrný rozdělení pravděpodobnosti to je vícerozměrné zobecnění univariate stabilní distribuce. Vícerozměrné stabilní rozdělení definuje lineární vztahy mezi stabilní distribuce marginální.^{[je zapotřebí objasnění ]} Stejně jako v případě jednorozměrného případu je distribuce definována z hlediska svého charakteristická funkce.

O vícerozměrné stabilní distribuci lze také uvažovat jako o rozšíření vícerozměrné normální rozdělení. Má parametr,α, který je definován v rozsahu 0 <α ≤ 2, a pokud je to takα = 2 je ekvivalentní vícerozměrnému normálnímu rozdělení. Má další parametr zkosení, který umožňuje nesymetrické distribuce, kde vícerozměrné normální rozdělení je symetrický.

Definice

Nechat ${ displaystyle mathbb {S}}$ být jednotkovou koulí v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d} colon mathbb {S} = {u in mathbb {R} ^ {d} colon | u | = 1 }}$. A náhodný vektor, ${ displaystyle X}$, má vícerozměrnou stabilní distribuci - označenou jako ${ displaystyle X sim S ( alfa, lambda, delta)}$ -, pokud je společná charakteristická funkce ${ displaystyle X}$ je^[1]

${ displaystyle operatorname {E} exp (iu ^ {T} X) = exp left {- int limity _ {s in mathbb {S}} left {| u ^ {T } s | ^ { alpha} + i nu (u ^ {T} s, alfa) doprava } , Lambda (ds) + iu ^ {T} delta doprava }}$

kde 0 <α <2 a pro ${ displaystyle y in mathbb {R}}$

${ displaystyle nu (y, alpha) = { začátek {případů} - mathbf {znamení} (y) tan ( pi alpha / 2) | y | ^ { alpha} & alpha neq 1, (2 / pi) y ln | y | & alpha = 1. End {případy}}}$

To je v podstatě výsledek Feldheimu,^[2] že jakýkoli stabilní náhodný vektor lze charakterizovat spektrálním měřítkem ${ displaystyle Lambda}$ (konečné opatření na ${ displaystyle mathbb {S}}$) a vektor posunu ${ displaystyle delta in mathbb {R} ^ {d}}$.

Parametrizace pomocí projekcí

Dalším způsobem, jak popsat stabilní náhodný vektor, je projekce. Pro jakýkoli vektor ${ displaystyle u}$, projekce ${ displaystyle u ^ {T} X}$ je jednorozměrný ${ displaystyle alpha -}$stabilní s trochou šikmosti ${ displaystyle beta (u)}$, měřítko ${ displaystyle gamma (u)}$ a nějaký posun ${ displaystyle delta (u)}$. Zápis ${ Displaystyle X sim S ( alpha, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$ se používá, pokud je X stabilní s${ displaystyle u ^ {T} X sim s ( alpha, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$pro každého ${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {d}}$. Tomu se říká parametrizace projekce.

Spektrální opatření určuje funkce parametrů projekce podle:

${ displaystyle gamma (u) = { Bigl (} int _ {s in mathbb {S}} | u ^ {T} s | ^ { alpha} Lambda (ds) { Bigr)} ^ {1 / alpha}}$

${ displaystyle beta (u) = int _ {s in mathbb {S}} | u ^ {T} s | ^ { alpha} mathbf {sign} (u ^ {T} s) Lambda (ds) / gamma (u) ^ { alpha}}$

${ displaystyle delta (u) = { begin {cases} u ^ {T} delta & alpha neq 1 u ^ {T} delta - int _ {s in mathbb {S} } { tfrac { pi} {2}} u ^ {T} s ln | u ^ {T} s | Lambda (ds) & alpha = 1 end {případy}}}$

Speciální případy

Existují speciální případy, kdy je multivariační charakteristická funkce má jednodušší formu. Definujte charakteristickou funkci stabilního okraje jako

${ displaystyle omega (y | alfa, beta) = { begin {případy} | y | ^ { alpha} left [1-i beta ( tan { tfrac { pi alpha} { 2}}) mathbf {sign} (y) right] & alpha neq 1 | y | left [1 + i beta { tfrac {2} { pi}} mathbf {sign} (y) ln | y | right] & alpha = 1 end {případy}}}$

Izotropní vícerozměrná stabilní distribuce

Charakteristická funkce je${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- gamma _ {0} ^ { alpha} | u | ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) } }$ Spektrální míra je spojitá a rovnoměrná, což vede k radiální / izotropní symetrii.^[3]Pro multinormální případ ${ displaystyle alpha = 2}$, to odpovídá nezávislým komponentám, ale není tomu tak, když ${ displaystyle alpha <2}$. Izotropie je speciální případ elipticity (viz další odstavec) - stačí vzít ${ displaystyle Sigma}$ být násobkem matice identity.

Elipticky tvarovaná vícerozměrná stabilní distribuce

The elipticky tvarované vícerozměrná stabilní distribuce je speciální symetrický případ vícerozměrné stabilní distribuce X je α-stabilní a elipticky tvarovaný, pak má kloub charakteristická funkce ${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- (u ^ {T} Sigma u) ^ { alpha / 2} + iu ^ {T} delta) }}$ pro nějaký posunový vektor ${ displaystyle delta v R ^ {d}}$ (rovná se průměru, pokud existuje) a nějaká pozitivní definitivní matice ${ displaystyle Sigma}$ (blízký korelační matici, i když obvyklá definice korelace nemá smysl). Všimněte si vztahu k charakteristické funkci vícerozměrné normální rozdělení: ${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- (u ^ {T} Sigma u) + iu ^ {T} delta) }}$ získáno, když α = 2.

Nezávislé komponenty

Okrajové jsou nezávislé na ${ displaystyle X_ {j} sim S ( alpha, beta _ {j}, gamma _ {j}, delta _ {j})}$, pak je charakteristická funkce

${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp left {- sum _ {j = 1} ^ {m} omega (u_ {j} | alpha, beta _ {j }) gamma _ {j} ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) doprava }}$

Všimněte si, že když α = 2 toto se opět redukuje na vícerozměrný normál; Všimněte si, že případ iid a izotropní případ se neshodují, když α <2. Nezávislé komponenty jsou zvláštním případem diskrétní spektrální míry (viz další odstavec), přičemž spektrální míra je podporována standardními jednotkovými vektory.

Tepelná mapa zobrazující nezávislou stabilní distribuci s více proměnnými (bivariate) sα = 1

Tepelná mapa zobrazující nezávislou stabilní distribuci s více proměnnými (bivariate) sα = 2

Oddělený

Pokud je spektrální míra diskrétní s hmotou ${ displaystyle lambda _ {j}}$ na ${ displaystyle s_ {j} in mathbb {S}, j = 1, ldots, m}$charakteristická funkce je

${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp left {- sum _ {j = 1} ^ {m} omega (u ^ {T} s_ {j} | alpha, 1) lambda _ {j} ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) right }}$

Lineární vlastnosti

Li ${ Displaystyle X sim S ( alpha, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$ je d-dimenzionální, A je m X d matice a ${ displaystyle b in mathbb {R} ^ {m},}$ pak AX + b je m-dimenzionální ${ displaystyle alpha}$-stabilní s funkcí měřítka ${ displaystyle gamma (A ^ {T} cdot),}$ funkce šikmosti ${ displaystyle beta (A ^ {T} cdot),}$ a lokalizační funkce ${ displaystyle delta (A ^ {T} cdot) + b ^ {T}.}$

Odvození v modelu nezávislé komponenty

Nedávno^[4] bylo ukázáno, jak vypočítat závěr v uzavřené formě v lineárním modelu (nebo ekvivalentně a faktorová analýza model), zahrnující modely nezávislých komponent.

Přesněji řečeno ${ displaystyle X_ {i} sim S ( alpha, beta _ {x_ {i}}, gamma _ {x_ {i}}, delta _ {x_ {i}}), i = 1, ldots, n}$ být souborem i.i.d. nepozorovaný univariant čerpaný z a stabilní distribuce. Vzhledem ke známé matici lineárního vztahu velikosti A ${ displaystyle n krát n}$pozorování ${ displaystyle Y_ {i} = součet _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} X_ {j}}$ se předpokládá, že jsou distribuovány jako konvoluce skrytých faktorů ${ displaystyle X_ {i}}$. ${ displaystyle Y_ {i} = S ( alpha, beta _ {y_ {i}}, gamma _ {y_ {i}}, delta _ {y_ {i}})}$. Úlohou odvození je spočítat nejpravděpodobnější ${ displaystyle X_ {i}}$, vzhledem k matici lineárního vztahu A a pozorování ${ displaystyle Y_ {i}}$. Tuto úlohu lze vypočítat v uzavřené formě v O (n³).

Aplikace pro tuto konstrukci je detekce více uživatelů se stabilním negaussovským šumem.

Viz také

• Vícerozměrné Cauchyovo rozdělení
• Vícerozměrné normální rozdělení

Zdroje

• Balíček Matlabu stabilní distribuce Marka Veillette http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• Grafy na této stránce byly vykresleny pomocí závěru Dannyho Bicksona v lineárně stabilním modelu Matlab balíčku: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable

Poznámky