F-distribuce - F-distribution

Fisher – Snedecor

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	d1, d2 > 0 stupňů svobody
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (0, + infty) ;}$ -li ${ displaystyle d_ {1} = 1}$, v opačném případě ${ displaystyle x v [0, + infty) ;}$
PDF	${ displaystyle { frac { sqrt { frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} d_ {2} ^ {d_ {2}}} {{d_ {1} x + d_ {2 }) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}}} {x , mathrm {B} ! left ({ frac {d_ {1}} {2}}, { frac {d_ {2}} {2}} vpravo)}} !}$
CDF	${ displaystyle I _ { frac {d_ {1} x} {d_ {1} x + d_ {2}}} vlevo ({ tfrac {d_ {1}} {2}}, { tfrac {d_ { 2}} {2}} vpravo)}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {d_ {2}} {d_ {2} -2}} !}$ pro d2 > 2
Režim	${ displaystyle { frac {d_ {1} -2} {d_ {1}}} ; { frac {d_ {2}} {d_ {2} +2}}}$ pro d1 > 2
Rozptyl	${ displaystyle { frac {2 , d_ {2} ^ {2} , (d_ {1} + d_ {2} -2)} {d_ {1} (d_ {2} -2) ^ {2 } (d_ {2} -4)}} !}$ pro d2 > 4
Šikmost	${ displaystyle { frac {(2d_ {1} + d_ {2} -2) { sqrt {8 (d_ {2} -4)}}} {(d_ {2} -6) { sqrt {d_ {1} (d_ {1} + d_ {2} -2)}}}}!$ pro d2 > 6
Př. špičatost	viz text
Entropie	${ displaystyle ln Gamma left ({ tfrac {d_ {1}} {2}} right) + ln Gamma left ({ tfrac {d_ {2}} {2}} right) - ln Gamma vlevo ({ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} vpravo) + !}$ ${ displaystyle left (1 - { tfrac {d_ {1}} {2}} right) psi left (1 + { tfrac {d_ {1}} {2}} right) - left (1 + { tfrac {d_ {2}} {2}} pravý) psi levý (1 + { tfrac {d_ {2}} {2}} pravý) !}$ ${ displaystyle + left ({ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} right) psi left ({ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2} } right) + ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} !}$[1]
MGF	neexistuje, hrubé momenty definované v textu a v [2][3]
CF	viz text

v teorie pravděpodobnosti a statistika, F-rozdělení, také známý jako Snedecor F rozdělení nebo Distribuce Fisher – Snedecor (po Ronald Fisher a George W. Snedecor ) je spojité rozdělení pravděpodobnosti který často vzniká jako nulová distribuce a statistika testu, zejména v analýza rozptylu (ANOVA), např. F-test.^{[je zapotřebí objasnění ][2][3][4][5]}

Definice

Pokud náhodná proměnná X má F-distribuce s parametry d₁ a d₂, píšeme X ~ F (d₁, d₂). Pak funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro X darováno

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f (x; d_ {1}, d_ {2}) & = { frac { sqrt { frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} , , d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ {2}) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}}}} {x , mathrm { B} ! Left ({ frac {d_ {1}} {2}}, { frac {d_ {2}} {2}} right)}} & = { frac {1} { mathrm {B} ! left ({ frac {d_ {1}} {2}}, { frac {d_ {2}} {2}} right)}} left ({ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} vpravo) ^ { frac {d_ {1}} {2}} x ^ {{ frac {d_ {1}} {2}} - 1} vlevo ( 1 + { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} , x right) ^ {- { frac {d_ {1} + d_ {2}} {2}}} end {zarovnáno }}}$

pro nemovitý X > 0. Tady ${ displaystyle mathrm {B}}$ je funkce beta. V mnoha aplikacích parametry d₁ a d₂ jsou kladná celá čísla, ale distribuce je dobře definována pro kladné reálné hodnoty těchto parametrů.

The kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (x; d_ {1}, d_ {2}) = I _ { frac {d_ {1} x} {d_ {1} x + d_ {2}}} vlevo ({ tfrac {d_ {1}} {2}}, { tfrac {d_ {2}} {2}} vpravo),}$

kde Já je legalizovaná neúplná beta funkce.

Očekávání, rozptyl a další podrobnosti o F (d₁, d₂) jsou uvedeny v postranní schránce; pro d₂ > 8, nadměrná špičatost je

${ displaystyle gamma _ {2} = 12 { frac {d_ {1} (5d_ {2} -22) (d_ {1} + d_ {2} -2) + (d_ {2} -4) ( d_ {2} -2) ^ {2}} {d_ {1} (d_ {2} -6) (d_ {2} -8) (d_ {1} + d_ {2} -2)}}.}$

The k-tý okamžik F (d₁, d₂) distribuce existuje a je konečná, pouze když 2k < d₂ a to se rovná ^[6]

${ displaystyle mu _ {X} (k) = left ({ frac {d_ {2}} {d_ {1}}} right) ^ {k} { frac { Gamma left ({ tfrac {d_ {1}} {2}} + k vpravo)} { Gamma vlevo ({ tfrac {d_ {1}} {2}} vpravo)}} { frac { Gamma vlevo ( { tfrac {d_ {2}} {2}} - k vpravo)} { Gamma vlevo ({ tfrac {d_ {2}} {2}} vpravo)}}}$

The F-distribuce je konkrétní parametrizace beta prime distribuce, kterému se také říká beta distribuce druhého druhu.

The charakteristická funkce je v mnoha standardních referencích uveden nesprávně (např.^[3]). Správný výraz ^[7] je

${ displaystyle varphi _ {d_ {1}, d_ {2}} ^ {F} (s) = { frac { gama ({ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} )} { Gamma ({ tfrac {d_ {2}} {2}})}} U ! Left ({ frac {d_ {1}} {2}}, 1 - { frac {d_ { 2}} {2}}, - { frac {d_ {2}} {d_ {1}}} imath s right)}$

kde U(A, b, z) je konfluentní hypergeometrická funkce druhého druhu.

Charakterizace

A náhodné variace z F-distribuce s parametry ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle d_ {2}}$ vzniká jako poměr dvou vhodně zmenšen chi-kvadrát se liší:^[8]

${ displaystyle X = { frac {U_ {1} / d_ {1}} {U_ {2} / d_ {2}}}}$

kde

• ${ displaystyle U_ {1}}$ a ${ displaystyle U_ {2}}$ mít chi-kvadrát distribuce s ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle d_ {2}}$ stupně svobody respektive a
• ${ displaystyle U_ {1}}$ a ${ displaystyle U_ {2}}$ jsou nezávislý.

V případech, kdy F-distribuce se používá například v analýza rozptylu nezávislost ${ displaystyle U_ {1}}$ a ${ displaystyle U_ {2}}$ lze prokázat aplikací Cochranova věta.

Ekvivalentně náhodná proměnná F-distribuce může být také psána

${ displaystyle X = { frac {s_ {1} ^ {2}} { sigma _ {1} ^ {2}}} div { frac {s_ {2} ^ {2}} { sigma _ {2} ^ {2}}},}$

kde ${ displaystyle s_ {1} ^ {2} = { frac {S_ {1} ^ {2}} {d_ {1}}}}$ a ${ displaystyle s_ {2} ^ {2} = { frac {S_ {2} ^ {2}} {d_ {2}}}}$, ${ displaystyle S_ {1} ^ {2}}$ je součet čtverců ${ displaystyle d_ {1}}$ náhodné proměnné z normálního rozdělení ${ displaystyle N (0, sigma _ {1} ^ {2})}$ a ${ displaystyle S_ {2} ^ {2}}$ je součet čtverců ${ displaystyle d_ {2}}$ náhodné proměnné z normálního rozdělení ${ displaystyle N (0, sigma _ {2} ^ {2})}$. ^{[diskutovat][Citace je zapotřebí ]}

V častý kontext, měřítko F-distribuce tedy dává pravděpodobnost ${ displaystyle p (s_ {1} ^ {2} / s_ {2} ^ {2} mid sigma _ {1} ^ {2}, sigma _ {2} ^ {2})}$, s F-distribuce sama, bez jakéhokoli škálování, použití kde ${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2}}$ je bráno jako ${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2}}$. Toto je kontext, ve kterém F-distribuce se nejčastěji objevuje v F-testy: kde nulová hypotéza je, že dvě nezávislé normální odchylky jsou stejné, a poté se zkoumají pozorované součty některých vhodně vybraných čtverců, aby se zjistilo, zda je jejich poměr významně neslučitelný s touto nulovou hypotézou.

Množství ${ displaystyle X}$ má stejnou distribuci v Bayesiánských statistikách, pokud jde o neinformativní invariantní změnu měřítka Jeffreys před je považován za předchozí pravděpodobnosti z ${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2}}$ a ${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2}}$.^[9] V této souvislosti měřítko F-distribuce tedy dává zadní pravděpodobnost ${ displaystyle p ( sigma _ {2} ^ {2} / sigma _ {1} ^ {2} mid s_ {1} ^ {2}, s_ {2} ^ {2})}$, kde pozorované součty ${ displaystyle s_ {1} ^ {2}}$ a ${ displaystyle s_ {2} ^ {2}}$ jsou nyní brány jako známé.

Vlastnosti a související distribuce

• Li ${ displaystyle X sim chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$ a ${ displaystyle Y sim chi _ {d_ {2}} ^ {2}}$ jsou nezávislý, pak ${ displaystyle { frac {X / d_ {1}} {Y / d_ {2}}} sim mathrm {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
• Li ${ displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, beta _ {k}) ,}$ jsou tedy nezávislé ${ displaystyle { frac { alpha _ {2} beta _ {1} X_ {1}} { alpha _ {1} beta _ {2} X_ {2}}} sim mathrm {F} (2 alpha _ {1}, 2 alpha _ {2})}$
• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ {2} / 2)}$ (Distribuce beta ) pak ${ displaystyle { frac {d_ {2} X} {d_ {1} (1-X)}} sim operatorname {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
• Ekvivalentně, pokud ${ displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$, pak ${ displaystyle { frac {d_ {1} X / d_ {2}} {1 + d_ {1} X / d_ {2}}} sim operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ { 2} / 2)}$.
• Li ${ displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$, pak ${ displaystyle { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X}$ má beta prime distribuce: ${ displaystyle { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X sim operatorname { beta ^ { prime}} ({ tfrac {d_ {1}} {2}}, { tfrac {d_ {2}} {2}})}$.
• Li ${ displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ pak ${ displaystyle Y = lim _ {d_ {2} až infty} d_ {1} X}$ má distribuce chí-kvadrát ${ displaystyle chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$
• ${ displaystyle F (d_ {1}, d_ {2})}$ je ekvivalentní měřítku Distribuce T-kvadrátů Hotelling ${ displaystyle { frac {d_ {2}} {d_ {1} (d_ {1} + d_ {2} -1)}} operatorname {T} ^ {2} (d_ {1}, d_ {1 } + d_ {2} -1)}$.
• Li ${ displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ pak ${ displaystyle X ^ {- 1} sim F (d_ {2}, d_ {1})}$.
• Li ${ displaystyle X sim t _ {(n)}}$ — Studentova t-distribuce - pak:

${ displaystyle X ^ {2} sim operatorname {F} (1, n)}$

${ displaystyle X ^ {- 2} sim operatorname {F} (n, 1)}$

• F-distribuce je speciální případ typu 6 Pearsonova distribuce
• Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou nezávislé, s ${ displaystyle X, Y sim}$ Laplace (μ, b) pak

${ displaystyle { frac {| X- mu |} {| Y- mu |}} sim operatorname {F} (2,2)}$

• Li ${ displaystyle X sim F (n, m)}$ pak ${ displaystyle { tfrac { log {X}} {2}} sim operatorname {FisherZ} (n, m)}$ (Fisherova z-distribuce )
• The necentrální F-rozdělení zjednodušuje na F-distribuce, pokud ${ displaystyle lambda = 0}$.
• Dvojnásobně necentrální F-rozdělení zjednodušuje na F-distribuce, pokud ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = 0}$
• Li ${ displaystyle operatorname {Q} _ {X} (p)}$ je kvantil p pro ${ displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ a ${ displaystyle operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}$ je kvantil ${ displaystyle 1-p}$ pro ${ displaystyle Y sim F (d_ {2}, d_ {1})}$, pak

${ displaystyle operatorname {Q} _ {X} (p) = { frac {1} { operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}}.}$

• F-distribuce je instancí poměrové rozdělení

Viz také

Reference

externí odkazy

• Tabulka kritických hodnot F-rozdělení
• Nejčasnější použití některých slov matematiky: vstup dále F-distribuce obsahuje krátkou historii
• Kalkulačka zdarma pro F-testování