Funkce indikátoru - Indicator function
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

v matematika, an funkce indikátoru nebo a charakteristická funkce je funkce definované na a soubor X , který označuje členství v živel v podmnožina A z X, který má hodnotu 1 pro všechny prvky A a hodnota 0 pro všechny prvky X ne v A. Obvykle se označuje symbolem 1 nebo Já, někdy tučně nebo tabule tučné písmo s dolním indexem určujícím podmnožinu.
V jiných kontextech, jako např počítačová věda, toto by bylo častěji popsáno jako a booleovský predikát funkce (otestovat zahrnutí sady).
The Dirichletova funkce je příklad indikační funkce a je indikátorem racionální.
Definice
Indikační funkce podmnožiny A sady X je funkce
definováno jako
The Iverson držák poskytuje ekvivalentní notaci, nebo ⧙ X ϵ A ⧘, použít místo .
Funkce je někdy označován , , K.A nebo dokonce jen .[A][b]
Zápis a terminologie
Zápis se také používá k označení charakteristická funkce v konvexní analýza, který je definován jako při použití reciproční standardní definice funkce indikátoru.
Související koncept v statistika je to a fiktivní proměnná. (Toto nesmí být zaměňováno s „fiktivními proměnnými“, protože tento termín se v matematice obvykle používá, také se mu říká a vázaná proměnná.)
Termín "charakteristická funkce "má nesouvisející význam v klasická teorie pravděpodobnosti. Z tohoto důvodu, tradiční pravděpodobnosti použijte termín funkce indikátoru pro zde definovanou funkci téměř výlučně, zatímco matematici v jiných oborech tento termín používají s větší pravděpodobností charakteristická funkce[A] k popisu funkce, která označuje členství v sadě.
v fuzzy logika a moderní mnohohodnotová logika, predikáty jsou charakteristické funkce a rozdělení pravděpodobnosti. To znamená, že přísné pravdivé / nepravdivé ocenění predikátu je nahrazeno veličinou interpretovanou jako stupeň pravdy.
Základní vlastnosti
The indikátor nebo charakteristický funkce podmnožiny A nějaké sady X mapy prvky X do rozsah {0, 1}.
Toto mapování je surjektivní pouze když A není prázdné správná podmnožina z X. Li A ≡ X, pak1A = 1. Podobným argumentem, pokud A Then Ø tedy 1A = 0.
V následujícím bodě tečka představuje násobení, 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0 atd. „+“ A „-“ představují sčítání a odčítání. "" a "„je křižovatka a sjednocení.
Li a jsou dvě podmnožiny , pak
a indikátorová funkce doplněk z tj. je:
- .
Obecněji předpokládejme je sbírka podskupin X. Pro všechnyX ϵ X:
je jednoznačně produktem 0s a 1s. Hodnota tohoto produktu je přesně 1 X ϵ X které nepatří do žádné ze sad Ak andis 0 jinak. To je
Roztažení produktu na levé straně,
kde |F| je mohutnost F[je třeba další vysvětlení ]. Toto je jedna forma principu inkluze-exkluze.
Jak je navrženo v předchozím příkladu, funkce indikátoru je užitečné notační zařízení v kombinatorika. Zápis se používá i na jiných místech, například v teorie pravděpodobnosti: pokud je pravděpodobnostní prostor s mírou pravděpodobnosti a je měřitelná množina, pak se stává náhodná proměnná jehož očekávaná hodnota se rovná pravděpodobnosti :
- .
Tato identita se používá v jednoduchém dokladu o Markovova nerovnost.
V mnoha případech, jako např teorie objednávek lze definovat inverzní funkci indikátoru. Toto se běžně nazývá zobecněná Möbiova funkce, jako zobecnění inverzní funkce indikátoru v elementárním teorie čísel, Möbiova funkce. (Viz odstavec níže o použití inverze v klasické teorii rekurze.)
Průměr, rozptyl a kovariance
Vzhledem k pravděpodobnostní prostor s , náhodná proměnná indikátoru je definováno -li v opačném případě
Charakteristická funkce v teorii rekurze, Gödelova a Kleeneova reprezentační funkce
Kurt Gödel popsal představující funkci ve své práci z roku 1934 „O nerozhodnutelných návrzích formálních matematických systémů“:[1]
- „Musí odpovídat každé třídě nebo vztahu R a představující funkci φ (X1, ... Xn) = 0 pokud R(X1, ... Xn) a φ (X1, ... Xn) = 1 pokud ¬R(X1, ... Xn)."[1](42)(„¬“ označuje logickou inverzi, tj. „NE“)
Kleene (1952)[2] nabízí stejnou definici v kontextu primitivní rekurzivní funkce jako funkce φ predikátu P nabývá hodnot 0, pokud je predikát pravdivý, a 1, pokud je predikát nepravdivý.
Například proto, že součin charakteristických funkcí φ1* φ2* ... * φn = 0 kdykoli se kterákoli z funkcí rovná 0, hraje roli logického OR: IF φ1 = 0 NEBO φ2 = 0 NEBO ... NEBO φn = 0 POTOM jejich produkt je 0. Co se modernímu čtenáři zdá jako logická inverze reprezentující funkce, tj. Reprezentující funkce je 0, když je funkce R je „pravdivý“ nebo spokojený „, hraje užitečnou roli v Kleeneově definici logických funkcí OR, AND a IMPLY (str. 228), ohraničené- (str. 228) a neomezené- (str. 279 a násl.) mu operátoři (Kleene (1952)) a funkce CASE (str. 229).
Charakteristická funkce v teorii fuzzy množin
V klasické matematice mají charakteristické funkce množin pouze hodnoty 1 (členy) nebo 0 (nečleny). v teorie fuzzy množin, charakteristické funkce jsou zobecněny tak, aby získaly hodnotu v intervalu reálných jednotek [0, 1], nebo obecněji v některých algebra nebo struktura (obvykle musí být alespoň a poset nebo mříž ). Takové zobecněné charakteristické funkce se obvykle nazývají členské funkce a jsou volány odpovídající „sady“ nejasný sady. Fuzzy množiny modelují postupnou změnu členství stupeň vidět v mnoha reálných podmínkách predikáty jako „vysoký“, „teplý“ atd.
Derivace funkce indikátoru
Zvláštní funkcí indikátoru je Funkce Heaviside step. Funkce kroku Heaviside H(X) je indikátorová funkce jednorozměrné kladné poloviční čáry, tj. domény [0, ∞). The distribuční derivát funkce Heaviside step se rovná Diracova delta funkce, tj.
s následující vlastností:
Na derivaci Heavisideovy skokové funkce lze pohlížet jako na dovnitř normální derivace na hranice domény dané kladnou poloviční čárou. Ve vyšších dimenzích derivace přirozeně generalizuje na vnitřní normální derivaci, zatímco Heavisideova skoková funkce přirozeně generalizuje na indikátorovou funkci nějaké domény D. Povrch D bude označen S. Dále lze odvodit, že dovnitř normální derivace indikátoru dává vzniknout „funkci povrchové delty“, kterou lze označit δS(X):
kde n je navenek normální povrchu S. Tato „funkce povrchové delty“ má následující vlastnost:[3]
Nastavením funkce F rovná jedné, z toho vyplývá, že dovnitř normální derivace indikátoru integruje do numerické hodnoty plocha povrchu S.
Viz také
- Diracova míra
- Laplacian indikátoru
- Diracova delta
- Rozšíření (predikátová logika)
- Volné proměnné a vázané proměnné
- Funkce Heaviside step
- Iverson držák
- Kroneckerova delta, funkce, kterou lze zobrazit jako indikátor pro vztah identity
- Závorky Macaulay
- Multiset
- Funkce členství
- Jednoduchá funkce
- Fiktivní proměnná (statistika)
- Statistická klasifikace
- Funkce nulové ztráty
Poznámky
- ^ A b The Řecký dopis se objeví, protože se jedná o počáteční písmeno řeckého slova χαρακτήρ, což je konečný původ slova charakteristický.
- ^ Sada všech indikátorových funkcí zapnutá X lze identifikovat pomocí , napájecí sada z X. V důsledku toho jsou obě množiny někdy označeny . Toto je speciální případ () zápisu pro sadu všech funkcí .
Reference
- ^ A b Davis, Martin, vyd. (1965). Nerozhodnutelný. New York, NY: Raven Press Books. 41–74.
- ^ Kleene, Stephen (1971) [1952]. Úvod do matematiky (Šestý dotisk, s opravami ed.). Nizozemsko: Wolters-Noordhoff Publishing a North Holland Publishing Company. str. 227.
- ^ Lange, Rutger-Jan (2012). "Teorie potenciálu, integrály cest a Laplacian indikátoru". Journal of High Energy Physics. 2012 (11): 29–30. arXiv:1302.0864. Bibcode:2012JHEP ... 11..032L. doi:10.1007 / JHEP11 (2012) 032.
Zdroje
- Folland, G.B. (1999). Skutečná analýza: Moderní techniky a jejich aplikace (Druhé vydání.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
- Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "Část 5.2: Indikátor náhodné proměnné". Úvod do algoritmů (Druhé vydání.). MIT Press a McGraw-Hill. str.94 –99. ISBN 978-0-262-03293-3.
- Davis, Martin, vyd. (1965). Nerozhodnutelný. New York, NY: Raven Press Books.
- Kleene, Stephen (1971) [1952]. Úvod do matematiky (Šestý dotisk, s opravami ed.). Nizozemsko: Wolters-Noordhoff Publishing a North Holland Publishing Company.
- Boolos, Georgi; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Vyčíslitelnost a logika. Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
- Zadeh, Lotfi A. (Červen 1965). "Fuzzy sady" (PDF). Informace a kontrola. 8 (3): 338–353. doi:10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X. Archivovány od originál (PDF) dne 22.06.2007.
- Goguen, Joseph (1967). "L-fuzzy množiny ". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 18 (1): 145–174. doi:10.1016 / 0022-247X (67) 90189-8. hdl:10338.dmlcz / 103980.