Bernoulliho distribuce - Bernoulli distribution

Bernoulli

Parametry	${ displaystyle 0 leq p leq 1}$ ${ displaystyle q = 1-p}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle k in {0,1 }}$
PMF	${ displaystyle { begin {cases} q = 1-p & { text {if}} k = 0 p & { text {if}} k = 1 end {cases}}}$ ${ displaystyle p ^ {k} (1-p) ^ {1-k}}$
CDF	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {if}} k <0 1-p & { text {if}} 0 leq k <1 1 & { text {if}} k geq 1 end {cases}}}$
Znamenat	${ displaystyle p}$
Medián	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {if}} p <1/2 vlevo [0,1 right] & { text {if}} p = 1/2 1 & { text {if}} p> 1/2 end {případy}}}$
Režim	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {if}} p <1/2 0,1 & { text {if}} p = 1/2 1 & { text {if}} p > 1/2 end {cases}}}$
Rozptyl	${ displaystyle p (1-p) = pq}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {q-p} { sqrt {pq}}}}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {1-6pq} {pq}}}$
Entropie	${ displaystyle -q ln q-p ln p}$
MGF	${ displaystyle q + pe ^ {t}}$
CF	${ displaystyle q + pe ^ {it}}$
PGF	${ displaystyle q + pz}$
Fisher informace	${ displaystyle { frac {1} {pq}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Bernoulliho distribuce, pojmenovaný po švýcarském matematikovi Jacob Bernoulli,^[1] je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti a náhodná proměnná což bere hodnotu 1 s pravděpodobností ${ displaystyle p}$ a hodnota 0 s pravděpodobností ${ displaystyle q = 1-p}$. Méně formálně jej lze považovat za model souboru možných výsledků kteréhokoli jednotlivce experiment který žádá a Ano ne otázka. Takové otázky vedou k výsledky to jsou booleovský -hodnota: jeden bit jehož hodnota je úspěch /Ano /skutečný /jeden s pravděpodobnost str a porucha / ne /Nepravdivé /nula s pravděpodobností q. Může být použit k reprezentaci (pravděpodobně předpojatého) Hod mincí kde 1 a 0 by představovaly „hlavy“ a „ocasy“ (nebo naopak) a str by byla pravděpodobnost přistání mince na hlavách nebo ocasech. Zejména by to měly neférové ​​mince ${ displaystyle p neq 1/2.}$

Distribuce Bernoulli je zvláštním případem binomická distribuce kde probíhá jeden pokus (tzv n bude 1 pro takovou binomickou distribuci). Je to také zvláštní případ dvoubodové rozdělení, pro které nemusí být možné výsledky 0 a 1.

Vlastnosti

Li ${ displaystyle X}$ je náhodná proměnná s touto distribucí, pak:

${ displaystyle Pr (X = 1) = p = 1- Pr (X = 0) = 1-q.}$

The funkce pravděpodobnostní hmotnosti ${ displaystyle f}$ této distribuce, přes možné výsledky k, je

${ displaystyle f (k; p) = { begin {cases} p & { text {if}} k = 1, q = 1-p & { text {if}} k = 0. end {případů }}}$^[2]

To lze také vyjádřit jako

${ displaystyle f (k; p) = p ^ {k} (1-p) ^ {1-k} quad { text {pro}} k v {0,1 }}$

nebo jako

${ displaystyle f (k; p) = pk + (1-p) (1-k) quad { text {pro}} k v {0,1 }.}$

Distribuce Bernoulli je zvláštním případem binomická distribuce s ${ displaystyle n = 1.}$^[3]

The špičatost jde do nekonečna pro vysoké a nízké hodnoty ${ displaystyle p,}$ ale pro ${ displaystyle p = 1/2}$ dvoubodové distribuce včetně Bernoulliho distribuce mají nižší nadměrná špičatost než jakékoli jiné rozdělení pravděpodobnosti, konkrétně −2.

Distribuce Bernoulli pro ${ displaystyle 0 leq p leq 1}$ pro muže exponenciální rodina.

The odhad maximální pravděpodobnosti z ${ displaystyle p}$ na základě náhodného vzorku je průměr vzorku.

Znamenat

The očekávaná hodnota Bernoulliho náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ je

${ displaystyle operatorname {E} vlevo (X vpravo) = p}$

To je způsobeno skutečností, že pro Bernoulli distribuovaná náhodná proměnná ${ displaystyle X}$ s ${ displaystyle Pr (X = 1) = p}$ a ${ displaystyle Pr (X = 0) = q}$ shledáváme

${ displaystyle operatorname {E} [X] = Pr (X = 1) cdot 1+ Pr (X = 0) cdot 0 = p cdot 1 + q cdot 0 = p.}$^[2]

Rozptyl

The rozptyl distribuované Bernoulli ${ displaystyle X}$ je

${ displaystyle operatorname {Var} [X] = pq = p (1-p)}$

Nejprve jsme našli

${ displaystyle operatorname {E} [X ^ {2}] = Pr (X = 1) cdot 1 ^ {2} + Pr (X = 0) cdot 0 ^ {2} = p cdot 1 ^ {2} + q cdot 0 ^ {2} = p}$

Z toho vyplývá

${ displaystyle operatorname {Var} [X] = operatorname {E} [X ^ {2}] - operatorname {E} [X] ^ {2} = pp ^ {2} = p (1-p) = pq}$^[2]

Šikmost

The šikmost je ${ displaystyle { frac {q-p} { sqrt {pq}}} = { frac {1-2p} { sqrt {pq}}}}$. Když vezmeme standardizovanou Bernoulliho distribuovanou náhodnou proměnnou ${ displaystyle { frac {X- operatorname {E} [X]} { sqrt { operatorname {Var} [X]}}}}$ zjistíme, že tato náhodná proměnná dosáhne ${ displaystyle { frac {q} { sqrt {pq}}}}$ s pravděpodobností ${ displaystyle p}$ a dosáhne ${ displaystyle - { frac {p} { sqrt {pq}}}}$ s pravděpodobností ${ displaystyle q}$. Tak dostaneme

${ displaystyle { begin {aligned} gamma _ {1} & = operatorname {E} left [ left ({ frac {X- operatorname {E} [X]} { sqrt { operatorname { Var} [X]}}} right) ^ {3} right] & = p cdot left ({ frac {q} { sqrt {pq}}} right) ^ {3} + q cdot left (- { frac {p} { sqrt {pq}}} right) ^ {3} & = { frac {1} {{ sqrt {pq}} ^ {3} }} left (pq ^ {3} -qp ^ {3} right) & = { frac {pq} {{ sqrt {pq}} ^ {3}}} (qp) & = { frac {qp} { sqrt {pq}}} end {zarovnáno}}}$

Vyšší momenty a kumulanty

Ústřední okamžik objednávky ${ displaystyle k}$ darováno

${ displaystyle mu _ {k} = (1-p) (- p) ^ {k} + p (1-p) ^ {k}.}$

Prvních šest ústředních momentů je

${ displaystyle { begin {aligned} mu _ {1} & = 0, mu _ {2} & = p (1-p), mu _ {3} & = p (1- p) (1-2p), mu _ {4} & = p (1-p) (1-3p (1-p)), mu _ {5} & = p (1-p) ) (1-2p) (1-2p (1-p)), mu _ {6} & = p (1-p) (1-5p (1-p) (1-p (1-p) ))). end {zarovnáno}}}$

Vyšší centrální momenty lze vyjádřit kompaktněji ${ displaystyle mu _ {2}}$ a ${ displaystyle mu _ {3}}$

${ displaystyle { begin {aligned} mu _ {4} & = mu _ {2} (1-3 mu _ {2}), mu _ {5} & = mu _ {3 } (1-2 mu _ {2}), mu _ {6} & = mu _ {2} (1-5 mu _ {2} (1- mu _ {2})) . end {zarovnáno}}}$

Prvních šest kumulantů je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} kappa _ {1} & = p, kappa _ {2} & = mu _ {2}, kappa _ {3} & = mu _ { 3}, kappa _ {4} & = mu _ {2} (1-6 mu _ {2}), kappa _ {5} & = mu _ {3} (1- 12 mu _ {2}), kappa _ {6} & = mu _ {2} (1-30 mu _ {2} (1-4 mu _ {2})). End {zarovnaný}}}$

Související distribuce

• Li ${ displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}}$ jsou nezávislé, identicky distribuované (i.i.d. ) náhodné proměnné, všechny Bernoulliho zkoušky s pravděpodobností úspěchustr, pak jejich částka je rozdělena podle a binomická distribuce s parametry n a str:

  ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k} sim operatorname {B} (n, p)}$ (binomická distribuce ).^[2]

Distribuce Bernoulli je prostě ${ displaystyle operatorname {B} (1, p)}$, také psáno jako ${ textstyle mathrm {Bernoulli} (p).}$

• The kategorické rozdělení je zobecnění Bernoulliho distribuce pro proměnné s libovolným konstantním počtem diskrétních hodnot.
• The Distribuce beta je před konjugátem distribuce Bernoulli.
• The geometrické rozdělení modeluje počet nezávislých a identických Bernoulliho studií potřebných k dosažení jednoho úspěchu.
• Li ${ textstyle Y sim mathrm {Bernoulli} vlevo ({ frac {1} {2}} vpravo)}$, pak ${ textstyle 2Y-1}$ má Distribuce Rademacher.

Viz také

• Bernoulliho proces, a náhodný proces skládající se z posloupnosti nezávislý Bernoulliho zkoušky
• Bernoulliho odběr vzorků
• Funkce binární entropie
• Binární rozhodovací diagram

Reference

Další čtení

• Johnson, N.L .; Kotz, S .; Kemp, A. (1993). Jednorozměrné diskrétní distribuce (2. vyd.). Wiley. ISBN  0-471-54897-9.
• Peatman, John G. (1963). Úvod do aplikované statistiky. New York: Harper & Row. 162–171.

externí odkazy

• „Binomická distribuce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Bernoulliho distribuce“. MathWorld.
• Interaktivní grafika: Jednorozměrné distribuční vztahy