Zabalená distribuce - Wrapped distribution - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti a směrová statistika, a zabalené rozdělení pravděpodobnosti je spojitý rozdělení pravděpodobnosti který popisuje datové body, které leží na jednotce n-koule. V jedné dimenzi bude zabalená distribuce sestávat z bodů na jednotkový kruh. Pokud je φ náhodná proměnná v intervalu (-∞, ∞) s funkcí hustoty pravděpodobnosti p (φ), pak z = e ^{i φ} bude kruhová proměnná distribuovaná podle zabaleného rozdělení p_zw(z) a θ =arg(z) bude úhlová proměnná v intervalu (-π, π] distribuovaná podle zabaleného rozdělení p_w(θ).

Žádný funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) ${ displaystyle p ( phi)}$ na linii lze „omotat“ po obvodu kruhu o poloměru jednotky.^[1] To znamená pdf zabalené proměnné

${ displaystyle theta = phi mod 2 pi}$ v nějakém intervalu délky ${ displaystyle 2 pi}$

je

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} {p ( theta +2 pi k)}.}$

což je periodický součet období ${ displaystyle 2 pi}$. Upřednostňovaný interval je obecně ${ displaystyle (- pi < theta leq pi)}$ pro který ${ displaystyle ln (e ^ {i theta}) = arg (e ^ {i theta}) = theta}$

Teorie

Ve většině situací jde o proces zahrnující kruhová statistika vytváří úhly (${ displaystyle phi}$) které leží v intervalu od záporného nekonečna do kladného nekonečna a jsou popsány funkcí „nezabalené“ hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle p ( phi)}$. Měření však přinese „měřený“ úhel ${ displaystyle theta}$ který leží v nějakém intervalu délky ${ displaystyle 2 pi}$ (například ${ displaystyle [0,2 pi)}$). Jinými slovy, měření nedokáže zjistit, zda je „skutečný“ úhel ${ displaystyle phi}$ byl změřen nebo zda „zabalený“ úhel ${ displaystyle phi +2 pi a}$ kde bylo změřeno A je nějaké neznámé celé číslo. To je:

${ displaystyle theta = phi +2 pi a.}$

Pokud si přejeme vypočítat očekávanou hodnotu nějaké funkce měřeného úhlu, bude to:

${ displaystyle langle f ( theta) rangle = int _ {- infty} ^ { infty} p ( phi) f ( phi +2 pi a) d phi.}$

Můžeme vyjádřit integrál jako součet integrálů za období ${ displaystyle 2 pi}$ (např. 0 až ${ displaystyle 2 pi}$):

${ displaystyle langle f ( theta) rangle = součet _ {k = - infty} ^ { infty} int _ {2 pi k} ^ {2 pi (k + 1)} p ( phi) f ( phi +2 pi a) d phi.}$

Změna proměnné integrace na ${ displaystyle theta '= phi -2 pi k}$ a výměnu pořadí integrace a součtu máme

${ displaystyle langle f ( theta) rangle = int _ {0} ^ {2 pi} p_ {w} ( theta ') f ( theta' +2 pi a ') d theta' }$

kde ${ displaystyle p_ {w} ( theta ')}$ je pdf „zabalené“ distribuce a A' je další neznámé celé číslo (a '= a + k). Je vidět, že neznámé celé číslo A' zavádí nejednoznačnost do očekávané hodnoty ${ displaystyle f ( theta)}$. Ke konkrétní instanci tohoto problému dochází při pokusu o převzetí průměr množiny měřených úhlů. Pokud místo naměřených úhlů zavedeme parametr ${ displaystyle z = e ^ {i theta}}$ je to vidět z má jednoznačný vztah k "skutečnému" úhlu ${ displaystyle phi}$ od té doby:

${ displaystyle z = e ^ {i theta} = e ^ {i phi}.}$

Výpočet očekávané hodnoty funkce z přinese jednoznačné odpovědi:

${ displaystyle langle f (z) rangle = int _ {0} ^ {2 pi} p_ {w} ( theta ') f (e ^ {i theta'}) d theta '}$

a právě z tohoto důvodu z Parametr je preferovaná statistická proměnná, která se používá spíše v kruhové statistické analýze než naměřené úhly ${ displaystyle theta}$. To naznačuje a níže je ukázáno, že zabalená distribuční funkce může být sama vyjádřena jako funkce z aby:

${ displaystyle langle f (z) rangle = mast p_ {wz} (z) f (z) , dz}$

kde ${ displaystyle p_ {w} (z)}$ je definována takhle ${ displaystyle p_ {w} ( theta) , | d theta | = p_ {wz} (z) , | dz |}$. Tento koncept lze rozšířit na vícerozměrný kontext rozšířením jednoduchého součtu na několik ${ displaystyle F}$ součty, které pokrývají všechny dimenze v prostoru prvků:

${ displaystyle p_ {w} ({ vec { theta}}) = součet _ {k_ {1}, ..., k_ {F} = - infty} ^ { infty} {p ({ vec { theta}} + 2 pi k_ {1} mathbf {e} _ {1} + dots +2 pi k_ {F} mathbf {e} _ {F})}}$

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {k} = (0, tečky, 0,1,0, tečky, 0) ^ { mathsf {T}}}$ je ${ displaystyle k}$th euklidovský základní vektor.

Vyjádření z hlediska charakteristických funkcí

Základní zabalenou distribucí je Dirac hřeben který je zabalený Diracova delta funkce:

${ displaystyle Delta _ {2 pi} ( theta) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} { delta ( theta +2 pi k)}.}$

Pomocí funkce delta lze zapsat obecnou zabalenou distribuci

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') delta ( theta - theta '+2 pi k) , d theta'.}$

Při výměně pořadí sčítání a integrace lze jakoukoli zabalenou distribuci zapsat jako konvoluci „nezabalené“ distribuce a Diracova hřeben:

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') Delta _ {2 pi} ( theta - theta') , d theta '.}$

Hřeben Dirac může být také vyjádřen jako součet exponenciálů, takže můžeme napsat:

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} , int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {in ( theta - theta ')} , d theta'}$

opět výměna pořadí součtu a integrace,

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} , součet _ {n = - infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') e ^ {in ( theta - theta')} , d theta '}$

pomocí definice ${ displaystyle phi (s)}$, charakteristická funkce z ${ displaystyle p ( theta)}$, výnosy a Laurentova řada asi nula pro zabalenou distribuci, pokud jde o charakteristickou funkci rozbalené distribuce:^[2]

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} , součet _ {n = - infty} ^ { infty} phi (n) , e ^ {-in theta}}$

nebo

${ displaystyle p_ {wz} (z) = { frac {1} {2 pi}} , součet _ {n = - infty} ^ { infty} phi (n) , z ^ { -n}.}$

Analogicky s lineárními distribucemi platí ${ displaystyle phi (m)}$ jsou označovány jako charakteristická funkce zabalené distribuce^[2] (nebo přesněji charakteristika sekvence ). Toto je instance Poissonův součtový vzorec a je vidět, že Fourierovy koeficienty Fourierovy řady pro zabalenou distribuci jsou jen Fourierovy koeficienty Fourierovy transformace rozbalené distribuce na celočíselné hodnoty.

Okamžiky

Okamžiky zabalené distribuce ${ displaystyle p_ {w} (z)}$ jsou definovány jako:

${ displaystyle langle z ^ {m} rangle = mast p_ {wz} (z) z ^ {m} , dz.}$

Vyjadřování ${ displaystyle p_ {w} (z)}$ pokud jde o charakteristickou funkci a výměnu pořadí výtěžků integrace a součtu:

${ displaystyle langle z ^ {m} rangle = { frac {1} {2 pi}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} phi (n) mast z ^ { mn} , dz.}$

Z teorie reziduí my máme

${ displaystyle mast z ^ {m-n} , dz = 2 pi delta _ {m-n}}$

kde ${ displaystyle delta _ {k}}$ je Kroneckerova delta funkce. Z toho vyplývá, že momenty se jednoduše rovnají charakteristické funkci rozbalené distribuce pro celočíselné argumenty:

${ displaystyle langle z ^ {m} rangle = phi (m).}$

Generování náhodných variací

Li X je náhodná varieta vycházející z lineárního rozdělení pravděpodobnosti P, pak ${ displaystyle Z = e ^ {iX}}$ bude kruhový variát distribuovaný podle zabaleného P distribuce a ${ displaystyle theta = arg (Z)}$ bude úhlová proměnná rozdělená podle zabaleného P distribuce, s ${ displaystyle - pi < theta leq pi}$.

Entropie

The informační entropie kruhového rozdělení s hustotou pravděpodobnosti ${ displaystyle p_ {w} ( theta)}$ je definován jako:^[1]

${ displaystyle H = - int _ { Gamma} p_ {w} ( theta) , ln (p_ {w} ( theta)) , d theta}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je jakýkoli interval délky ${ displaystyle 2 pi}$. Pokud lze hustotu pravděpodobnosti i její logaritmus vyjádřit jako a Fourierova řada (nebo obecněji jakékoli integrální transformace na kružnici) pak lze vlastnost ortogonality použít k získání řady reprezentace entropie, která se může snížit na a uzavřená forma.

Okamžiky distribuce ${ displaystyle phi (n)}$ jsou Fourierovy koeficienty pro rozšíření Fourierovy řady hustoty pravděpodobnosti:

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} phi _ {n} e ^ {- v theta}}$

Pokud lze logaritmus hustoty pravděpodobnosti vyjádřit také jako Fourierova řada:

${ displaystyle ln (p_ {w} ( theta)) = součet _ {m = - infty} ^ { infty} c_ {m} e ^ {im theta}}$

kde

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { gama} ln (p_ {w} ( theta)) e ^ {- im theta} , d theta}$

Poté, při výměně pořadí integrace a součtu, může být entropie zapsána jako:

${ displaystyle H = - { frac {1} {2 pi}} součet _ {m = - infty} ^ { infty} součet _ {n = - infty} ^ { infty} c_ { m} phi _ {n} int _ { Gamma} e ^ {i (mn) theta} , d theta}$

Pomocí ortogonality Fourierovy báze lze integrál redukovat na:

${ displaystyle H = - součet _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n} phi _ {n}}$

V konkrétním případě, kdy je hustota pravděpodobnosti symetrická s průměrem, ${ displaystyle c _ {- m} = c_ {m}}$ a logaritmus může být zapsán:

${ displaystyle ln (p_ {w} ( theta)) = c_ {0} +2 součet _ {m = 1} ^ { infty} c_ {m} cos (m theta)}$

a

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { gama} ln (p_ {w} ( theta)) cos (m theta) , d theta}$

a protože to vyžaduje normalizace ${ displaystyle phi _ {0} = 1}$, entropie může být napsána:

${ displaystyle H = -c_ {0} -2 součet _ {n = 1} ^ { infty} c_ {n} phi _ {n}}$

Viz také

• Zabalené normální rozdělení
• Zabalené Cauchyovo rozdělení
• Zabalené exponenciální rozdělení

Reference

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červenec 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Borradaile, Graham (2003). Statistika údajů o Zemi. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4.
• Fisher, N. I. (1996). Statistická analýza kruhových dat. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-56890-6.

externí odkazy

• Matematika a statistika kruhových hodnot s C ++ 11 „C ++ 11 infrastruktura pro kruhové hodnoty (úhly, denní doba atd.), Matematika a statistika