Negativní multinomiální distribuce - Negative multinomial distribution

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Ne důvod vyčištění bylo upřesněno. Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Zápis	${ displaystyle { textrm {NM}} (x_ {0}, , p)}$
Parametry	X0 ∈ N0 - počet poruch před ukončením experimentu, p ∈ Rm — m-vektor pravděpodobností "úspěchu", p0 = 1 − (p1+…+pm) - pravděpodobnost „poruchy“.
Podpěra, podpora	${ displaystyle x_ {i} v {0,1,2, ldots }, 1 leq i leq m}$
PDF	${ displaystyle Gamma ! left ( sum _ {i = 0} ^ {m} {x_ {i}} right) { frac {p_ {0} ^ {x_ {0}}} { Gamma (x_ {0})}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac {p_ {i} ^ {x_ {i}}} {x_ {i}!}},}$ kde Γ (X) je Funkce gama.
Znamenat	${ displaystyle { tfrac {x_ {0}} {p_ {0}}} , p}$
Rozptyl	${ displaystyle { tfrac {x_ {0}} {p_ {0} ^ {2}}} , pp '+ { tfrac {x_ {0}} {p_ {0}}} , operatorname {diag } (p)}$
CF	${ displaystyle { bigg (} { frac {p_ {0}} {1-p'e ^ {it}}} { bigg)} ^ {! x_ {0}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, negativní multinomiální distribuce je zobecněním negativní binomické rozdělení (Pozn. (r, p)) na více než dva výsledky.^[1]

Předpokládejme, že máme experiment, který generuje m+ 1 ≥2 možné výsledky, {X₀,...,X_m}, přičemž každá z nich má nezáporné pravděpodobnosti {p₀,...,p_m} příslušně. Pokud odběr vzorků probíhal do n byla provedena pozorování, pak {X₀,...,X_m} by bylo multinomically distribuovány. Pokud je však experiment jednou zastaven X₀ dosáhne předem stanovené hodnoty X₀, pak distribuce m-tuple {X₁,...,X_m} je negativní multinomiální. Tyto proměnné nejsou multinomiálně distribuovány, protože jejich součet X₁+...+X_m není fixní, protože je čerpáním z a negativní binomické rozdělení.

Vlastnosti

Okrajové rozdělení

Li m-dimenzionální X je rozdělen takto

${ displaystyle mathbf {X} = { begin {bmatrix} mathbf {X} ^ {(1)} mathbf {X} ^ {(2)} end {bmatrix}} { text {s velikosti}} { začátek {bmatrix} n krát 1 (mn) krát 1 konec {bmatrix}}}$

a podle toho ${ displaystyle { boldsymbol {p}}}$

${ displaystyle { boldsymbol {p}} = { begin {bmatrix} { boldsymbol {p}} ^ {(1)} { boldsymbol {p}} ^ {(2)} end {bmatrix} } { text {s velikostmi}} { začátek {bmatrix} n krát 1 (mn) krát 1 konec {bmatrix}}}$

a nechte

${ displaystyle q = 1- součet _ {i} p_ {i} ^ {(2)} = p_ {0} + součet _ {i} p_ {i} ^ {(1)}}$

Okrajové rozdělení ${ displaystyle { boldsymbol {X}} ^ {(1)}}$ je ${ displaystyle mathrm {NM} (x_ {0}, p_ {0} / q, { boldsymbol {p}} ^ {(1)} / q)}$. To je marginální distribuce je také negativní multinomiální s ${ displaystyle { boldsymbol {p}} ^ {(2)}}$ odstraněny a zbývající p 'je správně zmenšen, aby se přidal k jednomu.

Jednorozměrný marginální ${ displaystyle m = 1}$ je záporná binomická distribuce.

Nezávislé částky

Li ${ displaystyle mathbf {X} _ {1} sim mathrm {NM} (r_ {1}, mathbf {p})}$ a pokud ${ displaystyle mathbf {X} _ {2} sim mathrm {NM} (r_ {2}, mathbf {p})}$ jsou nezávislý, pak${ displaystyle mathbf {X} _ {1} + mathbf {X} _ {2} sim mathrm {NM} (r_ {1} + r_ {2}, mathbf {p})}$. Podobně a naopak je snadné vidět z charakteristické funkce, že negativní multinomial je nekonečně dělitelný.

Agregace

Li

${ displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) sim operatorname {NM} (x_ {0}, (p_ {1}, ldots, p_ {m}) )}$

pak, pokud náhodné proměnné s indexy i a j jsou vynechány z vektoru a nahrazeny jejich součtem,

${ displaystyle mathbf {X} '= (X_ {1}, ldots, X_ {i} + X_ {j}, ldots, X_ {m}) sim operatorname {NM} (x_ {0}, (p_ {1}, ldots, p_ {i} + p_ {j}, ldots, p_ {m}))}$

Tuto agregační vlastnost lze použít k odvození okrajového rozdělení ${ displaystyle X_ {i}}$ zmíněno výše.

Korelační matice

Záznamy korelační matice jsou

${ displaystyle rho (X_ {i}, X_ {i}) = 1.}$

${ displaystyle rho (X_ {i}, X_ {j}) = { frac { operatorname {cov} (X_ {i}, X_ {j})} { sqrt { operatorname {var} (X_ { i}) operatorname {var} (X_ {j})}}} = { sqrt { frac {p_ {i} p_ {j}} {(p_ {0} + p_ {i}) (p_ {0 } + p_ {j})}}}.}$

Odhad parametrů

Metoda momentů

Necháme-li střední vektor záporného multinomia

${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = { frac {x_ {0}} {p_ {0}}} mathbf {p}}$

a kovarianční matice

${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} = { tfrac {x_ {0}} {p_ {0} ^ {2}}} , mathbf {p} mathbf {p} '+ { tfrac { x_ {0}} {p_ {0}}} , operatorname {diag} ( mathbf {p})}$,

pak je snadné ukázat prostřednictvím vlastností determinanty že${ displaystyle | { boldsymbol { Sigma}} | = { frac {1} {p_ {0}}} prod _ {i = 1} ^ {m} { mu _ {i}}}$. Z toho je patrné, že

${ displaystyle x_ {0} = { frac { sum { mu _ {i}} prod { mu _ {i}}} {| { boldsymbol { Sigma}} | - prod { mu _ {i}}}}}$

a

${ displaystyle mathbf {p} = { frac {| { boldsymbol { Sigma}} | - prod { mu _ {i}}} {| { boldsymbol { Sigma}} | sum { mu _ {i}}}} { boldsymbol { mu}}.}$

Nahrazením momentů vzorku se získá metoda momentů odhady

${ displaystyle { hat {x}} _ {0} = { frac {( sum _ {i = 1} ^ {m} {{ bar {x_ {i}}})}} prod _ {i = 1} ^ {m} { bar {x_ {i}}}} {| mathbf {S} | - prod _ {i = 1} ^ {m} { bar {x_ {i}}}} }}$

a

${ displaystyle { hat { mathbf {p}}} = left ({ frac {| { boldsymbol {S}} | - prod _ {i = 1} ^ {m} {{ bar {x }} _ {i}}} {| { boldsymbol {S}} | sum _ {i = 1} ^ {m} {{ bar {x}} _ {i}}}} vpravo) { tučný symbol { bar {x}}}}$

Související distribuce

• Negativní binomické rozdělení
• Multinomiální distribuce
• Obrácená Dirichletova distribuce, a před konjugátem pro negativní multinomial
• Dirichletova negativní multinomiální distribuce

Reference

Waller LA a Zelterman D. (1997). Log-lineární modelování s negativním multimonálním rozdělením. Biometrics 53: 971-82.

Další čtení

Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). „Kapitola 36: Negativní multinomiální a další multinomiální distribuce“. Diskrétní distribuce více proměnných. Wiley. ISBN  978-0-471-12844-1.