Harmonický oscilátor - Harmonic oscillator
Část série na |
Klasická mechanika |
---|
Klíčová témata |
Kategorie ► Klasická mechanika |
v klasická mechanika, a harmonický oscilátor je systém, který, když je přemístěn ze svého rovnováha pozice, zkušenosti a obnovovací síla F úměrný k posunutí X:
kde k je pozitivní konstantní.
Li F je jediná síla působící na systém, systém se nazývá a jednoduchý harmonický oscilátora podstoupí to jednoduchý harmonický pohyb: sinusový oscilace o rovnovážném bodě s konstantou amplituda a konstanta frekvence (což nezávisí na amplitudě).
Pokud je třecí síla (tlumení ) úměrný rychlost je také přítomen, harmonický oscilátor je popsán jako a tlumený oscilátor. V závislosti na součiniteli tření může systém:
- Oscilovat s frekvencí nižší než v netlumený případ a amplituda s časem klesá (poddimenzovaný oscilátor).
- Rozpad do rovnovážné polohy, bez oscilací (přehnané oscilátor).
Hraniční řešení mezi podtlumeným oscilátorem a nadměrně tlumeným oscilátorem se vyskytuje při určité hodnotě součinitele tření a nazývá se kriticky tlumeno.
Pokud je přítomna externí časově závislá síla, je harmonický oscilátor popsán jako a poháněný oscilátor.
Mezi mechanické příklady patří kyvadla (s malé úhly posunutí ), hmotnosti spojené s pružiny, a akustické systémy. jiný analogické systémy zahrnují elektrické harmonické oscilátory jako např RLC obvody. Model harmonického oscilátoru je ve fyzice velmi důležitý, protože jakákoli hmota vystavená síle ve stabilní rovnováze funguje jako harmonický oscilátor pro malé vibrace. Harmonické oscilátory se v přírodě vyskytují v široké míře a jsou využívány v mnoha umělých zařízeních, jako např hodiny a rádiové obvody. Jsou zdrojem prakticky všech sinusových vibrací a vln.
Jednoduchý harmonický oscilátor
Jednoduchý harmonický oscilátor je oscilátor, který není poháněn ani tlumený. Skládá se z mše m, který zažívá jedinou sílu F, která táhne hmotu ve směru bodu X = 0 a závisí pouze na poloze X hmotnosti a konstanty k. Rovnováha sil (Newtonův druhý zákon ) pro systém je
Řešení tohoto diferenciální rovnice, zjistíme, že pohyb je popsán funkcí
kde
Pohyb je periodicky, opakující se v a sinusový móda s konstantní amplitudou A. Kromě své amplitudy je pohyb jednoduchého harmonického oscilátoru charakterizován také doba , čas pro jedinou oscilaci nebo její frekvenci , počet cyklů za jednotku času. Pozice v daném čase t také záleží na fáze φ, který určuje počáteční bod na sinusové vlně. Perioda a frekvence jsou určeny velikostí hmoty m a silová konstanta k, zatímco amplituda a fáze jsou určeny výchozí polohou a rychlost.
Rychlost a akcelerace jednoduchého harmonického oscilátoru osciluje se stejnou frekvencí jako poloha, ale s posunutými fázemi. Rychlost je maximální pro nulový posun, zatímco zrychlení je ve směru opačném k posunutí.
Potenciální energie uložená v jednoduchém harmonickém oscilátoru v poloze X je
Tlumený harmonický oscilátor
Ve skutečných oscilátorech zpomaluje tření nebo tlumení pohyb systému. V důsledku třecí síly se rychlost snižuje úměrně s působící třecí silou. Zatímco v jednoduchém neotevřeném harmonickém oscilátoru je jedinou silou působící na hmotu obnovovací síla, v tlumeném harmonickém oscilátoru existuje navíc třecí síla, která je vždy ve směru oponovat pohybu. V mnoha vibračních systémech třecí síla FF lze modelovat jako úměrné rychlosti proti objektu: FF = −životopis, kde C se nazývá koeficient viskózního tlumení.
Rovnováha sil (Newtonův druhý zákon ) pro tlumené harmonické oscilátory je pak
které lze přepsat do formuláře
kde
- se nazývá „netlumený úhlová frekvence oscilátoru ",
- se nazývá „poměr tlumení“.
Hodnota poměru tlumení ζ kriticky určuje chování systému. Tlumený harmonický oscilátor může být:
- Overdamped (ζ > 1): Systém se vrátí (exponenciálně se rozpadá ) do ustáleného stavu bez oscilace. Větší hodnoty poměru tlumení ζ pomaleji se vraťte do rovnováhy.
- Kriticky tlumeno (ζ = 1): Systém se vrátí do ustáleného stavu co nejrychleji bez oscilace (i když může dojít k překročení). To je často žádoucí pro tlumení systémů, jako jsou dveře.
- Underdamped (ζ <1): Systém osciluje (s mírně odlišnou frekvencí než netlumený případ) s amplitudou postupně klesající k nule. The úhlová frekvence tlumeného harmonického oscilátoru je dán vztahem the exponenciální úpadek tlumeného harmonického oscilátoru je dán vztahem
The Q faktor tlumeného oscilátoru je definován jako
Q souvisí s poměrem tlumení rovnicí
Řízené harmonické oscilátory
Řízené harmonické oscilátory jsou tlumené oscilátory, které jsou dále ovlivňovány externě působící silou F(t).
Newtonův druhý zákon má formu
Obvykle se přepisuje do formy
Tuto rovnici lze pomocí řešení vyřešit přesně pro jakoukoli hnací sílu z(t), které splňují nevynucenou rovnici
a které lze vyjádřit jako tlumené sinusové oscilace:
v případě, že ζ ≤ 1. Amplituda A a fáze φ určit chování potřebné k tomu, aby odpovídalo počátečním podmínkám.
Krokový vstup
V případě ζ <1 a jednotkový krokový vstup sX(0) = 0: