Zobecněná distribuce gama - Generalized gamma distribution - Wikipedia

Zobecněná gama

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	${ displaystyle a> 0}$ (měřítko), ${ displaystyle d> 0, p> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x ; v ; (0, , infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {p / a ^ {d}} { Gamma (d / p)}} x ^ {d-1} e ^ {- (x / a) ^ {p}}}$
CDF	${ displaystyle { frac { gama (d / p, (x / a) ^ {p})} { gama (d / p)}}}$
Znamenat	${ displaystyle a { frac { Gamma ((d + 1) / p)} { gama (d / p)}}}$
Režim	${ displaystyle a left ({ frac {d-1} {p}} right) ^ { frac {1} {p}} mathrm {for} ; d> 1, mathrm {jinak} ; 0}$
Rozptyl	${ displaystyle a ^ {2} left ({ frac { Gamma ((d + 2) / p)} { Gamma (d / p)}} - left ({ frac { Gamma ((d +1) / p)} { Gamma (d / p)}} vpravo) ^ {2} vpravo)}$
Entropie	${ displaystyle ln { frac {a gama (d / p)} {p}} + { frac {d} {p}} + doleva ({ frac {1} {p}} - { frac {d} {p}} right) psi left ({ frac {d} {p}} right)}$

The zobecněná distribuce gama je kontinuální rozdělení pravděpodobnosti se třemi parametry. Jedná se o zobecnění dvou parametrů gama distribuce. Protože mnoho distribucí běžně používaných pro parametrické modely v analýza přežití (tak jako Exponenciální rozdělení, Weibullova distribuce a Distribuce gama ) jsou speciální případy zobecněného gama, někdy se používá k určení, který parametrický model je vhodný pro danou sadu dat.^[1] Dalším příkladem je poloviční normální rozdělení.

Vlastnosti

Zobecněná gama má tři parametry: ${ displaystyle a> 0}$, ${ displaystyle d> 0}$, a ${ displaystyle p> 0}$. Pro nezáporné X, funkce hustoty pravděpodobnosti generalizovaného gama je^[2]

${ displaystyle f (x; a, d, p) = { frac {(p / a ^ {d}) x ^ {d-1} e ^ {- (x / a) ^ {p}}} { Gamma (d / p)}},}$

kde ${ displaystyle gama ( cdot)}$ označuje funkce gama.

The kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (x; a, d, p) = { frac { gama (d / p, (x / a) ^ {p})} { gama (d / p)}},}$

kde ${ displaystyle gamma ( cdot)}$ označuje nižší neúplná funkce gama.

The kvantilová funkce lze najít tak, že si to všimnete ${ displaystyle F (x; a, d, p) = G ((x / a) ^ {p})}$ kde ${ displaystyle G}$ je kumulativní distribuční funkce Distribuce gama s parametry ${ displaystyle alpha = d / p}$ a ${ displaystyle beta = 1}$. Funkce kvantilu je pak dána invertováním ${ displaystyle F}$ pomocí známých vztahů o inverzní složených funkcí, poddajný:

${ displaystyle F ^ {- 1} (q; a, d, p) = a cdot { big [} G ^ {- 1} (q) { big]} ^ {1 / p},}$

s ${ displaystyle G ^ {- 1} (q)}$ je kvantilová funkce pro distribuci gama s ${ displaystyle alpha = d / p, , beta = 1}$.

Li ${ displaystyle d = p}$ pak se zobecněná distribuce gama stane Weibullova distribuce. Alternativně, pokud ${ displaystyle p = 1}$ zobecněné gama se stává gama distribuce.

Někdy se používají alternativní parametrizace této distribuce; například se střídáním α = d / p.^[3] Kromě toho lze přidat parametr posunu, takže doména X začíná na jiné hodnotě než nule.^[3] Pokud omezení na známky A, d a p jsou také zvednuty (ale α = d/p zůstává pozitivní), toto dává distribuci nazvanou Amoroso distribuce, po italském matematikovi a ekonomovi Luigi Amoroso který to popsal v roce 1925.^[4]

Okamžiky

Li X má tedy zobecněnou distribuci gama, jak je uvedeno výše^[3]

${ displaystyle operatorname {E} (X ^ {r}) = a ^ {r} { frac { Gamma ({ frac {d + r} {p}})}} { Gamma ({ frac { d} {p}})}}.}$

Kullback-Leiblerova divergence

Li ${ displaystyle f_ {1}}$ a ${ displaystyle f_ {2}}$ jsou funkce hustoty pravděpodobnosti dvou zobecněných rozdělení gama, pak jejich Kullback-Leiblerova divergence darováno

${ displaystyle { begin {aligned} D_ {KL} (f_ {1} paralelní f_ {2}) & = int _ {0} ^ { infty} f_ {1} (x; a_ {1}, d_ {1}, p_ {1}) , ln { frac {f_ {1} (x; a_ {1}, d_ {1}, p_ {1})} {f_ {2} (x; a_ {2}, d_ {2}, p_ {2})}}}, dx & = ln { frac {p_ {1} , a_ {2} ^ {d_ {2}} , Gamma left (d_ {2} / p_ {2} right)} {p_ {2} , a_ {1} ^ {d_ {1}} , Gamma left (d_ {1} / p_ {1} right)}} + left [{ frac { psi left (d_ {1} / p_ {1} right)} {p_ {1}}} + ln a_ {1} right] (d_ {1} -d_ {2}) + { frac { Gamma { bigl (} (d_ {1} + p_ {2}) / p_ {1} { bigr)}} { Gamma vlevo (d_ {1} / p_ {1} right)}} left ({ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} right) ^ {p_ {2}} - { frac {d_ {1 }} {p_ {1}}} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle psi ( cdot)}$ je funkce digamma.^[5]

Implementace softwaru

V R programovacího jazyka, existuje několik balíčků, které obsahují funkce pro přizpůsobení a generování zobecněných gama distribucí. The gams balíček v R umožňuje přizpůsobení a generování mnoha různých distribučních rodin včetně zobecněná gama (rodina = GG). Další možnosti v R, implementované v balíčku flexsurv, zahrnout funkci dgengamma, s parametrizací: ${ displaystyle mu = ln a + { frac { ln d- ln p} {p}}}$, ${ displaystyle sigma = { frac {1} { sqrt {pd}}}}$, ${ displaystyle Q = { sqrt { frac {p} {d}}}}$a v balíčku ggamma s parametrizací ${ displaystyle a = a}$, ${ displaystyle b = p}$, ${ displaystyle k = d / p}$.

Viz také

• Zobecněné celočíselné rozdělení gama

Reference