Normálně inverzní Gaussovo rozdělení - Normal-inverse Gaussian distribution

Normálně inverzní Gaussian (NIG)

Parametry	${displaystyle mu}$ umístění (nemovitý ) ${displaystyle alpha}$ tíha ocasu (skutečná) ${displaystyle eta}$ parametr asymetrie (skutečný) ${displaystyle delta}$ parametr měřítka (nemovitý) ${displaystyle gamma = {sqrt {alpha ^ {2} - eta ^ {2}}}}$
Podpěra, podpora	${displaystyle xin (-infty; + infty)!}$
PDF	${displaystyle {frac {alpha delta K_ {1} left (alpha {sqrt {delta ^ {2} + (x-mu) ^ {2}}} ight)} {pi {sqrt {delta ^ {2} + (x -mu) ^ {2}}}}}; e ^ {delta gamma + eta (x-mu)}}$ ${displaystyle K_ {j}}$ označuje upravený Besselova funkce třetího druhu[1]
Znamenat	${displaystyle mu + delta eta / gamma}$
Rozptyl	${displaystyle delta alpha ^ {2} / gamma ^ {3}}$
Šikmost	${displaystyle 3 eta / (alfa {sqrt {delta gamma}})}$
Př. špičatost	${displaystyle 3 (1 + 4 eta ^ {2} / alpha ^ {2}) / (delta gamma)}$
MGF	${displaystyle e ^ {mu z + delta (gama - {sqrt {alpha ^ {2} - (eta + z) ^ {2}}})}}$
CF	${displaystyle e ^ {imu z + delta (gama - {sqrt {alpha ^ {2} - (eta + iz) ^ {2}}})}}$

The normálně-inverzní Gaussovo rozdělení (NIG) je spojité rozdělení pravděpodobnosti který je definován jako normální odchylka-střední směs kde hustota míchání je inverzní Gaussovo rozdělení. Distribuce NIG byla uvedena Blaesildem v roce 1977 jako podtřída generalizovaná hyperbolická distribuce objeveno uživatelem Ole Barndorff-Nielsen.^[2] V příštím roce Barndorff-Nielsen publikoval NIG v jiném příspěvku.^[3] To bylo představeno v matematické finance literatura v roce 1997.^[4]

Parametry normálně inverzního Gaussova rozdělení se často používají ke konstrukci grafu těžkosti a šikmosti nazývaného NIG trojúhelník.^[5]

Vlastnosti

Okamžiky

Skutečnost, že pro funkci generování momentů existuje jednoduchý výraz, znamená, že jsou k dispozici jednoduché výrazy pro všechny momenty.^[6][7]

Lineární transformace

Tato třída je uzavřena pod afinní transformace, protože se jedná o konkrétní případ Zobecněná hyperbolická distribuce, který má stejnou vlastnost. Li

${displaystyle xsim {mathcal {NIG}} (alfa, eta, delta, mu) {ext {and}} y = ax + b,}$

pak^[8]

${displaystyle ysim {mathcal {NIG}} {igl (} {frac {alpha} {left | aight |}}, {frac {eta} {a}}, left | aight | delta, amu + b {igr)}. }$

Shrnutí

Tato třída je nekonečně dělitelný, protože se jedná o konkrétní případ Zobecněná hyperbolická distribuce, který má stejnou vlastnost.

Konvoluce

Třída normálně-inverzního Gaussova rozdělení je uzavřena pod konvoluce v následujícím smyslu:^[9] -li ${displaystyle X_ {1}}$ a ${displaystyle X_ {2}}$ jsou nezávislý náhodné proměnné které jsou distribuovány NIG se stejnými hodnotami parametrů ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$, ale možná různé hodnoty parametrů umístění a měřítka, ${displaystyle mu _ {1}}$, ${displaystyle delta _ {1}}$ a ${displaystyle mu _ {2},}$ ${displaystyle delta _ {2}}$pak ${displaystyle X_ {1} + X_ {2}}$ je distribuován NIG s parametry ${displaystyle alpha,}$ ${displaystyle eta,}$${displaystyle mu _ {1} + mu _ {2}}$ a ${displaystyle delta _ {1} + delta _ {2}.}$

Související distribuce

Třída distribucí NIG je flexibilní systém distribucí, který zahrnuje distribuce s tučným a zkoseným rozdělením a normální distribuce, ${displaystyle N (mu, sigma ^ {2}),}$ vznikne jako zvláštní případ nastavením ${displaystyle eta = 0, delta = sigma ^ {2} alfa,}$ a nechat ${displaystyle alpha ightarrow infty}$.

Stochastický proces

Normálně inverzní Gaussovo rozdělení lze také považovat za okrajové rozdělení normálně inverzního Gaussova procesu, které poskytuje alternativní způsob jeho výslovné konstrukce. Počínaje driftujícím Brownovým pohybem (Wienerův proces ), ${displaystyle W ^ {(gama)} (t) = W (t) + gama t}$můžeme definovat inverzní Gaussův proces ${displaystyle A_ {t} = inf {s> 0: W ^ {(gamma)} (s) = delta t}.}$ Poté dostal druhý nezávislý driftující Brownův pohyb, ${displaystyle W ^ {(eta)} (t) = {ilde {W}} (t) + eta t}$, normálně-inverzní Gaussův proces je časově změněný proces ${displaystyle X_ {t} = W ^ {(eta)} (A_ {t})}$. Proces ${displaystyle X (t)}$ v čase ${displaystyle t = 1}$ má normálně inverzní Gaussovo rozdělení popsané výše. Proces NIG je konkrétní instancí obecnější třídy Lévyho procesy.

Jako směs odchylek a průměrů

Nechat ${displaystyle {mathcal {IG}}}$ označit inverzní Gaussovo rozdělení a ${displaystyle {mathcal {N}}}$ označit normální distribuce. Nechat ${displaystyle zsim {mathcal {IG}} (delta, gamma)}$, kde ${displaystyle gamma = {sqrt {alpha ^ {2} - eta ^ {2}}}}$; a nechte ${displaystyle xsim {mathcal {N}} (mu + eta z, z)}$, pak ${displaystyle x}$ sleduje distribuci NIG s parametry, ${displaystyle alfa, eta, delta, mu}$. To lze použít ke generování NIG se liší vzorkování předků. Lze jej také použít k odvození EM algoritmus pro maximální pravděpodobnost odhad parametrů NIG.^[10]

Reference