Hardy prostor - Hardy space

v komplexní analýza, Odolné prostory (nebo Hardy třídy) H^p jsou si jistí mezery z holomorfní funkce na jednotka disku nebo horní polovina roviny. Byli představeni Frigyes Riesz (Riesz 1923 ), který je pojmenoval G. H. Hardy, kvůli papíru (Hardy 1915 ). v skutečná analýza Odolné prostory jsou určité prostory distribuce na reálné linii, což jsou (ve smyslu distribucí) hraniční hodnoty holomorfních funkcí komplex Hardy mezery, a jsou spojeny s L^p mezery z funkční analýza. Pro 1 ≤p ≤ ∞ tyto skutečné otužilé prostory H^p jsou si jistí podmnožiny z L^p, zatímco pro p <1 L^p prostory mají některé nežádoucí vlastnosti a Hardyho prostory se chovají mnohem lépe.

Existují také vyšší dimenzionální zobecnění, skládající se z určitých holomorfních funkcí trubkové domény v komplexním případě nebo v určitých distribučních prostorech Rⁿ ve skutečném případě.

Hardy prostory mají řadu aplikací v matematická analýza sám, stejně jako v teorie řízení (jako H^∞ metody ) a v teorie rozptylu.

Hardy mezery pro disk jednotky

Pro prostory holomorfní funkce na otevřeném prostranství jednotka disku, Hardyho prostor H² se skládá z funkcí F jehož střední čtvercová hodnota na kruhu o poloměru r zůstává ohraničen jako r → 1 zespodu.

Obecněji, Hardyho prostor H^p pro 0 < p <∞ je třída holomorfních funkcí F na disku otevřené jednotky vyhovující

${ displaystyle sup _ {0 leqslant r <1} left ({ frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} left | f left (re ^ {i theta} right) right | ^ {p} ; mathrm {d} theta right) ^ { frac {1} {p}} < infty.}$

Tato třída H^p je vektorový prostor. Číslo na levé straně výše uvedené nerovnosti je Hardyho prostor p-norm pro F, označeno ${ displaystyle | f | _ {H ^ {p}}.}$ Je normou, když p ≥ 1, ale ne, když 0 < p < 1.

Prostor H^∞ je definován jako vektorový prostor omezených holomorfních funkcí na disku s normou

${ displaystyle | f | _ {H ^ { infty}} = sup _ {| z | <1} left | f (z) right |.}$

Pro 0

H^q je podmnožina z H^pa H^p-norm se zvyšuje s p (je to důsledek Hölderova nerovnost že L^p-norm se zvyšuje pro pravděpodobnostní opatření, tj. opatření s celkovou hmotností 1).

Hardy mezery na jednotkovém kruhu

Hardyho prostory definované v předchozí části lze také zobrazit jako určité uzavřené vektorové podprostory komplexu L^p mezery na jednotkovém kruhu. Toto připojení poskytuje následující věta (Katznelson 1976, Thm 3.8): Dáno F ∈ H^p, s p ≥ 0,^{[je zapotřebí objasnění ]} radiální limit

${ displaystyle { tilde {f}} left (e ^ {i theta} right) = lim _ {r to 1} f left (re ^ {i theta} right)}$

existuje téměř pro každé θ. Funkce ${ displaystyle { tilde {f}}}$ patří do L^p prostor pro kruh jednotek,^{[je zapotřebí objasnění ]} a jeden to má

${ displaystyle | { tilde {f}} | _ {L ^ {p}} = | f | _ {H ^ {p}}.}$

Označíme kruh jednotky pomocí T, a tím H^p(T) vektorový podprostor L^p(T) skládající se ze všech limitních funkcí ${ displaystyle { tilde {f}}}$, když F se liší H^p, jeden to má za p ≥ 1,(Katznelson 1976 )

${ displaystyle g in H ^ {p} left ( mathbf {T} right) { text {právě a jen}} g in L ^ {p} left ( mathbf {T} right ) { text {and}} { hat {g}} (n) = 0 { text {pro všechny}} n <0,}$

Kde G(n) jsou Fourierovy koeficienty funkce G integrovatelný na jednotkový kruh,

${ displaystyle forall n in mathbf {Z}, { hat {g}} (n) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} g left (e ^ {i phi} right) e ^ {- in phi} , mathrm {d} phi.}$

Prostor H^p(T) je uzavřený podprostor L^p(T). Od té doby L^p(T) je Banachův prostor (pro 1 ≤ p ≤ ∞), tak je H^p(T).

Výše uvedené lze otočit. Vzhledem k funkci ${ displaystyle { tilde {f}}}$ ∈ L^p(T), s p ≥ 1, lze znovu získat (harmonický ) funkce F na disku jednotky pomocí Poissonovo jádro P_r:

${ displaystyle f left (re ^ {i theta} right) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} P_ {r} ( theta - phi) { tilde {f}} left (e ^ {i phi} right) , mathrm {d} phi, quad r <1,}$

a F patří H^p přesně kdy ${ displaystyle { tilde {f}}}$ je v H^p(T). Předpokládám to ${ displaystyle { tilde {f}}}$ je v H^p(T), tj. že ${ displaystyle { tilde {f}}}$ má Fourierovy koeficienty (A_n)_n∈Z s A_n = 0 pro každého n <0, pak prvek F Hardyho prostoru H^p spojené s ${ displaystyle { tilde {f}}}$ je holomorfní funkce

${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n}, | z | <1.}$

V aplikacích jsou tyto funkce s mizejícími zápornými Fourierovými koeficienty běžně interpretovány jako kauzální řešení.^{[je zapotřebí objasnění ]} Tedy prostor H² je vidět, že přirozeně sedí uvnitř L² prostor, a je reprezentován nekonečné sekvence indexováno podle N; zatímco L² skládá se z b-nekonečné sekvence indexováno podle Z.

Připojení ke skutečným vytrvalým prostorům v kruhu

Když 1 ≤ p <∞, skutečné vytrvalé prostory H^p diskutováno dále dolů^{[je zapotřebí objasnění ]} v tomto článku lze snadno popsat v současném kontextu. Skutečná funkce F na jednotkovém kruhu patří do skutečného Hardyho prostoru H^p(T) pokud je skutečnou součástí funkce v H^p(T) a komplexní funkce F patří do skutečného Hardyho prostoru, pokud Re (F) a já jsem(F) patří do prostoru (viz část o skutečných Hardyho prostorech níže). Tedy pro 1 ≤ p <∞, skutečný Hardyho prostor obsahuje Hardyho prostor, ale je mnohem větší, protože mezi skutečnou a imaginární částí funkce není uložen žádný vztah.

Pro 0 < p <1, takové nástroje jako Fourierovy koeficienty, Poissonův integrál, konjugovaná funkce, již nejsou platné. Zvažte například funkci

${ displaystyle F (z) = { frac {1 + z} {1-z}}, quad | z | <1.}$

Pak F je v H^p za každých 0 < p <1 a radiální limit

${ displaystyle f (e ^ {i theta}): = lim _ {r až 1} F (re ^ {i theta}) = i , cot ({ tfrac { theta} {2 }}).}$

existuje pro a.e. θ a je v H^p(T), ale Re (F) je 0 téměř všude, takže již není možné se zotavit F od Re (F). Důsledkem tohoto příkladu je, že pro 0 < p <1, nelze charakterizovat skutečnéH^p(T) (definováno níže) jednoduchým způsobem uvedeným výše,^{[je zapotřebí objasnění ]} ale musí použít skutečnou definici s použitím maximálních funkcí, které jsou uvedeny dále někde níže.

Pro stejnou funkci F, nechť F_r(E^iθ) = F(re^iθ). Limit, kdy r → 1 z Re (F_r), ve smyslu distribuce na kružnici je nenulovým násobkem Diracova distribuce na z = 1. Diracova distribuce v bodě jednotkové kružnice patří do reálnéhoH^p(T) pro každého p <1 (viz níže).

Faktorizace do vnitřních a vnějších funkcí (Beurling)

Pro 0 <p ≤ ∞, každá nenulová funkce F v H^p lze napsat jako produkt F = Gh kde G je vnější funkce a h je vnitřní funkce, jak je definováno níže (Rudin 1987, Thm 17,17). Tento "Beurling faktorizace “umožňuje Hardyho prostor zcela charakterizovat prostorem vnitřních a vnějších funkcí.^[1][2]

Jeden to říká G(z)^{[je zapotřebí objasnění ]} je vnější (vnější) funkce pokud má formu

${ displaystyle G (z) = c , exp vlevo ({ frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} { frac {e ^ {i theta} + z} {e ^ {i theta} -z}} log ! left ( varphi ! left (e ^ {i theta} right) right) , mathrm {d } theta right)}$

pro nějaké komplexní číslo C s |C| = 1, a některé pozitivní měřitelné funkce ${ displaystyle varphi}$ na kruhu jednotky tak, že ${ displaystyle log ( varphi)}$ je integrovatelný do kruhu. Zejména když ${ displaystyle varphi}$ je integrovatelný do kruhu, G je v H¹ protože výše uvedené má podobu Poissonovo jádro (Rudin 1987, Thm 17,16). To z toho vyplývá

${ Displaystyle lim _ {r na 1 ^ {-}} doleva | G doleva (re ^ {i theta} doprava) doprava | = varphi doleva (e ^ {i theta} že jo)}$

téměř pro každé θ.

Jeden to říká h je vnitřní (vnitřní) funkce jen a jen pokud |h| ≤ 1 na disku jednotky a limit

${ displaystyle lim _ {r na 1 ^ {-}} h (re ^ {i theta})}$

existuje pro téměř všechny θ a jeho modul se rovná 1 a.e. Zejména, h je v H^∞.^{[je zapotřebí objasnění ]} Vnitřní funkci lze dále zapracovat do formy zahrnující a Produkt Blaschke.

Funkce F, rozloženo jako F = Gh,^{[je zapotřebí objasnění ]} je v H^p právě když φ patří L^p(T), kde φ je pozitivní funkce v reprezentaci vnější funkce G.

Nechat G být vnější funkcí znázorněnou výše z funkce φ na kružnici. Výměna φ za φ^α, α> 0, rodina (G_α) vnějších funkcí se získá s vlastnostmi:

G₁ = G, G_{α + β} = G_α G_β a |G_α| = |G|^α téměř všude v kruhu.

Z toho vyplývá, že kdykoli 0 < p, q, r <∞ a 1 /r = 1/p + 1/q, každá funkce F v H^r lze vyjádřit jako součin funkce v H^p a funkce v H^q. Například: každá funkce v H¹ je produktem dvou funkcí v H²; každá funkce v H^p, p <1, lze v některých vyjádřit jako produkt několika funkcí H^q, q > 1.

Skutečné proměnné techniky na jednotkovém kruhu

Skutečné proměnné techniky, hlavně spojené se studiem skutečné vytrvalé prostory definováno dne Rⁿ (viz níže), se také používají v jednodušším rámci kruhu. Je běžnou praxí počítat s komplexními funkcemi (nebo distribucemi) v těchto „skutečných“ prostorech. Následující definice nerozlišuje mezi skutečným nebo složitým případem.

Nechat P_r označte Poissonovo jádro na jednotkovém kruhu T. Pro distribuci F na jednotkovém kruhu, nastavte

${ displaystyle (Mf) (e ^ {i theta}) = sup _ {0$

Kde hvězda označuje konvoluci mezi distribucí F a funkce e^iθ → P_r(θ) na kružnici. Jmenovitě, (F ∗ P_r)(E^iθ) je výsledkem akce F na C^∞-funkce definovaná na kruhu jednotky znakem

${ displaystyle e ^ {i varphi} rightarrow P_ {r} ( theta - varphi).}$

Pro 0 < p <∞, skutečný vytrvalý prostor H^p(T) se skládá z distribucí F takhle M f je v L^p(T).

Funkce F definováno na disku jednotky pomocí F(re^iθ) = (F ∗ P_r)(E^iθ) je harmonický a M f je radiální maximální funkce z F. Když M f patří L^p(T) a p ≥ 1, distribuce F  "je"funkce v L^p(T), jmenovitě hraniční hodnota F. Pro p ≥ 1, skutečný vytrvalý prostor H^p(T) je podmnožinou L^p(T).

Funkce konjugátu

Ke každému skutečnému trigonometrickému polynomu u na jednotkovém kruhu jeden spojuje skutečný konjugovaný polynom proti takhle u + iproti rozšiřuje se na holomorfní funkci v jednotkovém disku,

${ displaystyle u (e ^ {i theta}) = { frac {a_ {0}} {2}} + sum _ {k geqslant 1} a_ {k} cos (k theta) + b_ {k} sin (k theta) longrightarrow v (e ^ {i theta}) = sum _ {k geqslant 1} a_ {k} sin (k theta) -b_ {k} cos (k theta).}$

Toto mapování u → proti rozšiřuje na ohraničený lineární operátor H na L^p(T), když 1 < p <∞ (až do skalárního násobku je to Hilbertova transformace na jednotkovém kruhu) a H také mapy L¹(T) až slabý-L¹(T). Když 1 ≤ p <∞, následující jsou ekvivalentní pro a skutečná hodnota integrovatelná funkce F v kruhu jednotky:

• funkce F je skutečnou součástí nějaké funkce G ∈ H^p(T)
• funkce F a jeho konjugát H (f) patřit k L^p(T)
• radiální maximální funkce M f patří L^p(T).

Když 1 < p < ∞, H (f) patří L^p(T) když F ∈ L^p(T), tedy skutečný Hardyho prostor H^p(T) se shoduje s L^p(T) v tomto případě. Pro p = 1, skutečný Hardyho prostor H¹(T) je správný podprostor L¹(T).

Případ p = ∞ bylo vyloučeno z definice skutečných Hardyho prostorů, protože maximální funkce M f z L^∞ funkce je vždy omezená a protože není žádoucí, aby skutečnáH^∞ být rovno L^∞. Dvě následující vlastnosti jsou však ekvivalentní pro funkci se skutečnou hodnotou F

• funkce F je skutečnou součástí nějaké funkce G ∈ H^∞(T)
• funkce F a jeho konjugát H (f) patřit k L^∞(T).

Skutečné odolné prostory pro 0 < p < 1

Když 0 < p <1, funkce F v H^p nelze rekonstruovat ze skutečné části jeho mezní hranice funkce na kruhu, kvůli nedostatku konvexnosti L^p v tomto případě. Konvexita selže, ale jakési „komplexní konvexnost"zůstává, zejména skutečnost, že z → |z|^q je subharmonický pro každého q > 0. V důsledku toho, pokud

${ displaystyle F (z) = součet _ {n = 0} ^ {+ infty} c_ {n} z ^ {n}, quad | z | <1}$

je v H^p, lze ukázat, že C_n = O (n^1/p–1). Z toho vyplývá, že Fourierova řada

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {+ infty} c_ {n} e ^ {in theta}}$

konverguje ve smyslu distribucí k distribuci F na jednotkovém kruhu a F(re^iθ) =(F ∗ P_r) (θ). Funkce F ∈ H^p lze rekonstruovat ze skutečné distribuce Re (F) na kružnici, protože Taylorovy koeficienty C_n z F lze vypočítat z Fourierových koeficientů Re (F).

Distribuce v kruhu jsou dostatečně obecné pro manipulaci s Hardy mezerami, když p <1. Distribuce, které nejsou funkcemi, se vyskytují^{[kde? ]}, jak je vidět u funkcí F(z) = (1−z)^−N (pro |z| <1), které patří do H^p když 0 < N p <1 (a N celé číslo ≥ 1).

Skutečné rozdělení v kruhu patří doH^p(T) pokud je to hraniční hodnota skutečné části některých F ∈ H^p. Diracova distribuce δ_X, v každém okamžiku X jednotkového kruhu patří do reálnéhoH^p(T) pro každého p <1; deriváty δ ′_X patřit kdy p <1/2, druhé deriváty δ ′ ′_X když p <1/3 atd.

Hardy mezery pro horní polovinu roviny

Je možné definovat Hardyho mezery v jiných doménách než disk a v mnoha aplikacích se používají Hardyho mezery ve složité polorovině (obvykle pravá polorovina nebo horní polorovina).

Hardyho prostor H^p(H) na horní polorovina H je definován jako prostor holomorfních funkcí F na H s omezenou (kvazi) normou, normu dává

${ displaystyle | f | _ {H ^ {p}} = sup _ {y> 0} left ( int | f (x + iy) | ^ {p} , mathrm {d} x right) ^ { frac {1} {p}}.}$

Korespondence H^∞(H) je definována jako funkce omezené normy, přičemž norma je dána

${ displaystyle | f | _ {H ^ { infty}} = sup _ {z in mathbf {H}} | f (z) |.}$

Ačkoliv jednotka disku D a horní polorovina H lze navzájem mapovat pomocí Möbiovy transformace, nejsou vzájemně zaměnitelné^{[je zapotřebí objasnění ]} jako domény pro Hardyho prostory. K tomuto rozdílu přispívá skutečnost, že jednotkový kruh má konečný (jednorozměrný) Lebesgueovo opatření zatímco skutečná čára ne. Nicméně pro H², jeden má následující větu: if m : D → H označuje Möbiovu transformaci

${ displaystyle m (z) = i cdot { frac {1 + z} {1-z}}.}$

Pak lineární operátor M : H²(H) → H²(D) definován

${ displaystyle (Mf) (z): = { frac { sqrt { pi}} {1-z}} f (m (z)).}$

je izometrické izomorfismus Hilbertových prostorů.

Skutečné odolné prostory pro Rⁿ

Při analýze reálného vektorového prostoru Rⁿ, Hardyho prostor^{[je zapotřebí objasnění ]} H^p (pro 0 <p ≤ ∞) se skládá z temperované distribuce^{[je zapotřebí objasnění ]} F takové, že pro některé Schwartzova funkce Φ s ∫Φ = 1, maximální funkce

${ displaystyle (M _ { Phi} f) (x) = sup _ {t> 0} | (f * Phi _ {t}) (x) |}$

je v L^p(Rⁿ),^{[je zapotřebí objasnění ]} kde ∗ je konvoluce a Φ_t(X) = t⁻ⁿΦ (X / t). The H^p-kvazinorm ||F ||_Hp distribuce F z H^p je definován jako L^p norma M_ΦF (záleží na volbě Φ, ale různé volby Schwartzových funkcí Φ dávají ekvivalentní normy). The H^p-quasinorm je normou, když p ≥ 1, ale ne když p < 1.

Pokud 1 < p <∞, Hardyho prostor H^p je stejný vektorový prostor jako L^p, s ekvivalentní normou. Když p = 1, Hardyho prostor H¹ je správný podprostor L¹. Jeden může najít sekvence v H¹ které jsou ohraničeny L¹ ale neomezeně H¹, například na řádku

${ displaystyle f_ {k} (x) = mathbf {1} _ {[0,1]} (xk) - mathbf {1} _ {[0,1]} (x + k), k> 0.}$

The L¹ a H¹ normy nejsou ekvivalentní H¹, a H¹ není uzavřen L¹. Dvojí H¹ je prostor BMO funkcí omezená střední oscilace. Prostor BMO obsahuje neomezené funkce (což opět dokazuje, že H¹ není uzavřen L¹).

Li p <1 pak Hardyho prostor H^p má prvky, které nejsou funkcemi, a je dvojí^{[je zapotřebí objasnění ]} je homogenní Lipschitzův prostor řádu n(1/p - 1). Když p <1, H^p-quasinorm není norma, protože není subaditivní. The pth síla ||F ||_Hp^p je subadditivní pro p <1 a tak definuje metriku na Hardyho prostoru H^p, který definuje topologii a dělá H^p do úplného metrického prostoru.

Atomový rozklad

Když 0 < p ≤ 1, omezená měřitelná funkce F kompaktní podpory je v Hardyho prostoru H^p právě když všechny jeho momenty

${ displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {n}} f (x) x_ {1} ^ {i_ {1}} ldots x_ {n} ^ {i_ {n}} , mathrm { d} x,}$

jehož objednávka i₁+ ... +i_n je nanejvýš n(1/p - 1), zmizet. Například integrál F musí zmizet, aby to F ∈ H^p, 0 < p ≤ 1 a pokud p > n / (n+1) to je také dostačující.

Pokud navíc F má podporu v nějaké kouli B a je ohraničen |B|^−1/p pak F se nazývá H^p-atom (zde |B| označuje euklidovský objem B v Rⁿ). The H^p-quasinorm libovolného H^p-atom je omezen konstantou pouze v závislosti na p a na funkci Schwartz Φ.

Když 0 < p ≤ 1, jakýkoli prvek F z H^p má atomový rozklad jako konvergentní nekonečná kombinace H^p-atomy,

${ displaystyle f = součet c_ {j} a_ {j}, součet | c_ {j} | ^ {p} < infty}$

Kde A_j jsou H^p-atomy a C_j jsou skaláry.

Například na řádku je rozdíl Diracových distribucí F = 8₁−δ₀ lze reprezentovat jako řadu Haarovy funkce, konvergentní v H^p-quasinorm když 1/2 < p <1 (na kružnici platí odpovídající reprezentace pro 0 < p <1, ale na řádku funkce Haar nepatří H^p když p ≤ 1/2, protože jejich maximální funkce je ekvivalentní v nekonečnu A X⁻² pro některé A ≠ 0).

Martingale H^p

Nechť (M_n)_n≥0 být martingale na nějakém pravděpodobnostním prostoru (Ω, Σ,P), s ohledem na rostoucí posloupnost σ-polí (Σ_n)_n≥0. Pro jednoduchost předpokládejme, že Σ se rovná poli σ generovanému posloupností (Σ_n)_n≥0. The maximální funkce martingale je definováno

${ displaystyle M ^ {*} = sup _ {n geq 0} , | M_ {n} |.}$

Nechť 1 ≤ p <∞. Martingale (M_n)_n≥0 patří martingale-H^p když M * ∈ L^p.

Li M * ∈ L^p, martingale (M_n)_n≥0 je ohraničen v L^p; proto téměř jistě konverguje k nějaké funkci F podle Martingaleova věta o konvergenci. Navíc, M_n konverguje k F v L^p-norm podle dominující věta o konvergenci; proto M_n lze vyjádřit jako podmíněné očekávání F na Σ_n. Je tedy možné identifikovat martingale-H^p s podprostorem L^p(Ω, Σ,P) sestávající z těchto F takové, že martingale

${ displaystyle M_ {n} = operatorname {E} { bigl (} f | Sigma _ {n} { bigr)}}$

patří k martingale-H^p.

Doobova maximální nerovnost znamená, že martingale-H^p se shoduje s L^p(Ω, Σ,P) když 1 < p <∞. Zajímavý prostor je martingale-H¹, jehož duál je martingale-BMO (Garsia 1973 ).

Nerovnosti Burkholder – Gundy (když p > 1) a nerovnost Burgess Davis (kdy p = 1) se týkají L^p-norm maximální funkce jako funkce čtvercová funkce martingale

${ displaystyle S (f) = left (| M_ {0} | ^ {2} + sum _ {n = 0} ^ { infty} | M_ {n + 1} -M_ {n} | ^ { 2} vpravo) ^ { frac {1} {2}}.}$

Martingale-H^p lze definovat tím, že říká S(F)∈ L^p (Garsia 1973 ).

Lze také vzít v úvahu martingales s parametrem nepřetržitého času. Přímé spojení s klasickou teorií je získáno prostřednictvím komplexu Brownův pohyb (B_t) v komplexní rovině, počínaje bodem z = 0 v čase t = 0. Nechť τ označuje dobu úderu jednotkové kružnice. Pro každou holomorfní funkci F na disku jednotky,

${ displaystyle M_ {t} = F (B_ {t klín tau})}$

je martingale, který patří k martingale-H^p iff F ∈ H^p (Burkholder, Gundy & Silverstein 1971 ).

Příklad: dyadic martingale-H¹

V tomto příkladu Ω = [0, 1] a Σ_n je konečné pole generované dyadickým rozdělením [0, 1] na 2ⁿ intervaly délky 2⁻ⁿ, pro každého n ≥ 0. Pokud je funkce F na [0, 1] je představována jeho expanzí na Haarův systém (h_k)

${ displaystyle f = součet c_ {k} h_ {k},}$

pak martingale-H¹ norma F lze definovat pomocí L¹ norma funkce čtverce

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { Bigl (} sum | c_ {k} h_ {k} (x) | ^ {2} { Bigr)} ^ { frac {1} { 2}} , mathrm {d} x.}$

Tento prostor, někdy označovaný H¹(δ), je izomorfní s klasickým reálným H¹ prostor na kruhu (Müller 2005 ). Systém Haar je bezpodmínečný základ pro H¹(5).

Poznámky

Reference

• Burkholder, Donald L .; Gundy, Richard F .; Silverstein, Martin L. (1971), "Maximální funkční charakteristika třídy H^p", Transakce Americké matematické společnosti, 157: 137–153, doi:10.2307/1995838, JSTOR  1995838, PAN  0274767, S2CID  53996980.
• Cima, Joseph A .; Ross, William T. (2000), Zpětný posun v Hardy Space, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2083-4
• Colwell, Peter (1985), Produkty Blaschke - ohraničené analytické funkceAnn Arbor: University of Michigan Press, ISBN  978-0-472-10065-1
• Duren, P. (1970), Teorie H^p-Prostory, Akademický tisk
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), "H^p mezery několika proměnných ", Acta Mathematica, 129 (3–4): 137–193, doi:10.1007 / BF02392215, PAN  0447953.
• Folland, G.B. (2001) [1994], „Hardy spaces“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Garsia, Adriano M. (1973), Martingale Nerovnosti: Seminární poznámky o nedávném pokrokuSérie přednášek z matematiky, W. A. ​​Benjamin PAN0448538
• Hardy, G. H. (1915), „O střední hodnotě modulu analytické funkce“, Proceedings of the London Mathematical Society, 14: 269–277, doi:10.1112 / plms / s2_14.1.269, JFM  45.1331.03
• Hoffman, Kenneth (1988), Banachovy prostory analytických funkcí, Dover Publications, ISBN  978-0-486-65785-1
• Katznelson, Yitzhak (1976), Úvod do harmonické analýzy, Dover Publications, ISBN  978-0-486-63331-2
• Koosis, P. (1998), Úvod do H_p Prostory (Druhé vydání), Cambridge University Press
• Mashreghi, J. (2009), Věty o reprezentaci v Hardyho prostorech, Cambridge University Press, ISBN  9780521517683
• Müller, Paul F. X. (2005), Izomorfismy mezi H¹ mezery, Matematický ústav Polské akademie věd. Matematické monografie (nová řada), Basilej: Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-2431-5, PAN  2157745
• Riesz, F. (1923), „Über die Randwerte einer analytischen Funktion“, Mathematische Zeitschrift, 18: 87–95, doi:10.1007 / BF01192397, S2CID  121306447
• Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza, McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-100276-9
• Shvedenko, S.V. (2001) [1994], „Hardy classes“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS