Minkowského obsah - Minkowski content

The Minkowski obsah (pojmenoval podle Hermann Minkowski ), nebo hraniční opatření, sady je základní koncept, který používá koncepty z geometrie a teorie míry zobecnit pojmy délka a hladká křivka v letadle a plocha hladkého povrchu v prostor, libovolně měřitelné sady.

Obvykle se aplikuje na fraktální hranice domén v Euklidovský prostor, ale lze jej použít také v kontextu obecné metriky změřte mezery.

Souvisí to, i když se liší od, Hausdorffovo opatření.

Definice

Pro ${ displaystyle A podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$a každé celé číslo m s ${ displaystyle 0 leq m leq n}$, m-dimenzionální horní obsah Minkowski je

${ displaystyle M ^ {* m} (A) = limsup _ {r až 0 ^ {+}} { frac { mu ( {x: d (x, A)$

a m-dimenzionální nižší obsah Minkowski je definován jako

${ displaystyle M _ {*} ^ {m} (A) = liminf _ {r až 0 ^ {+}} { frac { mu ( {x: d (x, A)$

kde ${ displaystyle alpha (n-m) r ^ {n-m}}$ je objem (n−m)-míč o poloměru r a ${ displaystyle mu}$ je ${ displaystyle n}$-dimenzionální Lebesgueovo opatření.

Pokud je horní a dolní m-dimenzionální Minkowského obsah A jsou stejné, pak se jejich společná hodnota nazývá Minkowského obsah M^m(A).^[1][2]

Vlastnosti

• Obsah Minkowski není (obecně) měřítkem. Zejména m-dimenzionální obsah Minkowski v Rⁿ není opatření, pokud m = 0, v tom případě je to počítání opatření. Je zřejmé, že obsah Minkowski jasně přiřazuje stejnou hodnotu sadě A stejně jako jeho uzavření.
• Li A je uzavřený m-opravitelná sada v Rⁿ, daný jako obraz ohraničené množiny z R^m pod Funkce Lipschitz, pak m-dimenzionální Minkowského obsah A existuje a rovná se m-dimenzionální Hausdorffovo opatření z A^[3].

Viz také

• Gaussova izoperimetrická nerovnost
• Teorie geometrických měr
• Izoperimetrická nerovnost ve vyšších dimenzích
• Dimenze Minkowski – Bouligand

Poznámky pod čarou

Reference

• Federer, Herbert (1969), Teorie geometrických měr, Springer-Verlag, ISBN  3-540-60656-4.
• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (1999), Geometrie domén v prostoru, Birkhäuser Advanced Texty: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN  0-8176-4097-5, PAN  1730695.