Logaritmická distribuce - Logarithmic distribution

Logaritmické

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti Funkce je definována pouze na celočíselné hodnoty. Spojovací linie jsou pouze vodítky pro oko.
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle 0$
Podpěra, podpora	${ displaystyle k in {1,2,3, ldots }}$
PMF	${ displaystyle { frac {-1} { ln (1-p)}} { frac {p ^ {k}} {k}}}$
CDF	${ displaystyle 1 + { frac { mathrm {B} (p; k + 1,0)} { ln (1-p)}}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {-1} { ln (1-p)}} { frac {p} {1-p}}}$
Režim	${ displaystyle 1}$
Rozptyl	${ displaystyle - { frac {p ^ {2} + p ln (1-p)} {(1-p) ^ {2} ( ln (1-p)) ^ {2}}}}$
MGF	${ displaystyle { frac { ln (1-pe ^ {t})} { ln (1-p)}} { text {pro}} t <- ln p}$
CF	${ displaystyle { frac { ln (1-pe ^ {it})} { ln (1-p)}}}$
PGF	${ displaystyle { frac { ln (1-pz)} { ln (1-p)}} { text {pro}} | z | <{ frac {1} {p}}}$

v pravděpodobnost a statistika, logaritmická distribuce (také známý jako distribuce logaritmické řady nebo distribuce řady protokolů) je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti odvozeno z Řada Maclaurin expanze

${ displaystyle - ln (1-p) = p + { frac {p ^ {2}} {2}} + { frac {p ^ {3}} {3}} + cdots.}$

Z toho získáme identitu

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {-1} { ln (1-p)}} ; { frac {p ^ {k}} {k}} = 1.}$

To vede přímo k funkce pravděpodobnostní hmotnosti protokolu (p) - distribuováno náhodná proměnná:

${ displaystyle f (k) = { frac {-1} { ln (1-p)}} ; { frac {p ^ {k}} {k}}}$

pro k ≥ 1 a kde 0 <p <1. Z důvodu výše uvedené identity je distribuce správně normalizována.

The kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (k) = 1 + { frac { mathrm {B} (p; k + 1,0)} { ln (1-p)}}}$

kde B je neúplná funkce beta.

Poisson složený s Log (p) -distribuované náhodné proměnné má a negativní binomické rozdělení. Jinými slovy, pokud N je náhodná proměnná s a Poissonovo rozdělení, a X_i, i = 1, 2, 3, ... je nekonečná sekvence nezávislých identicky distribuovaných náhodných proměnných, z nichž každá má Log (p) distribuce, pak

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$

má záporné binomické rozdělení. Tímto způsobem je negativní binomické rozdělení považováno za a složené Poissonovo rozdělení.

R. A. Fisher popsal logaritmické rozdělení v článku, který jej použil k modelování relativní početnost druhů.^[1]

Viz také

• Poissonovo rozdělení (odvozeno také ze série Maclaurin)

Reference

Další čtení

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Kapitola 7: Logaritmické a Lagrangeovy distribuce". Univariate diskrétní distribuce (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-27246-5.
• Weisstein, Eric W. "Distribuce řady protokolů". MathWorld.