Vícerozměrná t-distribuce - Multivariate t-distribution

Vícerozměrný t

Zápis	${displaystyle t_ {u} ({oldsymbol {mu}}, {oldsymbol {Sigma}})}$
Parametry	${displaystyle {oldsymbol {mu}} = [mu _ {1}, tečky, mu _ {p}] ^ {T}}$ umístění (nemovitý ${displaystyle p imes 1}$ vektor ) ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}}}$ měřítková matice (pozitivní-definitivní nemovitý ${displaystyle p imes p}$ matice ) ${displaystyle u}$ je stupně svobody
Podpěra, podpora	${displaystyle mathbf {x} v mathbb {R} ^ {p}!}$
PDF	${displaystyle {frac {Gamma left [(u + p) / 2ight]} {Gamma (u / 2) u ^ {p / 2} pi ^ {p / 2} left | {oldsymbol {Sigma}} right | ^ { 1/2}}} vlevo [1+ {frac {1} {u}} ({mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ^ {m {T}} {oldsymbol {Sigma}} ^ {- 1} ({mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ight] ^ {- (u + p) / 2}}$
CDF	Žádný analytický výraz, ale viz aproximace v textu
Znamenat	${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$ -li ${displaystyle u> 1}$; jinak nedefinováno
Medián	${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$
Režim	${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$
Rozptyl	${displaystyle {frac {u} {u -2}} {oldsymbol {Sigma}}}$ -li ${displaystyle u> 2}$; jinak nedefinováno
Šikmost	0

v statistika, vícerozměrný t-rozdělení (nebo multivariační distribuce studentů) je vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti. Je to zobecnění na náhodné vektory z Studentské t-rozdělení, což je distribuce vztahující se k univariate náhodné proměnné. Zatímco případ a náhodná matice lze v této struktuře zacházet, matice t-rozdělení je odlišný a zvláště využívá strukturu matice.

Definice

Jeden běžný způsob konstrukce vícerozměrného t-distribuce, pro případ ${displaystyle p}$ rozměry, je založeno na pozorování, že pokud ${displaystyle mathbf {y}}$ a ${displaystyle u}$ jsou nezávislé a distribuované jako ${displaystyle {mathcal {N}} ({mathbf {0}}, {oldsymbol {Sigma}})}$ a ${displaystyle chi _ {u} ^ {2}}$ (tj. vícerozměrný normální a chi-kvadrát distribuce ) příslušně matice ${displaystyle mathbf {Sigma},}$ je str × str matice a ${displaystyle {mathbf {y}} / {sqrt {u / u}} = {mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}}$, pak ${displaystyle {mathbf {x}}}$ má hustotu

${displaystyle {frac {Gamma left [(u + p) / 2ight]} {Gamma (u / 2) u ^ {p / 2} pi ^ {p / 2} left | {oldsymbol {Sigma}} right | ^ { 1/2}}} vlevo [1+ {frac {1} {u}} ({mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ^ {T} {oldsymbol {Sigma}} ^ {- 1} ( {mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ight] ^ {- (u + p) / 2}}$

a říká se, že je distribuován jako multivariační t-distribuce s parametry ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}}, {oldsymbol {mu}}, u}$. Všimněte si, že ${displaystyle mathbf {Sigma}}$ není kovarianční matice, protože kovariance je dána vztahem ${displaystyle u / (u -2) mathbf {Sigma}}$ (pro ${displaystyle u> 2}$).

Ve zvláštním případě ${displaystyle u = 1}$, distribuce je a vícerozměrné Cauchyovo rozdělení.

Derivace

Ve skutečnosti existuje mnoho kandidátů na vícerozměrné zobecnění Studentské t-rozdělení. Rozsáhlý průzkum v této oblasti poskytli Kotz a Nadarajah (2004). Základním problémem je definovat funkci hustoty pravděpodobnosti několika proměnných, která je vhodným zobecněním vzorce pro jednorozměrný případ. V jedné dimenzi (${displaystyle p = 1}$), s ${displaystyle t = x-mu}$ a ${displaystyle Sigma = 1}$, máme funkce hustoty pravděpodobnosti

${displaystyle f (t) = {frac {Gamma [(u +1) / 2]} {{sqrt {u pi,}}, gama [u / 2]}} (1 + t ^ {2} / u) ^ {- (u +1) / 2}}$

a jedním přístupem je zapsat odpovídající funkci několika proměnných. Toto je základní myšlenka eliptické rozdělení teorie, kde se zapíše odpovídající funkce ${displaystyle p}$ proměnné ${displaystyle t_ {i}}$ který nahrazuje ${displaystyle t ^ {2}}$ kvadratickou funkcí všech ${displaystyle t_ {i}}$. Je zřejmé, že to dává smysl, pouze když mají všechny okrajové distribuce stejné stupně svobody ${displaystyle u}$. S ${displaystyle mathbf {A} = {oldsymbol {Sigma}} ^ {- 1}}$, jeden má jednoduchou volbu funkce vícerozměrné hustoty

${displaystyle f (mathbf {t}) = {frac {Gamma ((u + p) / 2) left | mathbf {A} ight | ^ {1/2}} {{sqrt {u ^ {p} pi ^ { p},}}, Gamma (u / 2)}} vlevo (1 + součet _ {i, j = 1} ^ {p, p} A_ {ij} t_ {i} t_ {j} / u ight) ^ {- (u + p) / 2}}$

což je standardní, ale ne jediná volba.

Důležitým zvláštním případem je standard bivariate t-rozdělení, str = 2:

${displaystyle f (t_ {1}, t_ {2}) = {frac {left | mathbf {A} ight | ^ {1/2}} {2pi}} left (1 + sum _ {i, j = 1} ^ {2,2} A_ {ij} t_ {i} t_ {j} / u ight) ^ {- (u +2) / 2}}$

Všimněte si, že ${displaystyle {frac {Gamma left ({frac {u +2} {2}} ight)} {pi u Gamma left ({frac {u} {2}} ight)}} = {frac {1} {2pi} }}$.

Teď když ${displaystyle mathbf {A}}$ je matice identity, hustota je

${displaystyle f (t_ {1}, t_ {2}) = {frac {1} {2pi}} vlevo (1+ (t_ {1} ^ {2} + t_ {2} ^ {2}) / hned ) ^ {- (u +2) / 2}.}$

Potíž se standardním znázorněním odhaluje tento vzorec, který se nerozptyluje do produktu okrajových jednorozměrných distribucí. Když ${displaystyle Sigma}$ je úhlopříčka, standardní reprezentace může mít nulovou hodnotu korelace ale mezní rozdělení nesouhlasím s statistická nezávislost.

Funkce kumulativní distribuce

Definice kumulativní distribuční funkce (cdf) v jedné dimenzi lze rozšířit na více dimenzí definováním následující pravděpodobnosti (zde ${displaystyle mathbf {x}}$ je skutečný vektor):

${displaystyle F (mathbf {x}) = mathbb {P} (mathbf {X} leq mathbf {x}), quad {extrm {where}} ;; mathbf {X} sim t_ {u} ({oldsymbol {mu} }, {oldsymbol {Sigma}}).}$

Neexistuje žádný jednoduchý vzorec pro ${displaystyle F (mathbf {x})}$, ale může být numericky aproximovat přes Integrace Monte Carlo.^[1][2]

Spony založené na vícerozměrném t

Použití těchto distribucí se těší obnovenému zájmu kvůli aplikacím v matematické finance, zejména prostřednictvím využití Studentova t spona.^{[Citace je zapotřebí ]}

Související pojmy

V jednorozměrných statistikách Studentské t-test využívá Studentské t-rozdělení. Hotelling's T- čtvercová distribuce je distribuce, která vzniká ve statistice s více proměnnými. The matice t-rozdělení je distribuce náhodných proměnných uspořádaných do maticové struktury.

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Viz také

• Vícerozměrné normální rozdělení, což je speciální případ multivariační Studentovy t-distribuce, když ${displaystyle u uparrow infty}$.
• Distribuce Chi, pdf faktoru měřítka při konstrukci Studentova t-distribuce a také 2-norma (nebo Euklidovská norma ) vícerozměrného normálně distribuovaného vektoru (se středem na nule).
• Mahalanobisova vzdálenost

Reference

Literatura

externí odkazy

• Copula Methods vs Canonical Multivariate Distribuce: multivariační Student T distribuce s obecnými stupni volnosti
• Vícerozměrné studentské t-rozdělení