Zkrácený icosidodecahedron - Truncated icosidodecahedron

Zkrácený icosidodecahedral graf
	Pětinásobná symetrie
Vrcholy	120
Hrany	180
Poloměr	15
Průměr	15
Obvod	4
Automorfismy	120 (A.5×2)
Chromatické číslo	2
Vlastnosti	Krychlový, Hamiltonian, pravidelný, nulově symetrický
	Tabulka grafů a parametrů

Zkrácený icosidodecahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 62, E = 180, PROTI = 120 (χ = 2)
Tváře po stranách	30{4}+20{6}+12{10}
Conwayova notace	bD nebo taD
Schläfliho symboly	tr {5,3} nebo ${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 5 3 end {Bmatrix}}}$
Schläfliho symboly	t_0,1,2{5,3}
Wythoffův symbol	2 3 5 \|
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Já_h, H₃, [5,3], (* 532), objednávka 120
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532), objednávka 60
Dihedrální úhel	6-10: 142.62° 4-10: 148.28° 4-6: 159.095°
Reference	U₂₈, C₃₁, Ž₁₆
Vlastnosti	Semiregular konvexní zonohedron
Barevné tváře	4.6.10 (Vrcholová postava )
Disdyakis triacontahedron (duální mnohostěn )	Síť

v geometrie, zkrácený icosidodecahedron je Archimédův pevný, jeden ze třinácti konvexních isogonal neprismatické pevné látky konstruované dvěma nebo více typy pravidelný mnohoúhelník tváře.

Má 62 tváří: 30 čtverce, 20 pravidelných šestiúhelníky a 12 pravidelných desetiúhelníky. Má nejvíce hran a vrcholů ze všech platónských a archimédských těles urážet dvanáctistěn má více tváří. Ze všech vrcholově přechodných mnohostěnů zaujímá největší procento (89,80%) objemu koule, ve které je vepsán, a velmi těsně překonává tupý dodekaedr (89,63%) a Malý Rhombicosidodecahedron (89,23%) a méně těsně porazil Zkrácený dvacetistěn (86,74%); má také zdaleka největší objem (206,8 kubických jednotek), když je jeho délka okraje rovna 1. Ze všech vrcholových tranzitivních mnohostěnů, které nejsou hranoly nebo antiprizmy, má největší součet úhlů (90 + 120 + 144 = 354 stupňů) na každém vrcholu; větší hranu by měl pouze hranol nebo protiklad s více než 60 stranami. Protože každá z jejích ploch má bodovou symetrii (ekvivalentně 180 ° rotační symetrie), zkrácený icosidodecahedron je a zonohedron.

Jména

Název zkrácený icosidodecahedron, daný původně uživatelem Johannes Kepler, je zavádějící. Skutečný zkrácení z icosidodecahedron má obdélníky namísto čtverce. Tento nejednotný mnohostěn je topologicky ekvivalentní Archimédově tělesu.

Alternativní zaměnitelné názvy jsou:

Zkrácený icosidodecahedron (Johannes Kepler )
Rhombitruncated icosidodecahedron (Magnus Wenninger^[1])
Velký kosočtverec (Robert Williams,^[2] Peter Cromwell^[3])
Omnitruncated dvanáctistěn nebo dvacetistěnu (Norman Johnson )

Icosidodecahedron a jeho zkrácení

Název velký rhombicosidodecahedron odkazuje na vztah s (malým) rhombicosidodecahedron (srovnej část Pitva ).
Tady je nekonvexní jednotný mnohostěn s podobným názvem, nekonvexní velký kosočtverec.

Plocha a objem

Plocha povrchu A a objem PROTI zkráceného icosidodecahedronu o délce hrany A jsou:^{[Citace je zapotřebí ]}

{ displaystyle { begin {aligned} A & = 30 left (1 + { sqrt {3}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right) a ^ {2} && přibližně 174,292 , 0303a ^ {2}. V & = vlevo (95 + 50 { sqrt {5}} vpravo) a ^ {3} && přibližně 206,803 , 399a ^ {3}. end {zarovnaný}}}

Pokud je soubor všech 13 Archimédovy pevné látky byly konstruovány se všemi délkami hran rovnými, zkrácený icosidodecahedron by byl největší.

Kartézské souřadnice

Kartézské souřadnice pro vrcholy zkráceného icosidodecahedron s délkou hrany 2φ - 2, soustředěné na počátek, jsou všechny dokonce i obměny z:^[4]

(±1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),

(±2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),

(±1/φ, ±φ², ±(−1 + 3φ)),

(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) a

(±φ, ±3, ±2φ),

kde φ = 1 + √5/2 je Zlatý řez.

Pitva

Zkrácený icosidodecahedron je konvexní obal a rhombicosidodecahedron s kvádry nad svými 30 čtverci, jejichž poměr výšky k základně je $φ$ . Zbytek jeho prostoru lze členit na nejednotné kopule, konkrétně 12 mezi vnitřními pětiúhelníky a vnějšími dekagony a 20 mezi vnitřními trojúhelníky a vnějšími šestiúhelníky.

Alternativní pitva má také kosočtverečné jádro. Má 12 pětiúhelníkové rotundy mezi vnitřními pětiúhelníky a vnějšími dekagony. Zbývající část je a toroidní mnohostěn.

pitevní obrázky
Tyto obrázky ukazují kosočtverečný kosočtverec (fialový) a zkrácený ikosidodekedr (zelený). Pokud jsou jejich délky hrany 1, je vzdálenost mezi odpovídajícími čtverci $φ$ . Toroidní mnohostěn zbývající po jádru a dvanácti rotundách jsou vyříznuty

Ortogonální projekce

Zkrácený icosidodecahedron má sedm zvláštních ortogonální projekce, se středem na vrcholu, na třech typech hran a třech typech ploch: čtvercové, šestihranné a desetihranné. Poslední dva odpovídají A₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce
Na střed	Vrchol	Okraj 4-6	Okraj 4-10	Okraj 6-10	Tvář náměstí	Tvář šestiúhelník	Tvář desetiúhelník
Pevný
Drátový model
Projektivní symetrie	[2]⁺	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Dvojí obraz

Sférické obklady a Schlegel diagramy

Zkrácený icosidodecahedron může být také reprezentován jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

Schlegel diagramy jsou podobné, s a perspektivní projekce a rovné hrany.

Ortografická projekce	Stereografické projekce
	Decagon -centrovaný	Šestiúhelník -centrovaný	Náměstí -centrovaný

Geometrické variace

V rámci Ikosahedrální symetrie existuje neomezené geometrické variace zkrácený icosidodecahedron s isogonal tváře. The zkrácený dvanáctistěn, rhombicosidodecahedron, a zkrácený dvacetistěn jako degenerované omezující případy.

Zkrácený icosidodecahedral graf

V matematický pole teorie grafů, a zkrácený icosidodecahedral graf (nebo velký kosočtverečný graf) je graf vrcholů a hran zkráceného icosidodecahedron, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 120 vrcholy a 180 hran, a je a nulově symetrický a krychlový Archimédův graf.^[5]

Schlegelův diagram grafy
3násobná symetrie	2násobná symetrie

Související mnohostěny a obklady


Motýlek icosahedron a dodecahedron obsahují dvě lichoběžníkové tváře namísto čtverce.^[6]

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Tento mnohostěn lze považovat za člena posloupnosti uniformních vzorů s vrcholovým obrazcem (4.6.2p) a Coxeter-Dynkinův diagram . Pro p <6, jsou členy posloupnosti všudypřítomný mnohostěn (zonohedrony ), zobrazené níže jako sférické obklady. Pro p > 6, jsou to obklady hyperbolické roviny, počínaje zkrácené triheptagonální obklady.

n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n* [ proti t E ]
Sym. *n32 [n,3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
Sym. *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Čísla
Konfigurace	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duální
Konfigurace	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i