Ikosahedrální symetrie - Icosahedral symmetry

Skupiny bodů ve třech dimenzích
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32)
Involuční symetrie C_s, (*) [ ] =	Cyklická symetrie C_nv, (* nn) [n] =	Dihedrální symetrie D_nh, (* n22) [n, 2] =
Čtyřboká symetrie T_d, (*332) [3,3] =	Oktaedrická symetrie Ó_h, (*432) [4,3] =	Ikosahedrální symetrie Já_h, (*532) [5,3] =

Ikosahedrická symetrie základních domén

A fotbalový míč, běžný příklad a sférický zkrácený dvacetistěn, má plnou ikosahedrickou symetrii.

A pravidelný dvacetistěn má 60 rotačních (nebo orientačních) symetrií a a pořadí symetrie 120 včetně transformací, které kombinují odraz a rotaci. A pravidelný dvanáctistěn má stejnou sadu symetrií, protože je to dvojí dvacetistěnu.

Celá skupina symetrie (včetně odrazů) je známá jako Skupina coxeterů H₃, a je také reprezentován Coxeterova notace [5,3] a Coxeterův diagram Sada symetrií zachovávajících orientaci tvoří podskupinu, která je izomorfní se skupinou A.₅ (dále jen střídavá skupina 5 písmen).

Jako skupina bodů

Kromě dvou nekonečných sérií hranolové a antiprismatické symetrie, rotační icosahedral symetrie nebo chirální ikosahedrální symetrie chirálních předmětů a úplná ikosahedrická symetrie nebo achirální ikosahedrální symetrie jsou diskrétní bodové symetrie (nebo ekvivalentně, symetrie na kouli ) s největší skupiny symetrie.

Ikosahedrická symetrie není kompatibilní s translační symetrie, takže neexistují žádné přidružené krystalografické skupiny bodů nebo vesmírné skupiny.

Schö.	Coxeter		Koule.	Abstraktní struktura	Objednat
Já	[5,3]⁺		532	A₅	60
Já_h	[5,3]		*532	A₅×2	120

Prezentace odpovídající výše uvedenému jsou:

{ displaystyle I: langle s, t mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {5} rangle }

{ displaystyle I_ {h}: langle s, t mid s ^ {3} (st) ^ {- 2}, t ^ {5} (st) ^ {- 2} rangle. }

Ty odpovídají ikosahedrálním skupinám (rotačním a plným), které jsou (2,3,5) trojúhelníkové skupiny.

První prezentaci přednesl William Rowan Hamilton v roce 1856, ve své práci o ikosiánský počet.^[1]

Pamatujte, že jsou možné i jiné prezentace, například jako střídavá skupina (pro Já).

Vizualizace

Schoe. (Koule. )	Coxeter notace	Elementy	Zrcadlové diagramy
Schoe. (Koule. )	Coxeter notace	Elementy	Ortogonální	Stereografická projekce
Já_h (*532)	[5,3]	Zrcadlo řádky: 15
Já (532)	[5,3]⁺	Kroužení body: 12₅ 20₃ 30₂

Struktura skupiny


Okraje kulovitého tvaru sloučenina pěti oktaedrů představují 15 zrcadlových rovin jako barevné velké kruhy. Každý osmistěn může svými hranami představovat 3 ortogonální zrcadlové roviny.

The pyritohedrální symetrie je indexová podskupina ikosahedrické symetrie s indexem 5, se 3 ortogonálními zelenými reflexními čarami a 8 červenými řádky - 3 body gyrace. Jako podskupina indexu 5 existuje dalších 5 orientací pyritohedrální symetrie.

The ikosahedrální rotační skupina Já je řádu 60. Skupina Já je izomorfní na A₅, střídavá skupina rovnoměrných permutací pěti objektů. Tento izomorfismus lze realizovat Já působící na různé sloučeniny, zejména na směs pěti kostek (které se zapisují do dvanáctistěn ), sloučenina pěti oktaedrů, nebo jeden z těchto dvou sloučeniny pěti čtyřstěnů (což jsou enantiomorfy a zapsat do dvanáctistěnu).

Tato skupina obsahuje 5 verzí T_h s 20 verzemi D₃ (10 os, 2 na osu) a 6 verzí D₅.

The plná ikosaedrální skupina Já_h má objednávku 120. Má Já tak jako normální podskupina z index 2. Skupina Já_h je izomorfní s Já × Z₂nebo A₅ × Z₂, s inverze ve středu odpovídající prvku (identita, -1), kde Z₂ je psáno multiplikativně.

Já_h působí na směs pěti kostek a sloučenina pěti oktaedrů, ale -1 funguje jako identita (protože kostky a osmistěny jsou centrálně symetrické). Působí na sloučenina deseti čtyřstěnů: Já působí na dvě chirální poloviny (sloučeniny pěti čtyřstěnů ) a −1 zaměňují obě poloviny. Je tomu tak zejména ne jednat jako S.₅a tyto skupiny nejsou izomorfní; viz níže pro podrobnosti.

Tato skupina obsahuje 10 verzí D_3d a 6 verzí D_{5 d} (symetrie jako antiprismy).

Já je také izomorfní s PSL₂(5), ale Já_h není izomorfní vůči SL₂(5).

Běžně zmatené skupiny

Všechny následující skupiny mají pořadí 120, ale nejsou izomorfní:

S₅, symetrická skupina na 5 prvcích
Já_h, úplná ikosaedrická skupina (předmět tohoto článku, známý také jako H₃)
2Já, binární ikosaedrální skupina

Odpovídají následujícímu krátké přesné sekvence (druhý z nich se nerozdělí) a produkt

{ displaystyle 1 až A_ {5} až S_ {5} až Z_ {2} až 1}

{ displaystyle I_ {h} = A_ {5} krát Z_ {2}}

{ displaystyle 1 až Z_ {2} až 2I až A_ {5} až 1}

Ve slovech,

${ displaystyle A_ {5}}$ je normální podskupina z ${ displaystyle S_ {5}}$
${ displaystyle A_ {5}}$ je faktor z ${ displaystyle I_ {h}}$ , což je přímý produkt
${ displaystyle A_ {5}}$ je kvocientová skupina z ${ displaystyle 2I}$

Všimněte si, že ${ displaystyle A_ {5}}$ má výjimečný neredukovatelné 3-dimenzionální zastoupení (jako ikosahedrální rotační skupina), ale ${ displaystyle S_ {5}}$ nemá neredukovatelné trojrozměrné zastoupení, což odpovídá celé ikosahedrální skupině, která není symetrickou skupinou.

Ty mohou také souviset s lineárními skupinami nad konečné pole s pěti prvky, které přímo vykazují podskupiny a krycí skupiny; žádná z nich není úplná ikosahedrální skupina:

${ displaystyle A_ {5} cong operatorname {PSL} (2,5),}$ the projektivní speciální lineární skupina viz tady pro důkaz;
${ displaystyle S_ {5} cong operatorname {PGL} (2,5),}$ the projektivní obecná lineární skupina;
${ displaystyle 2I cong operatorname {SL} (2,5),}$ the speciální lineární skupina.

Hodiny konjugace

třídy konjugace
Já	Já_h
identita 12 × otočení o 72 °, objednávka 5 12 × otočení o 144 °, objednávka 5 20 × otočení o 120 °, objednávka 3 15 × otočení o 180 °, objednávka 2	inverze 12 × otočení o 108 °, objednávka 10 12 × otočení o 36 °, objednávka 10 20 × otočení o 60 °, objednávka 6 15 × odraz, objednávka 2

Podskupiny plné ikosahedrální symetrie

Vztahy podskupin

Chirální podskupinové vztahy

Schön.	Coxeter	Koule.	H-M	Struktura	Objednat	Index
Já_h	[5,3]	*532	532 / m	A₅ × Z.₂	120	1
D_2h	[2,2]	*222	mmm	Dih₂ × Dih₁= Dih₁³	8	15
C_5v	[5]	*55	5 m	Dih₅	10	12
C_3v	[3]	*33	3 m	Dih₃= S₃	6	20
C_2v	[2]	*22	2 mm	Dih₂= Dih₁²	4	30
C_s	[ ]	*	2 nebo m	Dih₁	2	60
T_h	[3⁺,4]	3*2	m3	A₄× Z.₂	24	5
D_{5 d}	[2⁺,10]	2*5	10m2	Dih₁₀= Z₂× Dih₅	20	6
D_3d	[2⁺,6]	2*3	3m	Dih₆= Z₂× Dih₃	12	10
D_1d = C._2h	[2⁺,2]	2*	2 / m	Dih₂=Z₂ × Dih₁	4	30
S₁₀	[2⁺,10⁺]	5×	5	Z₁₀= Z₂× Z.₅	10	12
S₆	[2⁺,6⁺]	3×	3	Z₆= Z₂× Z.₃	6	20
S₂	[2⁺,2⁺]	×	1	Z₂	2	60
Já	[5,3]⁺	532	532	A₅	60	2
T	[3,3]⁺	332	332	A₄	12	10
D₅	[2,5]⁺	522	522	Dih₅	10	12
D₃	[2,3]⁺	322	322	Dih₃= S₃	6	20
D₂	[2,2]⁺	222	222	Dih₂= Z₂²	4	30
C₅	[5]⁺	55	5	Z₅	5	24
C₃	[3]⁺	33	3	Z₃= A₃	3	40
C₂	[2]⁺	22	2	Z₂	2	60
C₁	[ ]⁺	11	1	Z₁	1	120

Všechny tyto třídy podskupin jsou konjugované (tj. Všechny stabilizátory vrcholů jsou konjugované) a připouštějí geometrické interpretace.

Všimněte si, že stabilizátor vrcholu / hrany / plochy / mnohostěnu a jeho protiklady jsou stejné, protože ${ displaystyle -1}$ je ústřední.

Stabilizátory vrcholů

Stabilizátory protilehlé dvojice vrcholů lze interpretovat jako stabilizátory osy, které generují.

stabilizátory vrcholů v Já dát cyklické skupiny C₃
stabilizátory vrcholů v Já_h dát dihedrální skupiny D₃
stabilizátory protilehlé dvojice vrcholů v Já dát vzepětí skupiny D₃
stabilizátory opačného páru vrcholů v Já_h dát ${ displaystyle D_ {3} krát pm 1}$

Stabilizátory hran

Stabilizátory protilehlé dvojice hran lze interpretovat jako stabilizátory obdélníku, který generují.

stabilizátory hran v Já dát cyklické skupiny Z₂
stabilizátory hran v Já_h dát Kleinovy čtyři skupiny ${ displaystyle Z_ {2} krát Z_ {2}}$
stabilizátory dvojice hran v Já dát Kleinovy čtyři skupiny ${ displaystyle Z_ {2} krát Z_ {2}}$ ; je jich 5, dáno rotací o 180 ° ve 3 kolmých osách.
stabilizátory dvojice hran v Já_h dát ${ displaystyle Z_ {2} krát Z_ {2} krát Z_ {2}}$ ; je jich 5, daných odrazy ve 3 kolmých osách.

Stabilizátory obličeje

Stabilizátory protilehlého páru tváří lze interpretovat jako stabilizátory anti-hranol generují.

stabilizátory obličeje v Já dát cyklické skupiny C₅
stabilizátory obličeje v Já_h dát vzepětí skupiny D₅
stabilizátory opačného páru tváří v Já dát vzepětí skupiny D₅
stabilizátory opačného páru tváří v Já_h dát ${ displaystyle D_ {5} krát pm 1}$

Stabilizátory mnohostěnů

Pro každou z nich existuje 5 kopií konjugátu a akce konjugace dává mapu, skutečně izomorfismus, ${ displaystyle I { stackrel { sim} { to}} A_ {5}$ .

stabilizátory vepsaného čtyřstěnu v Já jsou kopií T
stabilizátory vepsaného čtyřstěnu v Já_h jsou kopií T
stabilizátory vepsaných kostek (nebo protilehlých párů čtyřstěnů nebo oktaedrů) v Já jsou kopií T
stabilizátory vepsaných kostek (nebo protilehlých párů čtyřstěnů nebo oktaedrů) v Já_h jsou kopií T_h

Generátory coxeterových skupin

Celá ikosahedrická skupina symetrie [5,3] () řádu 120 má generátory reprezentované reflexními maticemi R₀, R.₁, R.₂ níže, se vztahy R₀² = R.₁² = R.₂² = (R.₀× R.₁)⁵ = (R.₁× R.₂)³ = (R.₀× R.₂)² = Identita. Skupina [5,3]⁺ () řádu 60 je generován libovolnými dvěma rotacemi S_0,1, S._1,2, S._0,2. A rotační odraz objednávky 10 generuje V_0,1,2, produkt všech 3 odrazů. Tady ${ displaystyle phi = { tfrac {{ sqrt {5}} + 1} {2}}}$ označuje Zlatý řez.

[5,3],
	Úvahy			Rotace			Rotační odraz
název	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	PROTI_0,1,2
Skupina
Objednat	2	2	2	5	3	2	10
Matice	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {1- phi} {2}} & { frac {- phi} {2}} & { frac {-1} {2}} { frac {- phi} {2}} & { frac {1} {2}} & { frac {1- phi} {2}} { frac {-1} {2 }} & { frac {1- phi} {2}} & { frac { phi} {2}} end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac { phi -1} {2}} & { frac { phi} {2}} & { frac {1} {2}} { frac {- phi} {2}} & { frac {1} {2}} & { frac {1- phi} {2}} { frac {-1} {2}} & { frac {1- phi} {2}} & { frac { phi} {2}} end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {1- phi} {2}} & { frac { phi} {2}} & { frac {-1} {2}} { frac {- phi} {2}} & { frac {-1} {2}} & { frac {1- phi} {2}} { frac {-1} {2 }} & { frac { phi -1} {2}} & { frac { phi} {2}} end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac { phi -1} {2}} & { frac {- phi} {2}} & { frac {1} {2}} { frac {- phi} {2}} & { frac {-1} {2}} & { frac {1- phi} {2}} { frac {-1} {2 }} & { frac { phi -1} {2}} & { frac { phi} {2}} end {smallmatrix}} right]}$
	(1,0,0)_n	${ displaystyle ({ begin {smallmatrix} { frac { phi} {2}}, { frac {1} {2}}, { frac { phi -1} {2}} end {smallmatrix }})}$ _n	(0,1,0)_n	(φ, 1,0)_osa	(1,1,1)_osa	(1,0,0)_osa

Základní doména

Základní domény pro ikosahedrickou rotační skupinu a celou ikosahedrickou skupinu jsou dány vztahem:

Ikosahedrální rotační skupina Já	Plná ikosaedrální skupina Já_h	Tváře disdyakis triacontahedron jsou základní doménou

V disdyakis triacontahedron jedna celá tvář je základní doménou; další tělesa se stejnou symetrií lze získat úpravou orientace ploch, např. sloučení vybraných podskupin ploch ke sloučení každé podmnožiny do jedné plochy nebo nahrazení každé plochy několika plochami nebo zakřiveným povrchem.

Mnohostěn s ikosahedrickou symetrií

Chirální mnohostěn

Třída	Symboly	Obrázek
Archimedean	sr {5,3}
Katalánština	V3.3.3.3.5

Plná ikosahedrická symetrie

Platonická pevná látka	Kepler – Poinsotův mnohostěn		Archimédovy pevné látky
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t {5,3}	t {3,5}	r {3,5}	rr {3,5}	tr {3,5}
Platonická pevná látka	Kepler – Poinsotův mnohostěn		Katalánština pevné látky
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Ostatní objekty s ikosahedrickou symetrií

Příklady ikosahedrické symetrie

Circogonia icosahedra, a Radiolarian

Capsid z Adenovirus

The dodecaborate iont [B₁₂H₁₂]²⁻

Barth povrchy
Struktura virů, a Capsid
V chemii dodecaborate ion ([B₁₂H₁₂]²⁻) a dodekahedran molekula (C.₂₀H₂₀)

Tekuté krystaly s ikosahedrickou symetrií

Pro mezilehlou fázi materiálu tzv tekuté krystaly existenci ikosahedrální symetrie navrhl H. Kleinert a K. Maki^[2] a jeho struktura byla v tomto článku nejprve podrobně analyzována. Viz přehledový článek tady.V hliníku byla ikosahedrální struktura objevena experimentálně tři roky poté Dan Shechtman, který mu v roce 2011 vynesl Nobelovu cenu.

Související geometrie

Ikosahedrická symetrie je ekvivalentní projektivní speciální lineární skupina PSL (2,5), a je skupina symetrie modulární křivka X (5) a obecněji PSL (2,p) je skupina symetrie modulární křivky X (p). Modulární křivka X (5) je geometricky dvanáctistěn s hrotem ve středu každé polygonální plochy, což demonstruje skupinu symetrie.

Tuto geometrii a související skupinu symetrie studoval Felix Klein jako monodromy skupiny povrchu Belyi - povrch Riemanna s holomorfní mapou do Riemannovy koule, rozvětvený pouze v 0, 1 a nekonečnu (a Funkce Belyi ) - vrcholy jsou body ležící nad nekonečnem, zatímco vrcholy a středy každého okraje leží nad 0 a 1; stupeň krytí (počet listů) se rovná 5.

To vzniklo z jeho úsilí poskytnout geometrické nastavení, proč ikosahedrální symetrie vznikla při řešení kvintická rovnice, s teorií uvedenou ve slavném (Klein 1888 ); moderní expozice je uvedena v (Tóth 2002, Oddíl 1.6, Další téma: Kleinova teorie o dvacetistěnu, str. 66 ).

Kleinova vyšetřování pokračovala objevem řádu 7 a řádu 11 symetrií v (Klein a 1878 / 79b ) a (Klein 1879 ) (a související krytí stupně 7 a 11) a dessins d'enfants, první dává Kleinova kvartika, jehož přidružená geometrie má obklad 24 heptagons (s hrotem ve středu každého).

Podobné geometrie se vyskytují u PSL (2,n) a obecnější skupiny pro další modulární křivky.

Exotičtější jsou speciální spojení mezi skupinami PSL (2,5) (řád 60), PSL (2,7) (řád 168) a PSL (2,11) (řád 660), které rovněž připouštějí geometrické interpretace - PSL (2,5) je symetrie ikosahedronu (rod 0), PSL (2,7) Kleinova kvartika (rod 3) a PSL (2,11) buckyball povrch (rod 70). Tyto skupiny tvoříTrojice " ve smyslu Vladimír Arnold, který poskytuje rámec pro různé vztahy; vidět trojice pro detaily.

Existuje blízký vztah k ostatním Platonické pevné látky.

Viz také

Reference

^ Sir William Rowan Hamilton (1856), „Memorandum respektující nový systém kořenů jednoty“ (PDF), Filozofický časopis, 12: 446
^ Kleinert, H. & Maki, K. (1981). „Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals“ (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. doi:10.1002 / prop.19810290503.

Klein, F. (1878). „Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen“ [O transformaci eliptických funkcí řádu sedm]. Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007 / BF01677143. Přeloženo v Levy, Silvio, ed. (1999). Osminásobná cesta. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. PAN 1722410.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Klein, F. (1879), „Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (Na transformaci jedenáctého řádu eliptických funkcí)“, Mathematische Annalen, 15 (3–4): 533–555, doi:10.1007 / BF02086276, shromážděno jako str. 140–165 palců Tvorba, kniha 3
Klein, Felix (1888), Přednášky o dvacetistěnu a řešení rovnic pátého stupně, Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0trans. George Gavin Morrice
Tóth, Gábor (2002), Konečné Möbiovy skupiny, minimální ponoření koulí a moduly
Peter R. Cromwell, Mnohostěn (1997), str. 296
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.5 Skupiny sférických coxeterů

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Ikosahedrální skupina". MathWorld.
PODskupiny W (H3) (Podskupiny jiných skupin Coxeteru ) Gotz Pfeiffer

[1] Sir William Rowan Hamilton (1856), „Memorandum respektující nový systém kořenů jednoty“ (PDF), Filozofický časopis, 12: 446

[2] Kleinert, H. & Maki, K. (1981). „Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals“ (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. doi:10.1002 / prop.19810290503.

[1]

[2]