Zkrácený čtyřstěn - Truncated tetrahedron

Zkrácený čtyřstěn
Zkrácenýtetrahedron.jpg
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
TypArchimédův pevný
Jednotný mnohostěn
ElementyF = 8, E = 18, PROTI = 12 (χ = 2)
Tváře po stranách4{3}+4{6}
Conwayova notacetT
Schläfliho symbolyt {3,3} = h2{4,3}
t0,1{3,3}
Wythoffův symbol2 3 | 3
Coxeterův diagramCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel uzel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png
Skupina symetrieTd, A3, [3,3], (* 332), objednávka 24
Rotační skupinaT, [3,3]+, (332), objednávka 12
Dihedrální úhel3-6: 109°28′16′
6-6: 70°31′44″
ReferenceU02, C16, Ž6
VlastnostiSemiregular konvexní
Mnohostěn zkrácen 4a max.png
Barevné tváře		Zkrácený čtyřstěn vertfig.png
3.6.6
(Vrcholová postava )
Polyhedron komolý 4a duální max.png
Triakis čtyřstěn
(duální mnohostěn )		Mnohostěn zkrácen 4a net.svg
Síť
3D model zkráceného čtyřstěnu

v geometrie, zkrácený čtyřstěn je Archimédův pevný. Má 4 pravidelné šestihranný tváře, 4 rovnostranný trojúhelník tváře, 12 vrcholů a 18 okrajů (dvou typů). To může být postaveno zkrácení všechny 4 vrcholy pravidelné čtyřstěn ve třetině původní délky hrany.

Je nazýváno hlubší zkrácení, které odstraní čtyřstěn o polovině původní délky hrany z každého vrcholu náprava. Náprava čtyřstěnu produkuje osmistěn.[1]

A zkrácený čtyřstěn je Goldbergův mnohostěn GIII(1,1), obsahující trojúhelníkové a šestihranné plochy.

A zkrácený čtyřstěn lze nazvat a cantic cube, s Coxeterův diagram, CDel uzel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png, který má polovinu vrcholů cantellated krychle (kosočtverec ), CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png. Tato konstrukce má dvě duální polohy a jejich kombinace vytváří jednotu sloučenina dvou zkrácených čtyřstěnů.

Plocha a objem

Oblast A a objem PROTI zkráceného čtyřstěnu o délce hrany A jsou:

Nejhustší balení

Předpokládá se, že nejhustší obal Archimédova zkráceného čtyřstěnu je Φ =207/208, jak uvádí dvě nezávislé skupiny používající Metody Monte Carlo.[2][3] Ačkoli neexistuje žádný matematický důkaz, že se jedná o nejlepší možné balení pro zkrácený čtyřstěn, vysoká blízkost k jednotě a nezávislost nálezů činí nepravděpodobným, že by bylo možné najít ještě hustší obal. Ve skutečnosti, pokud je zkrácení rohů o něco menší než zkrácení Archimedova zkráceného čtyřstěnu, lze tento nový tvar použít k úplnému vyplnění prostoru.[2]

Kartézské souřadnice

Kartézské souřadnice pro 12 vrcholů a zkrácen čtyřstěn se středem v počátku, s délkou hrany √ 8, jsou všechny permutace (± 1, ± 1, ± 3) se sudým počtem znaménků mínus:

  • (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
  • (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
  • (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
  • (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
Zkrácený čtyřstěn v jednotkové krychli.pngTrojúhelníkový zkrácený čtyřstěn.pngUC54-2 zkrácený čtyřstěn.png
Ortogonální projekce ukazující v něm kartézské souřadnice ohraničující rámeček: (±3,±3,±3).Šestihranné plochy zkráceného čtyřstěny lze rozdělit na 6 koplanárních rovnostranných trojúhelníků. 4 nové vrcholy mají kartézské souřadnice:
(−1,−1,−1), (−1,+1,+1),
(+1, -1, +1), (+1, +1, -1). Jako pevné to může představovat 3D pitva takže 4 červené oktaedry a 6 žlutých čtyřstěnů.		Sada permutací vrcholů (± 1, ± 1, ± 3) s lichým počtem znaménka minus tvoří komplementární zkrácený čtyřstěn a v kombinaci tvoří jednotný složený mnohostěn.

Další jednoduchá konstrukce existuje ve 4-prostoru jako buňky zkrácený 16 buněk, s vrcholy jako permutací souřadnic:

(0,0,1,2)

Ortogonální projekce

Ortogonální projekce
Na středOkraj normálníTvář normálníOkrajTvář
Drátový modelMnohostěn zkrácen 4a z červenožlutého max.pngMnohostěn zkrácen 4a z modré max.pngMnohostěn zkrácen 4a z červené max.png Mnohostěn zkrácen 4a ze žlutého max.png
Drátový modelTetrahedron t01 ae.pngTetrahedron t01 af36.png3-simplexní t01.svg3-simplexní t01 A2.svg
DvojíDuální čtyřstěn t01 ae.pngDuální čtyřstěn t01 af36.pngDuální čtyřstěn t01.pngDuální čtyřstěn t01 A2.png
Projektivní
symetrie		[1][1][4][3]

Sférické obklady

Zkrácený čtyřstěn může být také reprezentován jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

Jednotný obklad 332-t12.pngZkrácený čtyřstěnný stereografický projekční trojúhelník.png
trojúhelník -centrovaný		Zkrácený čtyřstěn stereografická projekce hexagon.png
šestiúhelník -centrovaný
Ortografická projekceStereografické projekce

Friauf mnohostěn

Verze se sníženou symetrií zkráceného čtyřstěnu (zkrácený tetragonální disphenoid s objednávkou 8 D2d symetrie) se nazývá Friaufův mnohostěn v krystalech, jako je komplexní kovové slitiny. Tato forma zapadá 5 Friaufových mnohostěnů kolem osy, což dává 72 stupňů vzepětí úhel na podmnožinu 6-6 okrajů.[4] Je pojmenován po J. B. Friauf a jeho dokument z roku 1927 „Krystalová struktura intermetalické sloučeniny MgCu2".[5]

Použití

Obrovské zkrácené čtyřstěny byly použity pro pavilony témat „Man the Explorer“ a „Man the Producer“ v Expo 67. Byly vyrobeny z masivních ocelových nosníků sešroubovaných dohromady v geometrické mřížce. Zkrácené čtyřstěny byly propojeny s příhradovými ocelovými plošinami. Všechny tyto budovy byly zbořeny po konci Expo 67, protože nebyly postaveny tak, aby odolaly krutosti montrealského počasí v průběhu let. Jejich jediné zbytky jsou v archivu města Montrealu, Veřejném archivu Kanady a fotografických sbírkách turistů té doby.[6]

The Tetraminx skládačka má zrezaný čtyřboký tvar. Tato hádanka ukazuje a pitva zkráceného čtyřstěnu na 4 oktaedra a 6 čtyřstěn. Obsahuje 4 centrální roviny otáčení.

Tetraminx.jpg

Zkrácený čtyřboký graf

Zkrácený čtyřboký graf
Laděný čtyřboký graf.png
3násobná symetrie
Vrcholy12[7]
Hrany18
Poloměr3
Průměr3[7]
Obvod3[7]
Automorfismy24 (S4 )[7]
Chromatické číslo3[7]
Chromatický index3[7]
VlastnostiHamiltonian, pravidelný, 3-vrchol připojený, rovinný graf
Tabulka grafů a parametrů

V matematický pole teorie grafů, a zkrácený čtyřboký graf je Archimédův graf, graf vrcholů a hran zkráceného čtyřstěnu, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 12 vrcholy a 18 hran.[8] Je to propojený kubický graf,[9] a připojený kubický tranzitivní graf.[10]

OběžníkOrtografické projekce
Zkrácený čtyřboký graf. Circo.svg3-simplexní t01.svg
Čtyřnásobná symetrie		3-simplexní t01 A2.svg
3násobná symetrie

Související mnohostěny a obklady

Je také součástí posloupnosti kantických mnohostěnů a obkladů s konfigurace vrcholů 3.6.n.6. V tomhle konstrukce wythoff hrany mezi šestiúhelníky představují zdegenerované digony.

*n33 orbifold symetries of cantic tilings: 3.6.6
N33 základní doména t01.pngOrbifold
* n32		SférickéEuklidovskýHyperbolickýParacompact
*332*333*433*533*633...*∞33
Kantická postavaSférická cantic cube.pngJednotný obklad 333-t12.pngH2 obklady 334-6.pngH2 obklady 335-6.pngH2 obklady 336-6.pngH2 obklady 33i-6.png
Vrchol3.6.2.63.6.3.63.6.4.63.6.5.63.6.6.63.6.∞.6

Mutace symetrie

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence uniformy zkrácen mnohostěn s konfigurace vrcholů (3.2n.2n), a [n,3] Skupina coxeterů symetrie.

Příklady

Viz také

Reference

  1. ^ Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy (1997). „Zkrácené podvody: Zkrácení“. theory.org. Citováno 2013-09-02.
  2. ^ A b Damasceno, Pablo F .; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (prosinec 2011). „Krystalické sestavy a nejhustší obaly rodiny zkrácených čtyřstěnů a role směrových entropických sil“. ACS Nano. 6 (2012): 609–614. arXiv:1109.1323. doi:10.1021 / nn204012y. PMID  22098586.
  3. ^ Jiao, Yang; Torquato, Sal (září 2011). "Balíček zkráceného čtyřstěnu, který téměř vyplňuje celý prostor". arXiv:1107.2300 [cond-mat.soft ].
  4. ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/clusters/polyclusters.pdf
  5. ^ Friauf, J. B. (1927). „Krystalová struktura intermetalické sloučeniny MgCu2". J. Am. Chem. Soc. 49: 3107–3114. doi:10.1021 / ja01411a017.
  6. ^ http://expo67.ncf.ca/man_the_producer_p1.html
  7. ^ A b C d E F Atlas grafů, stránka = 172, C105
  8. ^ Atlas grafů, strana 267, zkrácený čtyřboký graf
  9. ^ Atlas grafů, strana 130, spojené kubické grafy, 12 vrcholů, C105
  10. ^ Atlas grafů, strana 161, spojené kubické tranzitivní grafy, 12 vrcholů, Ct11
  • Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Část 3-9)
  • Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press

externí odkazy