Zkrácení (geometrie) - Truncation (geometry)

Zkrácený čtverec je pravidelný osmiúhelník: t {4} = {8} =	Zkrácená kostka t {4,3} nebo	Zkrácený kubický plástev t {4,3,4} nebo

v geometrie, a zkrácení je operace v jakékoli dimenzi, která řeže polytop vrcholy, vytvoření nového aspekt místo každého vrcholu. Termín pochází z Kepler jména pro Archimédovy pevné látky.

Jednotné zkrácení

Obecně jakékoli mnohostěn (nebo mnohostěn) lze také zkrátit se stupněm volnosti, pokud jde o to, jak hluboký je řez, jak je znázorněno na Conwayova mnohostěnová notace operace zkrácení.

Zvláštní druh zkrácení, obvykle implikovaný, je a jednotné zkrácení, operátor zkrácení aplikovaný na a pravidelný mnohostěn (nebo běžný mnohostěn ) který vytváří výsledek jednotný mnohostěn (jednotný polytop ) se stejnými délkami hran. Neexistují žádné stupně volnosti a představuje pevnou geometrii, stejně jako běžný mnohostěn.

Obecně platí, že všechny jednokroužkové jednotné polytopy mají jednotné zkrácení. Například icosidodecahedron, zastoupená jako Schläfliho symboly r {5,3} nebo ${displaystyle {egin {Bmatrix} 5 3end {Bmatrix}}}$ , a Coxeter-Dynkinův diagram nebo má jednotné zkrácení, zkrácený icosidodecahedron, představovaný jako tr {5,3} nebo ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 5 3end {Bmatrix}}}$ , . V Coxeter-Dynkinův diagram, efekt zkrácení je zazvonit na všechny uzly sousedící s uzlem s kruhem.

Rovnoměrné zkrácení provedeno na pravidelné trojúhelníkové obklady Výsledky {3,6} v regulárním šestihranný obklad {6,3}.

Zkrácení polygonů

Zkrácený N-sided polygon bude mít 2n strany (hrany). Pravidelný mnohoúhelník rovnoměrně zkrácený se stane dalším pravidelným mnohoúhelníkem: t {n} je {2n}. Úplné zkrácení (nebo náprava ), r {3}, je další regulární mnohoúhelník dvojí pozice.

Pravidelný mnohoúhelník může být také reprezentován jeho Coxeter-Dynkinův diagram, a jeho jednotné zkrácení a jeho úplné zkrácení . Graf představuje Skupina coxeterů Já₂(n), přičemž každý uzel představuje zrcadlo a hrana představuje úhel π /n mezi zrcadly a kolem jednoho nebo obou zrcadel je uveden kruh, který ukazuje, která jsou aktivní.

Parametrické zkrácení trojúhelníku
{3}		t {3} = {6}		r {3} = {3}

Hvězdné polygony lze také zkrátit. Zkrácený pentagram {5/2} bude vypadat jako Pentagon, ale ve skutečnosti je dvojitě krytý (zdegenerovaný) desetiúhelník ({10/2}) se dvěma sadami překrývajících se vrcholů a hran. Zkrácený skvělý heptagram {7/3} dává tetradecagram {14/3}.

Rovnoměrné zkrácení v pravidelných mnohostěnech a obkladech a vyšších

Zkrácení kostky po nápravě

Když se použije „zkrácení“ pro platonické pevné látky nebo pravidelné obklady, je obvykle implikováno „uniformní zkrácení“, což znamená zkrácení, dokud se z původních ploch nestanou pravidelné polygony s dvakrát větším počtem stran než v původní podobě.

Tato sekvence ukazuje příklad zkrácení krychle pomocí čtyř kroků kontinuálního procesu zkrácení mezi úplným krychle a a opraveno krychle. Konečný mnohostěn je a cuboctahedron. Prostřední obraz je uniforma zkrácená kostka; to je reprezentováno a Schläfliho symbol t{p,q,...}.

A bitruncation je hlubší zkrácení, které odstraní všechny původní hrany, ale ponechá vnitřní část původních ploch. Příklad: a zkrácený osmistěn je bitrunová krychle: t {3,4} = 2t {4,3}.

Kompletní bitruncation, nazvaný a směrování, redukuje původní tváře na body. Pro mnohostěn se to stává duální mnohostěn. Příklad: an osmistěn je birectifikace a krychle: {3,4} = 2r {4,3}.

Další typ zkrácení, cantellation, ořízne hrany a vrcholy, odstraní původní hrany, nahradí je obdélníky, odstraní původní vrcholy a nahradí je plochami duálních původních pravidelných mnohostěnů nebo obkladů.

Vyšší dimenzionální polytopy mají vyšší zkrácení. Runcination ořezává plochy, hrany a vrcholy. V 5 rozměrech, sterilizace ořezává buňky, plochy a hrany.

Zkrácení hrany

Zkrácení okrajů krychle, vytvoření a zkosená kostka

Zkrácení hrany je zkosení, nebo zkosení pro mnohostěn, podobný cantellaci, ale zachovávající původní vrcholy a nahrazující hrany šestiúhelníky. Ve 4-polytopech nahrazuje zkrácení okrajů hrany protáhlý bipyramid buňky.

Střídání nebo částečné zkrácení

Jednotné střídání a zkrácený cuboctahedron dává nejednotný urážka kostka.

Střídání nebo částečné zkrácení odstraní pouze některé z původních vrcholů.

v částečné zkrácenínebo střídání, polovina vrcholů a spojovacích hran je zcela odstraněna. Tato operace se týká pouze polytopů s rovnoměrnými plochami. Tváře jsou zmenšeny na polovinu tolik stran a čtvercové tváře degenerují do hran. Například čtyřstěn je střídaná kostka, h {4,3}.

Snížení je obecnější termín používaný v odkazu na Johnson pevné látky pro odstranění jednoho nebo více vrcholů, hran nebo ploch polytopu, aniž by došlo k narušení ostatních vrcholů. Například tridiminated icosahedron začíná pravidelným dvacetistěnu s odstraněnými 3 vrcholy.

Jiné částečné zkrácení jsou založeny na symetrii; například čtyřstěnně zmenšený dodekahedron.

Zobecněné zkrácení

Druhy zkrácení zobrazené na okraj izolovaný od většího mnohoúhelníku nebo mnohostěn s červenými a modrými vrcholy. Hrana po úplném zkrácení změní směr.

Proces lineárního zkrácení lze zobecnit povolením parametrických zkrácení, které jsou záporné nebo které přesahují střed okrajů, což způsobuje samo-protínající se mnohostěn hvězd a může se parametricky vztahovat k pravidelné hvězdné polygony a jednotná hvězdná mnohostěna.

Mělké zkrácení - Hrany jsou zmenšeny, tváře jsou zkráceny, aby měly dvakrát tolik stran, zatímco nové fazety jsou vytvořeny, soustředěné na staré vrcholy.
Jednotné zkrácení jsou zvláštním případem se stejnou délkou hrany. The zkrácená kostka, t {4,3}, přičemž čtvercové plochy se stávají osmiúhelníky, s novými trojúhelníkovými plochami jsou vrcholy.
Antitruncation Zpět mělké zkrácení, zkráceny směrem ven od původních okrajů, spíše než dovnitř. To má za následek mnohostěn, který vypadá jako originál, ale má části duálu visícího z jeho rohů, namísto dvojitého řezání do vlastních rohů.
Úplné zkrácení nebo náprava - Limit mělkého zkrácení, kdy jsou hrany redukovány na body. The cuboctahedron, r {4,3}, je příklad.
Hypertruncation Forma zkrácení, která prochází opravou, invertuje původní hrany a způsobí, že se objeví křižovatky.
Quasitruncation Forma zkrácení, která jde ještě dále než hypertrunkace, kde se obrácená hrana stává delší než původní hrana. Lze jej vygenerovat z původního mnohostěnu zpracováním všech ploch jako retrográdních, tj. Pohybem dozadu kolem vrcholu. Například quasitruncating the náměstí dává pravidelný octagram (t {4,3} = {8/3}), a quasitruncating the krychle dává uniformu hvězdicovitý zkrácený šestistěn, t {4 / 3,3}.

Zkrácení na náměstí
Typy zkrácení na čtverci, {4}, zobrazující červené původní okraje a nové zkrácené okraje v azurové barvě. Jednotný komolý čtverec je pravidelný osmiúhelník, t {4} = {8}. Z úplného zkráceného čtverce se stane nový čtverec s úhlopříčnou orientací. Vrcholy jsou řazeny kolem proti směru hodinových ručiček, 1-4, se zkrácenými páry vrcholů jako A a b.

Zkrácení krychle
⇨ t_AC	Krychle {4,3} C	⇨ tC	Zkrácení t {4,3} tC	⇨ tC	Úplné zkrácení r {4,3} AC	⇩ t_hC
Antitruncation t_AC						Hypertruncation t_hC
⇧ t_AC	Dokončete quasitruncation A_qC	⇦	Quasitruncation t {4 / 3,3} t_qC	⇦ t_qC	Kompletní hypertrunkace A_hC	⇦ t_hC

Viz také

Reference

Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8 (str. 145–154 Kapitola 8: Zkrácení)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Zkrácení“. MathWorld.
Olshevsky, Georgi. „Zkrácení“. Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
Názvy mnohostěnů, zkrácení

Operátoři mnohostěnů
[
proti
t
E
]
Semínko	Zkrácení	Oprava	Bitruncation	Dvojí	Rozšíření	Omnitruncation	Střídání


t₀{p, q} {p, q}	t₀₁{p, q} t {p, q}	t₁{p, q} r {p, q}	t₁₂{p, q} 2t {p, q}	t₂{p, q} 2r {p, q}	t₀₂{p, q} rr {p, q}	t₀₁₂{p, q} tr {p, q}	ht₀{p, q} h {q, p}	ht₁₂{p, q} s {q, p}	ht₀₁₂{p, q} sr {p, q}