Dihedrální symetrie ve třech rozměrech - Dihedral symmetry in three dimensions - Wikipedia

Skupiny bodů ve třech dimenzích
Skupina sférické symetrie cs.png
Involuční symetrie
Cs, (*)
[ ] = CDel uzel c2.png		Skupina sférické symetrie c3v.png
Cyklická symetrie
Cnv, (* nn)
[n] = CDel uzel c1.pngCDel n.pngCDel uzel c1.png		Skupina sférické symetrie d3h.png
Dihedrální symetrie
Dnh, (* n22)
[n, 2] = CDel uzel c1.pngCDel n.pngCDel uzel c1.pngCDel 2.pngCDel uzel c1.png
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32)
Skupina sférické symetrie td.png
Čtyřboká symetrie
Td, (*332)
[3,3] = CDel uzel c1.pngCDel 3.pngCDel uzel c1.pngCDel 3.pngCDel uzel c1.png		Skupina sférické symetrie oh.png
Oktaedrická symetrie
Óh, (*432)
[4,3] = CDel uzel c2.pngCDel 4.pngCDel uzel c1.pngCDel 3.pngCDel uzel c1.png		Skupina sférické symetrie ih.png
Ikosahedrální symetrie
Jáh, (*532)
[5,3] = CDel uzel c2.pngCDel 5.pngCDel uzel c2.pngCDel 3.pngCDel uzel c2.png

v geometrie, dihedrická symetrie ve třech rozměrech je jednou ze tří nekonečných sekvencí bodové skupiny ve třech rozměrech které mají skupina symetrie že jako abstraktní skupina je a dihedrální skupina Dihn ( n ≥ 2 ).

Typy

Existují 3 typy vzepětí symetrie ve třech rozměrech, z nichž každý je uveden níže ve 3 notacích: Schönfliesova notace, Coxeterova notace, a orbifold notace.

Chirál
  • Dn, [n,2]+, (22n) objednávky 2n – dihedrální symetrie nebo para-n-úhlová skupina (abstraktní skupina Dihn )
Achirál
  • Dnh, [n,2], (*22n) objednávky 4n – hranolová symetrie nebo úplná ortogonální skupina (abstraktní skupina Dihn × Z2)
  • Dnd (nebo Dnv), [2n,2+], (2*n) objednávky 4n – antiprismatická symetrie nebo plná gyroskopická skupina (abstraktní skupina Dih2n)

Za dané n, všichni tři mají n-složit rotační symetrie kolem jedné osy (otáčení o úhel 360 ° /n nemění objekt), a 2krát kolem kolmé osy, tedy asi n z těch. Pro n = ∞ odpovídají třem vlysové skupiny. Schönfliesova notace se používá s Coxeterova notace v závorkách a orbifold notace v závorkách. Termín horizontální (h) se používá ve vztahu k vertikální ose otáčení.

Ve 2D skupina symetrie Dn zahrnuje odrazy v řádcích. Když je 2D rovina vložena vodorovně do 3D prostoru, lze na takový odraz pohlížet jako na omezení této roviny odrazu ve svislé rovině, nebo jako omezení na rovinu rotace kolem čáry odrazu o 180 °. Ve 3D se rozlišují dvě operace: skupina Dn obsahuje pouze rotace, nikoli odrazy. Druhá skupina je pyramidová symetrie Cnv stejného řádu.

S reflexní symetrie vzhledem k rovině kolmé k n- skládací osa rotace, kterou máme Dnh [n], (* 22n).

Dnd (nebo Dnv), [2n,2+], (2*n) má svislé roviny zrcadla mezi vodorovnými osami otáčení, nikoli skrz ně. Výsledkem je vertikální osa 2n-složit rotační odraz osa.

Dnh je skupina symetrie pro regulární n-stranný hranoly a také pro normální n-sided bipyramid. Dnd je skupina symetrie pro regulární n-stranný antiprism, a také pro normální n-sided lichoběžník. Dn je skupina symetrie částečně otočeného hranolu.

n = 1 není zahrnuto, protože tři symetrie jsou stejné jako ostatní:

  • D1 a C2: skupina objednávky 2 s jediným otočením o 180 °
  • D1h a C2proti: skupina řádu 4 s odrazem v rovině a rotací o 180 ° přímkou ​​v této rovině
  • D1d a C2h: skupina řádu 4 s odrazem v rovině a rotací o 180 ° přímkou ​​kolmou na tuto rovinu

Pro n = 2 neexistuje jedna hlavní osa a dvě další osy, ale existují tři ekvivalentní osy.

  • D2 [2,2]+, (222) řádu 4 je jedním ze tří typů skupin symetrie s Kleinova čtyřčlenná skupina jako abstraktní skupina. Má tři kolmé 2násobné osy otáčení. Je to skupina symetrie a kvádr se S napsaným na dvou protilehlých tvářích, ve stejné orientaci.
  • D2h, [2,2], (* 222) řádu 8 je skupina symetrie kvádru
  • D2d, [4,2+], (2 * 2) řádu 8 je skupina symetrie např .:
    • čtvercový kvádr s úhlopříčkou nakreslenou na jedné čtvercové ploše a kolmou úhlopříčkou na druhé
    • pravidelný čtyřstěn zmenšen ve směru přímky spojující středy dvou protilehlých hran (D2d je podskupina Td, změnou měřítka zmenšíme symetrii).

Podskupiny

Objednejte si 2 podhrompovou symetrii podskupiny tree.png
D2h, [2,2], (*222)		Objednejte 4 podhrompovou podskupinu symetrie strom.png
D4h, [4,2], (*224)
Viz také: Cyklická symetrie ve třech rozměrech

Pro Dnh, [n, 2], (* 22n), řád 4n

  • Cnh, [č+, 2], (n *), objednávka 2n
  • Cnv, [n, 1], (* nn), objednávka 2n
  • Dn, [n, 2]+, (22n), objednávka 2n

Pro Dnd, [2n, 2+], (2 * n), objednávka 4n

  • S2n, [2n+,2+], (n ×), objednávka 2n
  • Cnv, [č+, 2], (n *), objednávka 2n
  • Dn, [n, 2]+, (22n), objednávka 2n

Dnd je také podskupinou D2nh.

Příklady

D2h, [2,2], (*222)
Objednávka 8		D2d, [4,2+], (2*2)
Objednávka 8		D3h, [3,2], (*223)
Objednávka 12
Basketball.png
Basketball cesty švu		Baseball (plodina) .png
baseball cesty švu
(ignorování směrovosti švu)		BeachBall.jpg
plážový míč
(ignorování barev)

Dnh, [n], (*22n):

Geometricprisms.gif
hranoly

D5h, [5], (*225):

Pentagrammický hranol.png
Pentagrammický hranol		Pentagrammatický antiprism.png
Pentagrammický antiprism

D4d, [8,2+], (2*4):

Snub square antiprism.png
Snub square antiprism

D5d, [10,2+], (2*5):

Antiprism5.jpg
Pětiúhelníkový antiprism		Pentagrammatický zkřížený antiprism.png
Pentagrammatický zkřížený antiprism		Trapezohedron5.jpg
pětiúhelníkový lichoběžník

D17d, [34,2+], (2*17):

Antiprism17.jpg
Heptadecagonal antiprism

Viz také

Reference

  • Coxeter H. S. M. a Moser, W. O. J. (1980). Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  • N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.5 Skupiny sférických coxeterů
  • Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), „Orbifoldova notace pro dvourozměrné skupiny“, Strukturální chemie, Springer Nizozemsko, 13 (3): 247–257, doi:10.1023 / A: 1015851621002

externí odkazy