Rhombicosidodecahedron - Rhombicosidodecahedron

Rhombicosidodecahedral graf
	Schlegelův diagram vycentrovaný na Pentagon
Vrcholy	60
Hrany	120
Automorfismy	120
Vlastnosti	Kvartový graf, Hamiltonian, pravidelný
	Tabulka grafů a parametrů

Rhombicosidodecahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 62, E = 120, PROTI = 60 (χ = 2)
Tváře po stranách	20{3}+30{4}+12{5}
Conwayova notace	eD nebo aaD
Schläfliho symboly	rr {5,3} nebo ${ displaystyle r { begin {Bmatrix} 5 3 end {Bmatrix}}}$
Schläfliho symboly	t_0,2{5,3}
Wythoffův symbol	3 5 \| 2
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Já_h, H₃, [5,3], (* 532), objednávka 120
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532), objednávka 60
Dihedrální úhel	3-4: 159°05′41″ (159.09°) 4-5: 148°16′57″ (148.28°)
Reference	U₂₇, C₃₀, Ž₁₄
Vlastnosti	Semiregular konvexní
Barevné tváře	3.4.5.4 (Vrcholová postava )
Deltoidal hexecontahedron (duální mnohostěn )	Síť

v geometrie, rhombicosidodecahedron, je Archimédův pevný, jeden ze třinácti konvexní isogonal neprismatické pevné látky konstruované ze dvou nebo více typů pravidelný mnohoúhelník tváře.

Má 20 pravidelných trojúhelníkový tváře, 30 náměstí tváře, 12 pravidelných pětiúhelníkový tváře, 60 vrcholy a 120 hrany.

Jména

Johannes Kepler v Harmonices Mundi (1618) pojmenoval tento mnohostěn a rhombicosidodecahedron, což je zkratka pro zkrácený icosidodecahedral kosočtverec, s icosidodecahedral rhombus být jeho jménem pro kosočtverečný triacontahedron.^[1] Existují různé zkrácení kosočtverečného triacontahedronu do a topologické rhombicosidodecahedron: prominentně jeho náprava (vlevo), ten, který vytváří jednotné těleso (uprostřed), a oprava dvojího icosidodecahedron (vpravo), což je jádro dvojitá sloučenina.

Lze jej také nazvat rozšířený nebo cantellated dodecahedron nebo icosahedron, ze zkrácení operací na obou jednotný mnohostěn.

Geometrické vztahy

jestli ty rozšířit an dvacetistěnu pohybem tváří od původ správné množství, aniž byste změnili orientaci nebo velikost obličejů, a udělejte to samé dvojí dvanáctistěn a opravte hranaté díry ve výsledku, získáte kosočtverečný kosočtverec. Proto má stejný počet trojúhelníků jako icosahedron a stejný počet pětiúhelníků jako dodecahedron, se čtvercem pro každou hranu obou.

Případně pokud rozšířit každou z pěti kostek posunutím tváří od původ správné množství a otočením každého z pěti 72 ° tak, aby byly navzájem ekvidisantní, aniž by se změnila orientace nebo velikost obličejů, a ve výsledku opravte pětiúhelníkové a trojúhelníkové otvory, získáte kosočtverečný kosočtverec. Proto má stejný počet trojúhelníků jako icosahedron a stejný počet pětiúhelníků jako dodecahedron, se čtvercem pro každou hranu obou.

Kosočtverec sdílí vrcholné uspořádání s malý hvězdicový zkrácený dodekahedron a jednotnými sloučeninami šesti nebo dvanácti pentagrammické hranoly.

The Zometool sady pro výrobu geodetické kopule a další mnohostěny používají jako spojky kuličky s drážkami. Míče jsou „rozšířené“ rhombicosidodecahedra, přičemž čtverce jsou nahrazeny obdélníky. Expanze se volí tak, aby výsledné obdélníky byly zlaté obdélníky.

Dvanáct z 92 Johnson pevné látky jsou odvozeny z kosočtverce, čtyři z nich rotací jednoho nebo více pětiúhelníkové kopule: kroužit, parabigyrát, metabigyrate, a trigyrate rhombicosidodecahedron. Osm dalších může být zkonstruováno odstraněním až tří kopulí, někdy také otáčením jedné nebo více dalších kopulí.

Kartézské souřadnice

Kartézské souřadnice pro vrcholy kosočtverečného kosočtverce s délkou hrany 2 se středem v počátku jsou všechny dokonce i obměny z:^[2]

(±1, ±1, ±φ³),

(±φ², ±φ, ±2φ),

(±(2+φ), 0, ±φ²),

kde φ = 1 + √5/2 je Zlatý řez. Proto je obvod tohoto kosočtverce společná vzdálenost těchto bodů od počátku, jmenovitě √φ⁶+2 = √8φ + 7 pro délku hrany 2. U jednotkové délky hrany musí být R na polovinu, což znamená

R = √8φ+7/2 = √11+4√5/2 ≈ 2.233.

Ortogonální projekce

Ortogonální projekce v Geometria (1543) od Augustin Hirschvogel

The rhombicosidodecahedron má šest speciálních ortogonální projekce, na střed, na vrcholu, na dvou typech hran a třech typech ploch: trojúhelníky, čtverce a pětiúhelníky. Poslední dva odpovídají A₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce
Na střed	Vrchol	Okraj 3-4	Okraj 5-4	Tvář Náměstí	Tvář Trojúhelník	Tvář Pentagon
Pevný
Drátový model
Projektivní symetrie	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Dvojí obraz

Sférické obklady

Kosočtverec lze také reprezentovat jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

Ortografická projekce	Stereografické projekce
	Pentagon -centrovaný	Trojúhelník -centrovaný	Náměstí -centrovaný

Související mnohostěn

Expanze buď a dvanáctistěn nebo dvacetistěnu vytváří kosočtverec.

Verze se zlatými obdélníky se používá jako vrcholný prvek stavebnice Zometool.^[3]

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Mutace symetrie

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti cantellated mnohostěn s vrcholem (3.4.n.4), který pokračuje jako obklady hyperbolická rovina. Tyto vrchol-tranzitivní čísla mají (* n32) reflexní symetrie.

*n32 mutace symetrie rozšířených obkladů: 3.4.n.4
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paracomp.
Symetrie *n32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postava
Konfigurace	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Johnson pevné látky

Existuje 13 souvisejících Johnson pevné látky, 5 zmenšením a 8 včetně gyací:

Zmenšeno
J5	76	80	81	83

Gyrát a / nebo zmenšený
72	73	74	75
77	78	79	82

Uspořádání vrcholů

Kosočtverec sdílí jeho uspořádání vrcholů se třemi nekonvexní uniformní mnohostěn: malý zkrácený dodekedron, malý dodecicosidodecahedron (mající společné trojúhelníkové a pětiúhelníkové plochy) a malý kosočtverec (společné čtvercové plochy).

Rovněž sdílí své vrcholné uspořádání s jednotné sloučeniny z šest nebo dvanáct pentagramových hranolů.

Rhombicosidodecahedron	Malý dodecicosidodecahedron	Malý kosočtverec
Malý hvězdicový zkrácený dodekahedron	Sloučenina šesti pentagrammatických hranolů	Sloučenina dvanácti pentagrammatických hranolů

Rhombicosidodecahedral graf

V matematický pole teorie grafů, a kosočtverečný graf je graf vrcholů a hran kosočtverec, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 60 vrcholy a 120 hran, a je a kvartový graf Archimédův graf.^[4]

Náměstí na střed Schlegelův diagram

Viz také

Zkrácený kosočtverec

Poznámky

^ Harmonie světa Johannes Kepler, přeloženo do angličtiny s úvodem a poznámkami od E. J. Aiton, A. M. Duncan„J. V. Field, 1997, ISBN 0-87169-209-0 (strana 123)
^ Weisstein, Eric W. "Ikosahedrální skupina". MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. "Zome". MathWorld.
^ Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press, str. 269

Reference

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Cromwell, P. (1997). Mnohostěn. Spojené království: Cambridge. str. 79–86 Archimédovy pevné látky. ISBN 0-521-55432-2.
Teorie velkého třesku Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution: představuje tuto pevnou látku jako odpověď na improvizovaný vědecký kvíz, který mají hlavní čtyři postavy v bytě Leonarda a Sheldona, a je také ilustrován v Chuck Lorre je Vanity Card # 461 na konci této epizody.