Icosidodecahedron - Icosidodecahedron - Wikipedia

Icosidodecahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 32, E = 60, PROTI = 30 (χ = 2)
Tváře po stranách	20{3}+12{5}
Conwayova notace	inzerát
Schläfliho symboly	r {5,3}
	t1{5,3}
Wythoffův symbol	2 | 3 5
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Jáh, H3, [5,3], (* 532), objednávka 120
Rotační skupina	Já, [5,3]+, (532), objednávka 60
Dihedrální úhel	142.62° ${ displaystyle cos ^ {- 1} left (- { sqrt {{ frac {1} {15}} left (5 + 2 { sqrt {5}} right)}} right)}$
Reference	U24, C28, Ž12
Vlastnosti	Semiregular konvexní quasiregular
Barevné tváře	3.5.3.5 (Vrcholová postava )
Kosočtverečný triacontahedron (duální mnohostěn )	Síť

3D model icosidodecahedron

v geometrie, an icosidodecahedron je mnohostěn s dvaceti (icosi) trojúhelníkovými plochami a dvanácti (dodeca) pětiúhelníkovými plochami. Icosidodecahedron má 30 identických vrcholů, se dvěma trojúhelníky a dvěma pětiúhelníky, které se setkávají u každého, a 60 stejných okrajů, z nichž každý odděluje trojúhelník od pětiúhelníku. Jako takový je jedním z Archimédovy pevné látky a konkrétněji a kvaziregulární mnohostěn.

Geometrie

Icosidodecahedron má icosahedral symetrii, a jeho první stellation je sloučenina a dvanáctistěn a jeho dvojí dvacetistěnu, s vrcholy icosidodecahedron umístěné ve středech okrajů obou.

Své duální mnohostěn je kosočtverečný triacontahedron. Icosidodecahedron lze rozdělit podél kterékoli ze šesti rovin a vytvořit dvojici pětiúhelníkové rotundy, které patří mezi Johnson pevné látky.

Icosidodecahedron lze považovat za pětiboká gyrobirotunda, jako kombinace dvou rotundae (porovnej pětiboká orthobirotunda, jeden z Johnson pevné látky ). V této formě je jeho symetrie D_{5 d}, [10,2⁺], (2 * 5), objednávka 20.

The drátěný model z icosidodecahedron se skládá ze šesti ploché pravidelné desítky, setkání ve dvojicích na každém z 30 vrcholů.

Icosidodecahedron má 6 centrálních desetiúhelníky. Promítnuté do koule definují 6 velké kruhy. Buckminster Fuller použil těchto 6 velkých kruhů spolu s 15 a 10 dalšími ve dvou dalších mnohostěnech k definování svého 31 velkých kruhů sférického dvacetistěnu.

Kartézské souřadnice

Pohodlné Kartézské souřadnice pro vrcholy icosidodecahedron s jednotkovými hranami jsou dány dokonce i obměny z:^[1]

• (0, 0, ±φ)
• (±1/2, ±φ/2, ±φ²/2)

kde φ je Zlatý řez, 1 + √5/2.

Ortogonální projekce

Icosidodecahedron má čtyři speciální ortogonální projekce, se středem na vrcholu, hraně, trojúhelníkové ploše a pětiúhelníkové ploše. Poslední dva odpovídají A₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce

Na střed	Vrchol	Okraj	Tvář Trojúhelník	Tvář Pentagon
Pevný
Drátový model
Projektivní symetrie	[2]	[2]	[6]	[10]
Dvojí

Plocha a objem

Plocha povrchu A a objem PROTI icosidodecahedron o délce hrany A jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} A & = left (5 { sqrt {3}} + 3 { sqrt {5}} { sqrt {3 + 4 varphi}} right) a ^ {2} && = left (5 { sqrt {3}} + 3 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} right) a ^ {2} && přibližně 29,3059828a ^ {2} V & = { frac {14 + 17 varphi} {3}} a ^ {3} && = { frac {45 + 17 { sqrt {5}}} {6}} a ^ {3} && cca 13.8355259a ^ {3}. End {zarovnáno}}}$

Sférické obklady

60 hran tvoří 6 desetiúhelníky souhlasí s velké kruhy ve sférickém obkladu.

Icosidodecahedron může být také reprezentován jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

	Pentagon -centrovaný	Trojúhelník -centrovaný
Ortografická projekce	Stereografické projekce

Ortografické projekce
2násobné, 3násobné a 5násobné osy symetrie

Související polytopy

Icosidodecahedron je a opraveno dvanáctistěn a také opravený dvacetistěnu, existující jako úplné zkrácení mezi těmito běžnými tělesy.

Icosidodecahedron obsahuje 12 pětiúhelníků dvanáctistěn a 20 trojúhelníků dvacetistěnu:

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Icosidodecahedron existuje v posloupnosti symetrií kvaziregulárního mnohostěnu a tilings s konfigurace vrcholů (3.n)², postupující z naklonění koule do euklidovské roviny a do hyperbolické roviny. S orbifold notace symetrie *n32 všechny tyto obklady jsou konstrukce wythoff v rámci základní doména symetrie, s body generátoru v pravém úhlu rohu domény.^[2][3]

*n32 oboustranných symetrií kvaziregulárních naklonění: (3.n)2
Konstrukce	Sférické			Euklidovský	Hyperbolický
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Quasiregular čísla
Vrchol	(3.3)2	(3.4)2	(3.5)2	(3.6)2	(3.7)2	(3.8)2	(3.∞)2

*5n2 mutace symetrie quasiregular tilings: (5.n)2 proti t E
Symetrie *5n2 [n, 5]	Sférické	Hyperbolický					Paracompact	Nekompaktní
	*352 [3,5]	*452 [4,5]	*552 [5,5]	*652 [6,5]	*752 [7,5]	*852 [8,5]...	*∞52 [∞,5]	[ni, 5]
Čísla
Konfigurace	(5.3)2	(5.4)2	(5.5)2	(5.6)2	(5.7)2	(5.8)2	(5.∞)2	(5.ni)2
Kosočtverečný čísla
Konfigurace	V (5,3)2	V (5,4)2	V (5,5)2	V (5,6)2	V (5,7)2	V (5,8)2	V (5.∞)2	V (5.∞)2

Pitva

Icosidodecahedron souvisí s Johnson solidní volal a pětiboká orthobirotunda vytvořil (a) two pětiúhelníková rotunda připojeny jako zrcadlové obrazy. The icosidodecahedron lze tedy nazvat a pětiboká gyrobirotunda s kroucením mezi horní a dolní polovinou.

(Pitva)

Icosidodecahedron (pětiboká gyrobirotunda) Pětiboká orthobirotunda Pětiúhelníková rotunda

Související mnohostěn

Icosidodecahedron ve zkrácené krychli

The zkrácená kostka lze proměnit v icosidodecahedron rozdělením osmiúhelníků na dva pětiúhelníky a dva trojúhelníky. Má to pyritohedrální symetrie.

Osm jednotná hvězdná mnohostěna sdílet stejné uspořádání vrcholů. Z nich dva také sdílejí stejné uspořádání hran: malý icosihemidodecahedron (společné trojúhelníkové plochy) a malý dodekahemidodekedr (společné pětiúhelníkové tváře). Uspořádání vrcholů je také sdíleno s sloučeniny z pět osmistěn a ze dne pět tetrahemihexahedra.

Icosidodecahedron	Malý icosihemidodecahedron	Malý dodekahemidodekedr
Velký icosidodecahedron	Velký dodekahemidodekedr	Velký icosihemidodecahedron
Dodecadodecahedron	Malý dodecahemicosahedron	Velký dodecahemicosahedron
Sloučenina pěti oktaedrů	Sloučenina pěti tetrahemihexahedra

Související polychora

Ve čtyřrozměrné geometrii icosidodecahedron se objeví v pravidelný 600 buněk jako rovníkový řez, který patří k prvnímu průchodu 600 buněk 600 prostorem 3D prostorem. Jinými slovy: 30 vrcholů 600článku, které leží na jeho ohraničených obloukových vzdálenostech 90 stupňů hypersféra z dvojice protilehlých vrcholů, jsou vrcholy icosidodecahedron. Drátěný rám 600článkové sestává ze 72 plochých pravidelných desítek. Šest z nich jsou rovníkové dekagony k dvojici protilehlých vrcholů. Je to přesně šest dekagonů, které tvoří drátěnou postavu icosidodecahedronu.

Icosidodecahedral graf

Icosidodecahedral graf
Pětinásobná symetrie Schlegelův diagram
Vrcholy	30
Hrany	60
Automorfismy	120
Vlastnosti	Kvartový graf, Hamiltonian, pravidelný
Tabulka grafů a parametrů

V matematický pole teorie grafů, a icosidodecahedral graf je graf vrcholů a hran z icosidodecahedron, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 30 vrcholy a 60 hran, a je a kvartový graf Archimédův graf.^[4]

Maličkosti

v Star Trek Universe, vulkánská logická hra Kal-Toh má za cíl vytvořit holografické icosidodecahedron.

v Špatné hvězdy, kniha jedné ze sérií Axiom od Tima Pratta, Elena má na obou stranách stroj na icosidodekedron. [Brožovaný výtisk str. 336]

The Hoberman koule je icosadodecahedron.

Viz také

• Cuboctahedron
• Velký zkrácený icosidodecahedron
• Dvacetistěnu
• Rhombicosidodecahedron
• Zkrácený icosidodecahedron

Poznámky

Reference

• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Část 3-9)
• Cromwell, P. (1997). Mnohostěn. Spojené království: Cambridge. str. 79–86 Archimédovy pevné látky. ISBN  0-521-55432-2.

externí odkazy

• Eric W. Weisstein, Icosidodecahedron (Archimédův pevný ) na MathWorld.
• Klitzing, Richarde. "3D konvexní uniformní mnohostěn o3x5o - id".
• Upravitelná tisknutelná síť icosidodecahedron s interaktivním 3D zobrazením
• Jednotná mnohostěna
• Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů