Střídání (geometrie) - Alternation (geometry)

Střídání a krychle vytváří čtyřstěn.

Střídání a zkrácený cuboctahedron vytváří nejednotný urážka kostka.

V geometrii, an střídání nebo částečné zkrácení, je operace na a polygon, mnohostěn, obklady nebo vyšší dimenzionální polytop který odstraní alternativní vrcholy.^[1]

Coxeter etikety an střídání předponou h, stojící za hemi nebo polovina. Protože alternace zmenšuje všechny polygonové plochy na polovinu stran, lze ji použít pouze na polytopy se všemi sudými plochami. Ze střídaného čtvercového obličeje se stává a digon, a je zdegenerovaný, je obvykle redukován na jeden okraj.

Obecněji jakékoli vrcholová uniforma mnohostěn nebo obklady s a konfigurace vrcholů skládající se ze všech sudých prvků může být střídal. Například střídání vrcholné figury s 2a.2b.2c je a.3.b.3.c.3 kde tři je počet prvků v tomto vrcholném obrázku. Zvláštním případem jsou hranaté tváře, jejichž pořadí se dělí na polovinu na zvrhlé digony. Například kostka 4.4.4 se střídá jako 2.3.2.3.2.3 což je sníženo na 3.3.3, což je čtyřstěn a všech 6 hran čtyřstěnů lze také považovat za zdegenerované tváře původní krychle.

Snub

A urážet (v Coxeterova terminologie ) lze považovat za střídání a zkrácen pravidelné nebo zkrácené quasiregular mnohostěn. Obecně platí, že mnohostěn lze potlačit, pokud má jeho zkrácení pouze rovnoměrné plochy. Všechno zkrácen opraveno mnohostěn lze potlačit, a to nejen z běžných mnohostěnů.

The potlačit čtvercový antiprism je příkladem obecného útržku a může být reprezentován ss {2,4} s čtvercový antiprism, s {2,4}.

Střídavé polytopy

Tento střídání operace se vztahuje i na vícerozměrné polytopy a voštiny, ale obecně nebudou výsledky této operace jednotné. Prázdniny vytvořené odstraněnými vrcholy obecně nevytvoří jednotné fazety a obvykle není dostatek stupňů volnosti, aby bylo možné odpovídající změnu měřítka nových hran. Výjimky však existují, například odvození potlačit 24 buněk z zkrácený 24 buněk.

Příklady:

• Voštiny
  1. Střídavě kubický plástev je čtyřstěnný-oktaedrický plástev.
  2. Střídavě šestihranný hranolový plástev je střídaný kubický plástev.
• 4-mnohostěn
  1. Střídavě zkrácený 24 buněk je potlačit 24 buněk.
• 4-voštiny:
  1. Střídavě zkrácený 24článkový plástev je potlačit 24článkový plástev.
• A hyperkrychle lze vždy střídat do uniformy demihypercube.
  1. Krychle → Čtyřstěn (pravidelný)
     • →
  2. Tesseract (8článková ) → 16 buněk (pravidelný)
     • →
  3. Penteract → demipenteract (semiregular)
  4. Hexeract → demihexeract (jednotný)
  5. ...

Pozměněná mnohostěna

Coxeter také použil operátora A, který obsahuje obě poloviny, takže zachovává původní symetrii. Pro rovnoměrné pravidelné mnohostěny představuje {2p, q} a složený mnohostěn se dvěma protilehlými kopiemi h {2p, q}. Pro liché strany, větší než 3, se pravidelný mnohostěn a {p, q} stává a hvězdný mnohostěn.

Norman Johnson rozšířil používání změněno operátor A{p, q}, b{p, q} pro smíšené, a C{p, q} pro převedeny, tak jako , , a resp.

Sloučenina mnohostěn známý jako hvězdný osmistěn může být reprezentován {4,3} (změněno krychle ), a , .

Hvězdný mnohostěn známý jako malý ditrigonal icosidodecahedron může být reprezentován {5,3} (změněno dvanáctistěn ), a , . Zde byly všechny pětiúhelníky střídány do pětiúhelníků a byly vloženy trojúhelníky, aby se zachytily výsledné volné hrany.

Hvězdný mnohostěn známý jako velký ditrigonal icosidodecahedron může být reprezentován znakem {5 / 2,3} (změněno velký hvězdný dvanáctistěn ), a , . Zde byly všechny pentagramy střídány zpět do pětiúhelníků a byly vloženy trojúhelníky, aby se zachytily výsledné volné hrany.

Alternativní zkrácení

Podobná operace může zkrátit alternativní vrcholy, spíše než jen jejich odstraňování. Níže je sada mnohostěnů, které lze generovat z Katalánština pevné látky. Mají dva typy vrcholů, které lze střídavě zkrátit. Zkrácením vrcholů „vyššího řádu“ a obou typů vrcholů vznikají tyto formy:

název	Originál	Střídavě zkrácení	Zkrácení	Zkrácené jméno
Krychle Dvojí rektifikovaný čtyřstěn				Alternativní zkrácená kostka
Kosočtverečný dvanáctistěn Dvojník cuboctahedronu				Zkrácený kosočtverečný dvanáctistěn
Kosočtverečný triacontahedron Dvojí icosidodecahedron				Zkrácený kosočtverečný triacontahedron
Triakis čtyřstěn Dvojí zkrácený čtyřstěn				Zkrácený triakis čtyřstěn
Triakis octahedron Dvojí zkrácená kostka				Zkrácený triakis octahedron
Triakis icosahedron Dvojí zkrácený dodekahedron				Zkrácený triakis dvacetistěn

Viz také

• Conwayova mnohostěnná notace
• Wythoffova konstrukce

Reference

• Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
• Weisstein, Eric W. „Snubification“. MathWorld.
• Richard Klitzing, Útržky, střídané fasety a Stott-Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy, Symetrie: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329-344, (2010) [1]

externí odkazy

• Olshevsky, Georgi. "Střídání". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
• Názvy mnohostěnů, urážky

Operátoři mnohostěnů

[

• proti
• t
• E

]

Semínko	Zkrácení	Oprava	Bitruncation	Dvojí	Expanze	Omnitruncation	Střídání
t0{p, q} {p, q}	t01{p, q} t {p, q}	t1{p, q} r {p, q}	t12{p, q} 2t {p, q}	t2{p, q} 2r {p, q}	t02{p, q} rr {p, q}	t012{p, q} tr {p, q}	ht0{p, q} h {q, p}	ht12{p, q} s {q, p}	ht012{p, q} sr {p, q}