Expanze (geometrie) - Expansion (geometry)

Příklad rozšiřování Pentagon do desetiúhelník posunutím hran od středu a vložením nových hran do mezer. The expanze je jednotný pokud jsou všechny hrany stejně dlouhé.

Animace zobrazující rozbalenou krychli (a osmistěn)

v geometrie, expanze je polytop provoz kde fazety jsou odděleny a posunuty radiálně od sebe a na oddělených prvcích (vrcholy, hrany atd.) jsou vytvořeny nové fazety. Ekvivalentně lze tuto operaci představit udržováním fazet ve stejné pozici, ale zmenšením jejich velikosti.

Expanze a běžný mnohostěn vytváří jednotný polytop, ale operaci lze použít na jakýkoli konvexní polytop, jak je ukázáno u mnohostěn v Conwayova mnohostěnová notace. Pro mnohostěn má rozšířený mnohostěn všechny plochy původního mnohostěnu, všechny plochy duální mnohostěn a nové hranaté plochy místo původních hran.

Rozšíření běžných polytopů

Podle Coxeter, tento vícerozměrný termín byl definován Alicia Boole Stott^[1] pro vytváření nových polytopů, konkrétně od běžné polytopy postavit nový jednotné polytopy.

The expanze operace je symetrická s ohledem na pravidelný mnohostěn a jeho dvojí. Výsledný údaj obsahuje fazety jak pravidelného, ​​tak jeho duálního, spolu s různými hranolovými fazetami vyplňujícími mezery vytvořené mezi mezidimenzionálními prvky.

Má poněkud odlišné významy dimenze. V Wythoffova konstrukce, expanze je generována odrazy od prvního a posledního zrcadla. Ve vyšších dimenzích lze dolní dimenzionální expanze zapsat dolním indexem, tj₂ je stejný jako t_0,2 v jakékoli dimenzi.

Podle dimenze:

• Běžný {p} polygon expanduje do pravidelného 2n-gonu.
  • Operace je identická s zkrácení pro mnohoúhelníky e {p} = e₁{p} = t_0,1{p} = t {p} a má Coxeter-Dynkinův diagram .
• Pravidelný {p, q} mnohostěn (3-polytop) expanduje do mnohostěn s vrchol obrázek p.4.q.4.
  • Tato operace pro mnohostěn se také nazývá cantellation, e {p, q} = e₂{p, q} = t_0,2{p, q} = rr {p, q} a má Coxeterův diagram .

    

    Například kosočtverec lze nazvat rozšířená kostka, rozšířený osmistěn, stejně jako a cantellated cube nebo cantellated octahedron.

• Pravidelný {p, q, r} 4-mnohostěn (4-polytop) expanduje do nového 4-polytopu s původními {p, q} buňkami, novými buňkami {r, q} namísto starých vrcholů, p-hranatými hranoly místo starých tváří a r- hranaté hranoly místo starých hran.
  • Tato operace pro 4-polytopes se také nazývá runcination, e {p, q, r} = e₃{p, q, r} = t_0,3{p, q, r} a má Coxeterův diagram .
• Podobně regulární {p, q, r, s} 5-mnohostěn expanduje do nového 5-polytopu s fazetami {p, q, r}, {s, r, q}, {p, q} × {} hranoly, {s, r} × {} hranoly a {p}×{s} duoprismy.
  • Tato operace se nazývá sterilizace, e {p, q, r, s} = e₄{p, q, r, s} = t_0,4{p, q, r, s} = 2r2r {p, q, r, s} a má Coxeterův diagram .

Obecným operátorem pro expanzi běžného n-polytopu je t_{0, n-1}{p, q, r, ...}. Na každý vrchol jsou přidány nové pravidelné fazety a na každou dělenou hranu, plochu, ... nové hranolové polytopy. hřbet, atd.

Viz také

• Conwayova mnohostěnová notace

Poznámky

Reference

• Weisstein, Eric W. "Expanze". MathWorld.
• Coxeter, H. S. M., Pravidelné Polytopes. 3. vydání, Dover, (1973) ISBN  0-486-61480-8.
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966

Operátoři mnohostěnů

[

• proti
• t
• E

]

Semínko	Zkrácení	Oprava	Bitruncation	Dvojí	Expanze	Omnitruncation	Střídání
t0{p, q} {p, q}	t01{p, q} t {p, q}	t1{p, q} r {p, q}	t12{p, q} 2t {p, q}	t2{p, q} 2r {p, q}	t02{p, q} rr {p, q}	t012{p, q} tr {p, q}	ht0{p, q} h {q, p}	ht12{p, q} s {q, p}	ht012{p, q} sr {p, q}