Zkrácený cuboctahedron - Truncated cuboctahedron
Zkrácený cuboctahedron | |
---|---|
![]() (Kliknutím sem zobrazíte rotující model) | |
Typ | Archimédův pevný Jednotný mnohostěn |
Elementy | F = 26, E = 72, PROTI = 48 (χ = 2) |
Tváře po stranách | 12{4}+8{6}+6{8} |
Conwayova notace | bC nebo taC |
Schläfliho symboly | tr {4,3} nebo |
t0,1,2{4,3} | |
Wythoffův symbol | 2 3 4 | |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Skupina symetrie | Óh, B3, [4,3], (* 432), objednávka 48 |
Rotační skupina | Ó, [4,3]+, (432), objednávka 24 |
Dihedrální úhel | 4-6: arccos (-√6/3) = 144°44′08″ 4-8: arccos (-√2/3) = 135° 6-8: arccos (-√3/3) = 125°15′51″ |
Reference | U11, C23, Ž15 |
Vlastnosti | Semiregular konvexní zonohedron |
![]() Barevné tváře | ![]() 4.6.8 (Vrcholová postava ) |
![]() Disdyakis dodecahedron (duální mnohostěn ) | ![]() Síť |
v geometrie, zkrácený cuboctahedron je Archimédův pevný, pojmenovaný Keplerem jako a zkrácení a cuboctahedron. Má 12 náměstí tváře, 8 pravidelných šestihranný tváře, 6 pravidelných osmiúhelníkový plochy, 48 vrcholů a 72 hran. Protože každá z jejích tváří má bodová symetrie (ekvivalentně 180 ° rotační symetrie), zkrácený cuboctahedron je a zonohedron. Zkrácený cuboctahedron může mozaikový s osmiboký hranol.
Jména
Název zkrácený cuboctahedron, daný původně uživatelem Johannes Kepler, je zavádějící. Skutečný zkrácení a cuboctahedron má obdélníky namísto čtverce. Tento nejednotný mnohostěn je topologicky ekvivalentní Archimédově tělesu. Alternativní zaměnitelné názvy jsou:
| ![]() ![]() Cuboctahedron a jeho zkrácení |
Tady je nekonvexní jednotný mnohostěn s podobným názvem, nekonvexní velký kosočtverec.
Kartézské souřadnice
The Kartézské souřadnice pro vrcholy zkráceného cuboctahedronu s délkou hrany 2 a se středem v počátku jsou všechny obměny z:
- (±1, ±(1 + √2), ±(1 + 2√2))
Plocha a objem
Oblast A a objem PROTI zkráceného cuboctahedronu o délce hrany A jsou:
Pitva
Zkrácený cuboctahedron je konvexní obal a kosočtverec s kostkami nad 12 čtverci na 2násobných osách symetrie. Zbytek jeho prostoru lze rozdělit na 6 čtvercové kopule pod osmiúhelníky a 8 trojúhelníkové kopule pod šestiúhelníky.
Členitý zkrácený cuboctahedron může vytvořit rod 5, 7 nebo 11 Stewartův toroid odstraněním centrálního kosočtverce a buď čtvercových kupol, trojúhelníkových kupol nebo 12 kostek. Mnoho dalších toroidů s nižší symetrií lze také zkonstruovat odstraněním podmnožiny těchto členitých složek. Například odstraněním poloviny trojúhelníkových kupolí se vytvoří rod 3 torus, který (pokud jsou vhodně zvoleny) má čtyřboký symetrii.[4][5]
Stewartovy toroidy | |||
---|---|---|---|
Rod 3 | Rod 5 | Rod 7 | Rod 11 |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Jednotná barviva
Je jen jeden jednotné zbarvení ploch tohoto mnohostěnu, jedna barva pro každý typ obličeje.
Dvoubarevné zbarvení s čtyřboká symetrie, existuje se střídavě zbarvenými šestiúhelníky.
Ortogonální projekce



Zkrácený cuboctahedron má dva speciální ortogonální projekce v A2 a B2 Coxeterovy roviny s [6] a [8] projektivní symetrií, a četné [2] symetrie mohou být konstruovány z různých promítaných rovin vzhledem k mnohostěnným prvkům.
Na střed | Vrchol | Okraj 4-6 | Okraj 4-8 | Okraj 6-8 | Tvář normální 4-6 |
---|---|---|---|---|---|
obraz | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Projektivní symetrie | [2]+ | [2] | [2] | [2] | [2] |
Na střed | Tvář normální Náměstí | Tvář normální Osmiúhelník | Tvář Náměstí | Tvář Šestiúhelník | Tvář Osmiúhelník |
obraz | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Projektivní symetrie | [2] | [2] | [2] | [6] | [4] |
Sférické obklady
Zkrácený cuboctahedron může být také reprezentován jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Ortogonální projekce | náměstí -centrovaný | šestiúhelník -centrovaný | osmiúhelník -centrovaný |
---|---|---|---|
Stereografické projekce |
Celá oktaedrická skupina

Stejně jako mnoho jiných pevných látek má zkrácený osmistěn plný oktaedrická symetrie - ale jeho vztah s celou oktaedrickou skupinou je bližší než ten: Jeho 48 vrcholů odpovídá prvkům skupiny a každá tvář je to dvojí je základní doména skupiny.
Obrázek vpravo ukazuje 48 permutací ve skupině aplikovaných na ukázkový objekt (jmenovitě světelná sloučenina JF vlevo). 24 světelných prvků jsou rotace a tmavé jsou jejich odrazy.
Okraje tělesa odpovídají 9 odrazům ve skupině:
- Ty mezi osmiúhelníky a čtverci odpovídají 3 odrazům mezi protilehlými osmiúhelníky.
- Šestiúhelníkové hrany odpovídají 6 odrazům mezi protilehlými čtverci.
- (Mezi protilehlými šestiúhelníky nejsou žádné odrazy.)
Podskupiny odpovídají pevným látkám, které sdílejí příslušné vrcholy zkráceného osmistěnu.
Např. 3 podskupiny s 24 prvky odpovídají nestejnoměrnosti urážka kostka s chirální oktaedrickou symetrií, nejednotná zkrácený osmistěn s plná čtyřboká symetrie a nejednotný kosočtverec s pyritohedrální symetrie (dále jen cantic snub octahedron ).
Unikátní podskupina s 12 prvky je střídavá skupina A4. Odpovídá to nejednotné dvacetistěnu s chirální čtyřboká symetrie.
Podskupiny a odpovídající pevné látky | ||||
---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
všech 48 vrcholů | 24 vrcholů | 12 vrcholů |
Související mnohostěn
![]() | ![]() |
Motýlkový čtyřstěn a krychle obsahují místo čtverce dvě lichoběžníkové plochy.[6] |
Zkrácený cuboctahedron je jednou z rodiny uniformních mnohostěnů souvisejících s krychlí a pravidelným osmistěnem.
Jednotná oktaedrická mnohostěna | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie: [4,3], (*432) | [4,3]+ (432) | [1+,4,3] = [3,3] (*332) | [3+,4] (3*2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {31,1} | t {3,4} t {31,1} | {3,4} {31,1} | rr {4,3} s2{3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h2{4,3} t {3,3} | s {3,4} s {31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Duals na uniformní mnohostěn | ||||||||||
V43 | V3.82 | V (3,4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Tento mnohostěn lze považovat za člena posloupnosti uniformních vzorů s konfigurace vrcholů (4.6.2p) a Coxeter-Dynkinův diagram . Pro p <6, jsou členy posloupnosti všudypřítomný mnohostěn (zonohedrony ), zobrazené níže jako sférické obklady. Pro p <6, jsou to obklady hyperbolické roviny, počínaje zkrácené triheptagonální obklady.
*n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sym. *n32 [n,3] | Sférické | Euklid. | Kompaktní hyperb. | Paraco. | Nekompaktní hyperbolický | |||||||
*232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3] | *∞32 [∞,3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Konfigurace | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duální | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Konfigurace | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
*n42 mutace symetrie omnitruncated tilings: 4.8.2n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie *n42 [n, 4] | Sférické | Euklidovský | Kompaktní hyperbolický | Paracomp. | ||||
*242 [2,4] | *342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4]... | *∞42 [∞,4] | |
Omnitruncated postava | ![]() 4.8.4 | ![]() 4.8.6 | ![]() 4.8.8 | ![]() 4.8.10 | ![]() 4.8.12 | ![]() 4.8.14 | ![]() 4.8.16 | ![]() 4.8.∞ |
Omnitruncated duální | ![]() V4.8.4 | ![]() V4.8.6 | ![]() V4.8.8 | ![]() V4.8.10 | ![]() V4.8.12 | ![]() V4.8.14 | ![]() V4.8.16 | ![]() V4.8.∞ |
Je to první ze série hyperkrychlí s titulky:
![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Zkrácený cuboctahedron | Cantitruncated tesseract | Cantitruncated 5-cube | Cantitruncated 6-cube | Cantitruncated 7-cube | Cantitruncated 8-cube |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Zkrácený cuboctahedral graf
Zkrácený cuboctahedral graf | |
---|---|
![]() Čtyřnásobná symetrie | |
Vrcholy | 48 |
Hrany | 72 |
Automorfismy | 48 |
Chromatické číslo | 2 |
Vlastnosti | Krychlový, Hamiltonian, pravidelný, nulově symetrický |
Tabulka grafů a parametrů |
V matematický pole teorie grafů, a zkrácený cuboctahedral graf (nebo skvělý kosočtverečný graf) je graf vrcholů a hran zkráceného cuboctahedronu, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 48 vrcholy a 72 hran, a je a nulově symetrický a krychlový Archimédův graf.[7]
Viz také
- Krychle
- Cuboctahedron
- Octahedron
- Zkrácený icosidodecahedron
- Zkrácený osmistěn - zkrácený tetratetrahedron
Reference
- ^ Wenninger, Magnus (1974), Mnohostěnné modely, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, PAN 0467493 (Model 15, s. 29)
- ^ Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9, s. 82)
- ^ Cromwell, P .; Mnohostěn, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (str. 82)
- ^ B. M. Stewart, Dobrodružství mezi toroidy (1970) ISBN 978-0-686-11936-4
- ^ Doskey, Alexi. „Dobrodružství mezi toroidy - Kapitola 5 - Nejjednodušší (R) (A) (Q) (T) Toroidy rodu p = 1“. www.doskey.com.
- ^ Symmetrohedra: Polyhedra from Symetric Placement of Regular Polygons Craig S. Kaplan
- ^ Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press, str. 269
- Cromwell, P. (1997). Mnohostěn. Spojené království: Cambridge. str. 79–86 Archimédovy pevné látky. ISBN 0-521-55432-2.
externí odkazy
- Eric W. Weisstein, Velký kosočtverec (Archimédův pevný ) na MathWorld.
- Klitzing, Richarde. „3D konvexní uniformní mnohostěn x3x4x - girco“.
- Upravitelná tisknutelná síť zkráceného kvádru s interaktivním 3D zobrazením
- Jednotná mnohostěna
- Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
- velký Rhombicuboctahedron: papírové proužky pro pletení