Zkrácený osmistěn - Truncated octahedron

Zkrácený oktaedrický graf
	3krát symetrický Schlegelův diagram
Vrcholy	24
Hrany	36
Automorfismy	48
Chromatické číslo	2
Tloušťka knihy	3
Číslo fronty	2
Vlastnosti	Krychlový, Hamiltonian, pravidelný, nulově symetrický
	Tabulka grafů a parametrů

Zkrácený osmistěn
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 14, E = 36, PROTI = 24 (χ = 2)
Tváře po stranách	6{4}+8{6}
Conwayova notace	na bT
Schläfliho symboly	t {3,4} tr {3,3} nebo ${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 3 3 end {Bmatrix}}}$
Schläfliho symboly	t_0,1{3,4} nebo t_0,1,2{3,3}
Wythoffův symbol	2 4 \| 3 3 3 2 \|
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Ó_h, B₃, [4,3], (* 432), objednávka 48 T_h, [3,3] a (* 332), objednávka 24
Rotační skupina	Ó, [4,3]⁺, (432), objednávka 24
Dihedrální úhel	4-6: arccos (-1/√3) = 125°15′51″ 6-6: arccos (-1/3) = 109°28′16″
Reference	U₀₈, C₂₀, Ž₇
Vlastnosti	Semiregular konvexní rovnoběžník permutohedron
Barevné tváře	4.6.6 (Vrcholová postava )
Tetrakis hexahedron (duální mnohostěn )	Síť

3D model zkráceného osmistěnu

v geometrie, zkrácený osmistěn je Archimédův pevný. Má 14 tváří (8 pravidelných šestihranný a 6 náměstí ), 36 hran a 24 vrcholů. Protože každá z jejích tváří má bodová symetrie zkrácený osmistěn je a zonohedron. Je to také Goldbergův mnohostěn G_IV(1,1), obsahující čtvercové a šestihranné plochy. Stejně jako krychle může teselovat (nebo „sbalit“) trojrozměrný prostor jako a permutohedron.

Zkrácený osmistěn byl Buckminster Fuller nazýván „mecon“.^[1]

Své duální mnohostěn je tetrakis hexahedron.

Pokud má původní zkrácený osmistěn délku hrany jednotky, je její duální tetrakis kostka má délky hran 9/8√2 a 3/2√2.

Konstrukce

Zkrácený osmistěn je sestaven z pravidelného osmistěn s délkou strany 3A odstraněním šesti práv čtvercové pyramidy, jeden z každého bodu. Tyto pyramidy mají délku obou stran základny (A) a délka boční strany (E) z A, tvořit rovnostranné trojúhelníky. Základní plocha je tedy A². Všimněte si, že tento tvar je přesně podobný polovině osmistěnu nebo Johnson solidní J₁.

Z vlastností čtvercových pyramid můžeme nyní zjistit šikmou výšku, sa výška, hpyramidy:

{ displaystyle { begin {aligned} h & = { sqrt {e ^ {2} - { tfrac {1} {2}} a ^ {2}}} && = { tfrac {1} { sqrt { 2}}} a s & = { sqrt {h ^ {2} + { tfrac {1} {4}} a ^ {2}}} && = { sqrt {{ tfrac {1} {2 }} a ^ {2} + { tfrac {1} {4}} a ^ {2}}} && = { tfrac { sqrt {3}} {2}} a end {zarovnáno}}}

Hlasitost, PROTI, pyramidy je dán vztahem:

{ displaystyle V = { tfrac {1} {3}} a ^ {2} h = { tfrac { sqrt {2}} {6}} a ^ {3}}

Protože šest pyramid je odstraněno zkrácením, je zde celkový ztracený objem √2A³.

Ortogonální projekce

The zkrácený osmistěn má pět speciálních ortogonální projekce, na střed, na vrcholu, na dvou typech hran a dvou typech ploch: šestiúhelník a čtverec. Poslední dva odpovídají B₂ a A.₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce
Na střed	Vrchol	Okraj 4-6	Okraj 6-6	Tvář Náměstí	Tvář Šestiúhelník
Pevný
Drátový model
Dvojí
Projektivní symetrie	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

Sférické obklady

Zkrácený osmistěn může být také reprezentován jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

Ortografická projekce	Stereografické projekce
	náměstí -centrovaný	šestiúhelník -centrovaný

Souřadnice


Ortogonální projekce v ohraničující rámeček (±2,±2,±2)	Zkrácený osmistěn s šestiúhelníky nahrazený 6 koplanárními trojúhelníky. K dispozici je 8 nových vrcholů v: (± 1, ± 1, ± 1).	Zkrácený osmistěn se dále dělí na topologii kosočtverečný triacontahedron

Všechno obměny z (0, ± 1, ± 2) jsou Kartézské souřadnice z vrcholy a zkrácen osmistěn délky hrany a = √ 2 se středem v počátku. Vrcholy jsou tedy také rohy 12 obdélníků, jejichž dlouhé hrany jsou rovnoběžné s osami souřadnic.

The okrajové vektory mít kartézské souřadnice (0, ±1, ±1) a jejich obměny. Normály plochy (normalizované křížové produkty hran, které sdílejí společný vrchol) 6 hranatých ploch jsou (0, 0, ±1), (0, ±1, 0) a (±1, 0, 0). Normály obličeje 8 šestihranných ploch jsou (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3). Tečkový produkt mezi páry dvou normálů tváře je kosinus úhlu vzepětí mezi sousedními plochami, buď -1/3 nebo -1/√3. Úhel vzepětí je přibližně 1,910633 radiánů (109,471 ° OEIS: A156546) na hranách sdílených dvěma šestiúhelníky nebo 2,186276 radiány (125,263 ° OEIS: A195698) na hranách sdílených šestiúhelníkem a čtvercem.

Pitva

Zkrácený osmistěn lze rozdělit na střed osmistěn, obklopen 8 trojúhelníková kopule na každé tváři a 6 čtvercové pyramidy nad vrcholy.^[2]

Odstraněním centrálního osmistěnu a 2 nebo 4 trojúhelníkové kupole se vytvoří dva Stewartovy toroidy, s dihedrální a čtyřboká symetrie:

Rod 2	Rod 3
D_3d, [2⁺, 6], (2 * 3), objednávka 12	T_d, [3,3], (* 332), objednávka 24

Permutohedron

Zkrácený osmistěn může být také reprezentován ještě symetrickými souřadnicemi ve čtyřech rozměrech: všechny permutace (1, 2, 3, 4) tvoří vrcholy zkráceného osmistěnu v trojrozměrném podprostoru X + y + z + w = 10. Zkrácený osmistěn je tedy permutohedron řádu 4: každý vrchol odpovídá permutaci (1, 2, 3, 4) a každá hrana představuje jeden párový swap dvou prvků.

Plocha a objem

Oblast A a objem PROTI zkráceného osmistěnu o délce hrany A jsou:

{ displaystyle { begin {aligned} A & = left (6 + 12 { sqrt {3}} right) a ^ {2} && cca 26,784 6097a ^ {2} V & = 8 { sqrt {2}} a ^ {3} && přibližně 11,313 , 7085a ^ {3}. end {zarovnáno}}}

Jednotná barviva

Existují dva jednotné barvy, s čtyřboká symetrie a oktaedrická symetrie a dvě 2 uniformní zbarvení s dihedrální symetrie jako zkrácený trojúhelníkový antiprism. Konstrukční názvy jsou uvedeny pro každou z nich. Jejich Conwayova mnohostěnová notace je uveden v závorkách.

1 uniforma		2 uniformy
Ó_h, [4,3], (*432) Objednávka 48	T_d, [3,3], (*332) Objednávka 24	D_4h, [4,2], (*422) Objednávka 16	D_3d, [2⁺,6], (2*3) Objednávka 12
122 zbarvení	123 zbarvení	122 a 322 barev	122 a 123 barvení
Zkrácený osmistěn (na)	Zkosený čtyřstěn (bT)	Zkrácený čtvercový bipyramid (tdP4)	Zkrácený trojúhelníkový antiprism (tA3)

Chemie

The zkrácený osmistěn existuje ve struktuře faujasit krystaly.

Skrývání dat

The zkrácený osmistěn (ve skutečnosti zobecněný zkrácený osmistěn) se objevuje v chybové analýze modulace kvantizačního indexu (QIM) ve spojení s opakovacím kódováním.^[3]

Související mnohostěn

Zkrácený osmistěn je jednou z rodiny jednotných mnohostěnů souvisejících s krychlí a pravidelným osmistěnem.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Existuje také jako omnitruncate rodiny čtyřstěnů:

Rodina uniformních čtyřstěnných mnohostěnů
Symetrie: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Mutace symetrie

n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n* [ proti t E ]
Sym. *n32 [n,3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
Sym. *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Čísla
Konfigurace	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duální
Konfigurace	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

*nn2 mutace symetrie omnitruncated tilings: 4.2n.2n [ proti t E ]
Symetrie *nn2 [n, n]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
Symetrie *nn2 [n, n]	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Postava
Konfigurace	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dvojí
Konfigurace	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Tento mnohostěn je členem posloupnosti jednotných vzorů s vrcholovým obrazcem (4.6.2p) a Coxeter – Dynkinův diagram . Pro p <6, jsou členy posloupnosti všudypřítomný mnohostěn (zonohedra ), zobrazené níže jako sférické obklady. Pro p > 6, jsou to obklady hyperbolické roviny, počínaje zkrácené triheptagonální obklady.

Zkrácený osmistěn je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti uniformních mnohostěnů a obkladů s vrcholové postavy n.6.6, zasahující do hyperbolické roviny:

*n32 mutace symetrie zkrácených naklonění: n.6.6 [ proti t E ]
Sym. *n42 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní		Parac.	Nekompaktní hyperbolický
Sym. *n42 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Konfigurace	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis čísla
Konfigurace	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Zkrácený osmistěn je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti uniformních mnohostěnů a obkladů s vrcholové postavy 4.2n.2n, zasahující do hyperbolické roviny:

*n42 mutace symetrie komolých sklonů: 4.2n.2n [ proti t E ]
Symetrie *n42 [n, 4]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
Symetrie *n42 [n, 4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Zkráceno čísla
Konfigurace	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis čísla
Konfigurace	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Související polytopy

The zkrácen osmistěn (bitruncated krychle), je první v pořadí bitruncated hyperkrychle:

Bitrunkované hyperkrychle
obraz							...
název	Bitrunkovaná krychle	Bitruncated tesseract	Bitruncated 5-cube	Bitruncated 6-cube	Bitrunková 7 kostka	Bitruncated 8-cube
Coxeter
Vrcholová postava	() v {}	{} v {}	{} v {3}	{} v {3,3}	{} v {3,3,3}	{} v {3,3,3,3}

Mozaikování

Zkrácený osmistěn existuje ve třech různých konvexní jednotné voštiny (prostorové mozaiky ):

Bitruncated kubický	Cantitruncated kubický	Zkrácený střídavý kubický

The buněčně tranzitivní bitunovaný kubický plástev lze také vidět jako Voronoi mozaikování z kubická mřížka zaměřená na tělo. Zkrácený osmistěn je jedním z pěti trojrozměrných primárních rovnoběžník.

Objekty

Prolézačky sítě často zahrnují zkrácenou oktaedru.

starověké čínské kostky
sochařství v Bonn
Rubikova kostka varianta
model vyrobený s Polydron stavebnice
Pyrit krystal

Zkrácený oktaedrický graf

V matematický pole teorie grafů, a zkrácený oktaedrický graf je graf vrcholů a hran zkráceného osmistěnu, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 24 vrcholy a 36 hran, a je a krychlový Archimédův graf.^[4] Má to tloušťka knihy 3 a číslo fronty 2.^[5]

Jako Hamiltonian kubický graf, to může být reprezentováno LCF notace několika způsoby: [3, −7, 7, −3]⁶, [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11, 11, −5, −7, 7]²a [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9 , 9, 7, −5, −7, 3].^[6]

Tři různé Hamiltonovské cykly popsané třemi různými LCF notace pro zkrácený oktaedrický graf

Reference

^ „Zkrácený osmistěn“. Wolfram Mathworld.
^ Doskey, Alexi. „Dobrodružství mezi toroidy - Kapitola 5 - Nejjednodušší (R) (A) (Q) (T) Toroidy rodu p = 1“. www.doskey.com.
^ Perez-Gonzalez, F .; Balado, F .; Martin, J.R.H. (2003). "Analýza výkonu stávajících a nových metod pro skrývání dat s informacemi známého hostitele v aditivních kanálech". Transakce IEEE při zpracování signálu. 51 (4): 960–980. doi:10.1109 / TSP.2003.809368.
^ Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press, str. 269
^ Wolz, Jessica; Inženýrské lineární rozložení se SAT. Diplomová práce, University of Tübingen, 2018
^ Weisstein, Eric W. "Zkrácený oktaedrický graf". MathWorld.

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3–9)
Freitas, Robert A. Jr. "Jednotné vyplňování prostoru pouze pomocí zkráceného osmistěnu". Obrázek 5.5 z Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. Citováno 2006-09-08. Externí odkaz v | vydavatel = (Pomoc)
Gaiha, P. & Guha, S.K. (1977). "Sousední vrcholy na permutohedronu". SIAM Journal on Applied Mathematics. 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.
Hart, George W. „VRML model zkráceného osmistěnu“. Virtuální mnohostěn: Encyklopedie mnohostěnů. Citováno 2006-09-08. Externí odkaz v | vydavatel = (Pomoc)
Mäder, Roman. „Jednotná mnohostěna: zkrácený osmistěn“. Citováno 2006-09-08.
Alexandrov, A.D. (1958). Konvexe Polyeder. Berlín: Springer. str. 539. ISBN 3-540-23158-7.
Cromwell, P. (1997). Mnohostěn. Spojené království: Cambridge. str. 79–86 Archimédovy pevné látky. ISBN 0-521-55432-2.

externí odkazy

[1] „Zkrácený osmistěn“. Wolfram Mathworld.

[2] Doskey, Alexi. „Dobrodružství mezi toroidy - Kapitola 5 - Nejjednodušší (R) (A) (Q) (T) Toroidy rodu p = 1“. www.doskey.com.

[3] Perez-Gonzalez, F .; Balado, F .; Martin, J.R.H. (2003). "Analýza výkonu stávajících a nových metod pro skrývání dat s informacemi známého hostitele v aditivních kanálech". Transakce IEEE při zpracování signálu. 51 (4): 960–980. doi:10.1109 / TSP.2003.809368.

[4] Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press, str. 269

[5] Wolz, Jessica; Inženýrské lineární rozložení se SAT. Diplomová práce, University of Tübingen, 2018

[6] Weisstein, Eric W. "Zkrácený oktaedrický graf". MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]