Rhombicuboctahedron - Rhombicuboctahedron

Rhombicuboctahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 26, E = 48, PROTI = 24 (χ = 2)
Tváře po stranách	8{3}+(6+12){4}
Conwayova notace	eC nebo aaC aaaT
Schläfliho symboly	rr {4,3} nebo ${displaystyle r {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$
	t0,2{4,3}
Wythoffův symbol	3 4 | 2
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Óh, B3, [4,3], (* 432), objednávka 48
Rotační skupina	Ó, [4,3]+, (432), objednávka 24
Dihedrální úhel	3-4: 144°44′08″ (144.74°) 4-4: 135°
Reference	U10, C22, Ž13
Vlastnosti	Semiregular konvexní
Barevné tváře	3.4.4.4 (Vrcholová postava )
Deltoidní icositetrahedron (duální mnohostěn )	Síť

v geometrie, kosočtverecnebo malý kosočtverec, je Archimédův pevný s osmi trojúhelníkový a osmnáct náměstí tváře. K dispozici je 24 stejných vrcholů, přičemž u každého se potkává jeden trojúhelník a tři čtverce. (Všimněte si, že šest čtverců sdílí pouze vrcholy s trojúhelníky, zatímco dalších dvanáct sdílí hranu.) The mnohostěn má oktaedrická symetrie, jako krychle a osmistěn. Své dvojí se nazývá deltoidní icositetrahedron nebo lichoběžníkový icositetrahedron, i když jeho tváře nejsou opravdu pravdivé lichoběžníky.

Jména

Johannes Kepler v Harmonices Mundi (1618) pojmenoval tento mnohostěn a kosočtverec, což je zkratka pro zkrácený kosočtverečný kosočtverec, s cuboctahedral rhombus být jeho jménem pro kosočtverečný dvanáctistěn.^[1] Existují různé zkrácení kosočtverečného dodekaedru do a topologické rhombicuboctahedron: Výrazně jeho náprava (vlevo), ten, který vytváří jednotné těleso (uprostřed), a oprava dvojího cuboctahedron (vpravo), což je jádro dvojitá sloučenina.

Lze jej také nazvat rozšířený nebo cantellated krychle nebo osmistěn, z operací zkrácení na obou jednotný mnohostěn.

Geometrické vztahy

Kosočtverec lze vidět buď jako rozšířený krychle (modré plochy) nebo rozbalená osmistěn (červené tváře).

Existují zkreslení kosočtverce, která, i když některé tváře nejsou pravidelné polygony, jsou stále vrcholně uniformní. Některé z nich lze vyrobit tak, že vezmete krychli nebo osmistěn, odříznete hrany a poté oříznete rohy, takže výsledný mnohostěn má šest čtvercových a dvanáct obdélníkových ploch. Ty mají oktaedrickou symetrii a tvoří souvislou řadu mezi krychlí a osmistěnem, obdobně jako zkreslení rhombicosidodecahedron nebo čtyřboká zkreslení cuboctahedron. Kosočtverec má však také druhou sadu zkreslení se šesti obdélníkovými a šestnácti lichoběžníkovými plochami, které nemají oktaedrickou symetrii, ale spíše T_h symetrie, takže jsou neměnné při stejných rotacích jako čtyřstěn ale různé odrazy.

Čáry, podél kterých a Rubikova kostka lze otočit, promítnout na kouli, podobně, topologicky identické, s hranami kosočtverce. Ve skutečnosti byly vyrobeny varianty využívající mechanismus Rubikovy kostky, které se velmi podobají kosočtverci.^[2][3]

Kosočtverec se používá ve třech jednotné mozaikové výplně: cantellated kubický plástev, runcitruncated kubický plástev a runcinated alternated cubic honeycomb.

Pitva

Kosočtverec lze rozdělit na dvě části čtvercové kopule a centrální osmiboký hranol. Otočení jedné kopule o 45 stupňů vytvoří pseudorhombicuboctahedron. Oba tyto mnohostěny mají stejný vrchol: 3.4.4.4.

Existují tři páry rovnoběžných letadel, z nichž každá protíná kosočtverec v pravidelném osmiúhelníku. Kosočtverec lze rozdělit podél kteréhokoli z nich, aby se získal osmiboký hranol s pravidelnými plochami a dvěma dalšími mnohostěnemi zvanými čtverec kopule, které se počítají mezi Johnson pevné látky; je to tedy protáhlý čtvercový orthobicupola. Tyto kousky lze znovu sestavit a získat tak nové těleso zvané podlouhlá čtvercová gyrobicupola nebo pseudorhombicuboctahedron, se symetrií čtvercového antiprism. V tomto jsou vrcholy všechny lokálně stejné jako vrcholy kosočtverečného kosočtverce, přičemž u každého se setkává jeden trojúhelník a tři čtverce, ale nejsou všechny identické s ohledem na celý mnohostěn, protože některé jsou blíže k ose symetrie než jiné.

	Rhombicuboctahedron
	Pseudorhombicuboctahedron

Ortogonální projekce

The kosočtverec má šest speciálních ortogonální projekce, na střed, na vrcholu, na dvou typech hran a třech typech ploch: trojúhelnících a dvou čtvercích. Poslední dva odpovídají B₂ a A.₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce

Na střed	Vrchol	Okraj 3-4	Okraj 4-4	Tvář Čtverec-1	Tvář Čtverec-2	Tvář Trojúhelník
Pevný
Drátový model
Projektivní symetrie	[2]	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]
Dvojí

Sférické obklady

Kosočtverec lze také reprezentovat jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

	(6) náměstí -centrovaný	(6) náměstí -centrovaný	(8) trojúhelník -centrovaný
Ortogonální projekce	Stereografické projekce

Pyritohedrální symetrie

Poloviční symetrická forma kosočtverce, , existuje s pyritohedrální symetrie, [4,3⁺], (3 * 2) jako Coxeterův diagram , Schläfliho symbol s₂{3,4} a lze jej nazvat a cantic snub octahedron. Tuto formu lze vizualizovat střídavým zbarvením okrajů 6 čtverce. Tyto čtverce pak mohou být zkresleny obdélníky, zatímco 8 trojúhelníků zůstává rovnostranných. 12 diagonálních čtvercových ploch se stane rovnoramenné lichoběžníky. V limitu lze obdélníky zmenšit na hrany a z lichoběžníků se stanou trojúhelníky a dvacetistěnu je tvořen a potlačit osmistěn konstrukce, , s {3,4}. (The sloučenina dvou icosahedra je konstruována z obou střídaných poloh.)

Pyritohedrální variace symetrie
Jednotná geometrie	Nestejnoměrná geometrie	Nestejnoměrná geometrie	V limitu, an dvacetistěnu potlačit osmistěn, , z jedné ze dvou pozic.	Sloučenina dvou icosahedra z obou střídaných pozic.

Algebraické vlastnosti

Kartézské souřadnice

Kartézské souřadnice pro vrcholy kosočtverce se středem v počátku, s délkou hrany 2 jednotky, jsou všechny dokonce i obměny z

(±1, ±1, ±(1 + √2)).

Pokud původní kosočtverec má délku hrany jednotky, je její duální strombický ikositetrahedron má délky hran

${displaystyle {frac {2} {7}} {sqrt {10- {sqrt {2}}}} quad {ext {and}} quad {sqrt {4-2 {sqrt {2}}}}.}$

Plocha a objem

Oblast A a hlasitost PROTI kosočtverce o délce hrany A jsou:

${displaystyle {egin {aligned} A & = left (18 + 2 {sqrt {3}} ight) a ^ {2} && cca 21,464,1016a ^ {2} V & = {frac {12 + 10 {sqrt {2}} } {3}} a ^ {3} && přibližně 8 714 045,21a ^ {3}. End {zarovnáno}}}$

Hustota balení

Optimální frakce balení rhombicuboctahedra je dán

${displaystyle eta = {frac {4} {3}} vlevo (4 {sqrt {2}} - 5ight)}$.

Bylo zjištěno, že této optimální hodnoty je dosaženo v a Bravaisova mříž autor de Graaf (2011 ). Protože kosočtverec je obsažen v a kosočtverečný dvanáctistěn jehož vepsaná koule je totožný s jeho vlastní vepsanou sférou, hodnota optimálního podílu balení je důsledkem Keplerova domněnka: lze toho dosáhnout vložením kosočtverce do každé buňky kosočtverečný dodekahedrální plástev, a to nelze překonat, protože jinak by bylo možné překonat optimální hustotu balení koulí vložením koule do každého kosočtverce hypotetického obalu, který ji překračuje.

V umění

Portrét Luca Pacioliho (kolem 1495)^[4]

Leonardo da Vinci ilustrace v Divina proporce (1509)

1495 Portrét Luca Pacioliho, tradičně připisováno Jacopo de 'Barbari, zahrnuje skleněný kosočtverec napůl naplněný vodou, který mohl být namalován Leonardo da Vinci.^[5]První tištěná verze kosočtverce byla od Leonarda a objevila se v Pacioli je Divina proporce (1509).

Sférické panorama 180 ° × 360 ° lze promítnout na jakýkoli mnohostěn; ale kosočtverec poskytuje dostatečně dobrou aproximaci koule, přičemž se snadno staví. Tento typ projekce, tzv Filosphere, je možné z nějakého panoramatického montážního softwaru. Skládá se ze dvou obrázků, které se tisknou samostatně a stříhají se nůžkami, přičemž ponechávají několik chlopní pro montáž lepidlem.^[6]

Objekty

The Svobodná krajina hry Driller a Temná strana oba měli herní mapu ve formě kosočtverce.

„Hurry-Scurry Galaxy“ a „Sea Slide Galaxy“ ve videohře Super Mario Galaxy mít planety v podobném tvaru kosočtverce.

Sonic the Hedgehog 3 's Zóna Icecap má sloupy zakončené kosočtvercem.

Během Rubikova kostka šílenství 80. let, přinejmenším dvě prodávané klikaté hádanky měly podobu kosočtverce (mechanismus byl podobný mechanismu Rubikova kostka ).^[2][3]

• 

  Sluneční hodiny (1596)

• 

  Sluneční hodiny

• 

  Pouliční lampa v Mainz

• 

  Zemřete s 18 označenými tvářemi

• 

  Cabela střelecký terč

• 

  Rubikův had

• 

  Varianta Rubikova kostka

• 

  Pyrit krystal

Související mnohostěn

Kosočtverec je jedním z rodiny uniformních mnohostěnů souvisejících s krychlí a pravidelným osmistěnem.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {31,1}	t {3,4} t {31,1}	{3,4} {31,1}	rr {4,3} s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h2{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {31,1}
		=	=	=				= nebo	= nebo	=
Duals na uniformní mnohostěn
V43	V3.82	V (3,4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Mutace symetrie

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence cantellated mnohostěn s vrcholem (3.4.n.4) a pokračuje jako obklady hyperbolická rovina. Tyto vrchol-tranzitivní čísla mají (*n32) reflexní symetrie.

*n32 mutace symetrie rozšířených obkladů: 3.4.n.4
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paracomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postava
Konfigurace	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

*n42 mutace symetrie rozšířených obkladů: n.4.4.4 [ proti t E ]
Symetrie [n, 4], (*n42)	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Rozšířený čísla
Konfigurace	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Kosočtverečný čísla konfigurace	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Uspořádání vrcholů

Sdílí své vrcholné uspořádání se třemi nekonvexní uniformní mnohostěn: hvězdicovitý zkrácený šestistěn, malý kosočtverec (které mají společné trojúhelníkové plochy a šest čtvercových ploch) a malý cubicuboctahedron (společných dvanáct hranatých ploch).

Rhombicuboctahedron

Malý cubicuboctahedron

Malý kosočtverec

Stellated komolý hexahedron

Rhombicuboctahedral graf
Čtyřnásobná symetrie
Vrcholy	24
Hrany	48
Automorfismy	48
Vlastnosti	Kvartový graf, Hamiltonian, pravidelný
Tabulka grafů a parametrů

Rhombicuboctahedral graf

V matematický pole teorie grafů, a kosočtverečný graf je graf vrcholů a hran kosočtverce, jednoho z Archimédovy pevné látky. Má 24 vrcholy a 48 hran, a je a kvartový graf Archimédův graf.^[7]

Viz také

• Sloučenina pěti rhombicuboctahedra
• Krychle
• Cuboctahedron
• Nekonvexní velký kosočtverec
• Zkrácený kosočtverec
• Podlouhlá čtvercová gyrobicupola
• Moravská hvězda
• Octahedron
• Rhombicosidodecahedron
• Rubikův had - puzzle, které může tvořit Rhombicuboctahedron "míč"
• Běloruská národní knihovna - jeho architektonická hlavní složka má tvar kosočtverce.
• Zkrácený cuboctahedron (velký kosočtverec)

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Eric W. Weisstein, Rhombicuboctahedron (Archimédův pevný ) na MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Malý kosočtverečný graf". MathWorld.
• Klitzing, Richarde. „3D konvexní uniformní mnohostěn x3o4x - sirco“.
• Jednotná mnohostěna
• Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
• Upravitelná tisknutelná síť kosočtverce s interaktivním 3D zobrazením
• Hvězda Rhombicuboctahedron autor: Sándor Kabai, Demonstrační projekt Wolfram.
• Rhombicuboctahedron: papírové proužky pro pletení