Izometrie - Isometry

v matematika, an izometrie (nebo shodanebo shodná transformace) je vzdálenost -zachování transformace mezi metrické prostory, obvykle se předpokládá, že je bijektivní.^[1]

A složení ze dvou naproti isometries is a direct isometry. Odraz v řádku je opačná izometrie, jako

R 1

nebo

R 2

na obrázku. Překlad

T

je přímá izometrie: tuhý pohyb.^[2]

Úvod

Vzhledem k metrickému prostoru (volně, množině a schématu pro přiřazování vzdáleností mezi prvky množiny) je izometrie proměna který mapuje prvky do stejného nebo jiného metrického prostoru tak, že vzdálenost mezi prvky obrazu v novém metrickém prostoru se rovná vzdálenosti mezi prvky v původním metrickém prostoru. Ve dvojrozměrném nebo trojrozměrném Euklidovský prostor, dvě geometrické postavy jsou shodný pokud jsou příbuzné izometrií;^[3] izometrie, která je spojuje, je buď tuhý pohyb (translace nebo rotace), nebo a složení tuhého pohybu a odraz.

Izometrie se často používají v konstrukcích, kde je jeden prostor vložený v jiném prostoru. Například dokončení metrického prostoru M zahrnuje izometrii z M do M ', a množina kvocientu prostoru Cauchyovy sekvence na M. Původní prostor M je tedy izometricky izomorfní do podprostoru a kompletní metrický prostor a je obvykle identifikován s tímto podprostorem. Další konstrukce pro vkládání ukazují, že každý metrický prostor je izometricky izomorfní s a uzavřená podmnožina některých normovaný vektorový prostor a že každý úplný metrický prostor je izometricky izomorfní s uzavřenou podmnožinou některých Banachův prostor.

Izometrický surjektivní lineární operátor na a Hilbertův prostor se nazývá a nečleněný operátor.

Definice izometrie

Nechat X a Y být metrické prostory s metrikami d_X a d_Y. A mapa F : X → Y se nazývá izometrie nebo zachování vzdálenosti pokud pro nějaké A,b ∈ X jeden má

{ displaystyle d_ {Y} ! left (f (a), f (b) right) = d_ {X} (a, b).}

^[4]

Izometrie je automaticky injekční;^[1] jinak dva odlišné body, A a b, lze namapovat na stejný bod, což je v rozporu s axiomem shody metriky d. Tento důkaz je podobný důkazu, že vkládání objednávek mezi částečně objednané sady je injekční. Je zřejmé, že každá izometrie mezi metrickými mezerami je topologické vložení.

A globální izometrie, izometrický izomorfismus nebo mapování shody je bijektivní izometrie. Jako každá jiná bijekce má globální izometrie a funkce inverzní. Inverzní globální izometrie je také globální izometrie.

Dva metrické prostory X a Y jsou nazývány izometrické pokud existuje bijektivní izometrie z X na Y. The soubor bijektivních izometrií z metrického prostoru k sobě tvoří a skupina s ohledem na složení funkce, volal izometrická skupina.

Existuje také slabší představa cesta izometrie nebo oblouková izometrie:

A cesta izometrie nebo oblouková izometrie je mapa, která zachovává délky křivek; taková mapa nemusí být nutně izometrií ve smyslu zachování vzdálenosti a nemusí být nutně bijektivní nebo dokonce injektivní. Tento termín je často zkrácen jednoduše izometrie, takže je třeba pečlivě určit z kontextu, který typ je určen.

Příklady

Žádný odraz, překlad a otáčení je globální izometrie Euklidovské prostory. Viz také Euklidovská skupina a Euklidovský prostor § Izometrie.
Mapa ${ displaystyle x mapsto | x |}$ v ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ je cesta izometrie, ale ne izometrie. Všimněte si, že na rozdíl od izometrie není injektivní.

Izometrie mezi normovanými prostory

Následující věta je kvůli Mazurovi a Ulamovi.

Definice:^[5] The střed dvou prvků

X

a

y

ve vektorovém prostoru je vektor

1 / 2 (X + y)

.

Teorém^[5]^[6] — Nechat $A : X \to Y$ být surjektivní izometrií mezi normované prostory který mapuje 0 až 0 (Stefan Banach nazývá se takové mapy rotace) kde si to všimněte $A$ je ne předpokládá se, že lineární izometrie. Pak $A$ mapuje středy na středy a je lineární jako mapa nad reálnými čísly $ℝ$ . Li $X$ a $Y$ jsou tedy složité vektorové prostory $A$ nemusí být lineární jako mapa nad $ℂ$ .

Lineární izometrie

Vzhledem k tomu dva normované vektorové prostory ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle W}$ , a lineární izometrie je lineární mapa ${ displaystyle A: V to W}$ který zachovává normy:

{ displaystyle | Av | = | v |}

pro všechny ${ displaystyle v ve V}$ .^[7] Lineární izometrie jsou mapy zachovávající vzdálenost ve výše uvedeném smyslu. Jsou to globální izometrie, právě když jsou surjektivní.

V vnitřní produktový prostor, výše uvedená definice se snižuje na

{ displaystyle langle v, v rangle = langle Av, Av rangle}

pro všechny ${ displaystyle v ve V}$ , což je ekvivalentní k tomu ${ displaystyle A ^ { dagger} A = operatorname {I} _ {V}}$ . To také znamená, že izometrie zachovávají vnitřní produkty, jako

{ displaystyle langle Au, Av rangle = langle u, A ^ { dagger} Av rangle = langle u, v rangle.}

Lineární izometrie nejsou vždy nečleněné operátory, i když to navíc vyžaduje ${ displaystyle V = W}$ a ${ displaystyle AA ^ { dagger} = operatorname {I} _ {V}}$ .

Podle Mazur – Ulamova věta, jakákoli izometrie normovaných vektorových prostorů R je afinní.

Příklady

Izometrické lineární mapy z Cⁿ sama o sobě jsou dány unitární matice.^[8]^[9]^[10]^[11]

Rozdělovače

Izometrie a potrubí je jakékoli (plynulé) mapování tohoto potrubí do sebe nebo do jiného potrubí, které zachovává představu vzdálenosti mezi body. Definice izometrie vyžaduje pojem a metrický na potrubí; potrubí s (pozitivně určitou) metrikou je a Riemannovo potrubí, jeden s neurčitou metrikou je a pseudo-Riemannovo potrubí. Izometrie jsou tedy studovány v Riemannova geometrie.

A místní izometrie od jednoho (pseudo -)Riemannovo potrubí do jiné je mapa, která odtáhne the metrický tenzor na druhém potrubí do metrického tenzoru na prvním. Když je taková mapa také a difeomorfismus, taková mapa se nazývá izometrie (nebo izometrický izomorfismus) a poskytuje pojem izomorfismus ("stejnost") v kategorie Rm Riemannovských potrubí.

Definice

Nechat ${ displaystyle R = (M, g)}$ a ${ displaystyle R '= (M', g ')}$ být dva (pseudo-) Riemannovy varieté a nechat ${ displaystyle f: R až R '}$ být difeomorfismus. Pak ${ displaystyle f}$ se nazývá izometrie (nebo izometrický izomorfismus) pokud

{ displaystyle g = f ^ {*} g ', ,}

kde ${ displaystyle f ^ {*} g '}$ označuje zarazit hodnosti (0, 2) metrického tenzoru ${ displaystyle g '}$ podle ${ displaystyle f}$ . Ekvivalentně, pokud jde o tlačit kupředu ${ displaystyle f _ {*}}$ , máme to pro libovolná dvě vektorová pole ${ displaystyle v, w}$ na ${ displaystyle M}$ (tj. části tečný svazek ${ displaystyle mathrm {T} M}$ ),

{ displaystyle g (v, w) = g ' left (f _ {*} v, f _ {*} w right). ,}

Li ${ displaystyle f}$ je místní difeomorfismus takhle ${ displaystyle g = f ^ {*} g '}$ , pak ${ displaystyle f}$ se nazývá a místní izometrie.

Vlastnosti

Sbírka izometrií obvykle tvoří skupinu, izometrická skupina. Když je skupina a spojitá skupina, nekonečně malé generátory ze skupiny jsou Zabíjení vektorových polí.

The Myers – Steenrodova věta uvádí, že každá izometrie mezi dvěma spojenými Riemannovými potrubími je hladká (diferencovatelná). Druhá forma této věty uvádí, že izometrická skupina Riemannova potrubí je a Lež skupina.

Riemannovy rozdělovače které mají v každém bodě definované izometrie symetrické prostory.

Zobecnění

Vzhledem k kladnému reálnému číslu ε, an ε-izometrie nebo téměř izometrie (také nazývaný a Hausdorff přiblížení) je mapa ${ displaystyle f: X až Y}$ $f: X až Y$ mezi metrickými prostory tak
1. pro X,X′ ∈ X jeden má |d_Y(ƒ (X), ƒ (X′))−d_X(X,X′) | <ε a
2. pro jakýkoli bod y ∈ Y existuje bod X ∈ X s d_Y(y, ƒ (X)) <ε

To znamená, že ε-izometrie zachovává vzdálenosti uvnitř ε a nezanechává žádný prvek codomain dále než ε od obrazu prvku domény. Všimněte si, že ε-izometrie se nepředpokládají kontinuální.

The omezená izometrická vlastnost charakterizuje téměř izometrické matice pro řídké vektory.
Kvazi-izometrie je další užitečné zobecnění.
Jeden může také definovat prvek v abstraktní unital C * -algebře jako izometrii:
${ displaystyle a in { mathfrak {A}}}$ is isometry if and only if ${ displaystyle a ^ {*} cdot a = 1}$ .

Všimněte si, že jak je uvedeno v úvodu, nemusí to být nutně jednotný prvek, protože obecně nemáme levou inverzi pravou inverzi.

Na pseudoeuklidovský prostor, termín izometrie znamená lineární bijekci zachovávající velikost. Viz také Kvadratické prostory.

Viz také

Reference

^ ^A ^b Coxeter 1969, str. 29
„Zjistíme, že je vhodné toto slovo použít proměna ve zvláštním smyslu osobní korespondence ${ displaystyle P to P '}$ mezi všemi body v rovině (nebo v prostoru), tj. pravidlem pro sdružování dvojic bodů, s tím, že každá dvojice má prvního člena $P$ a druhý člen $P '$ a že každý bod se vyskytuje jako první člen pouze jednoho páru a také jako druhý člen jen jednoho páru ...
Zejména an izometrie (nebo „kongruentní transformace“ nebo „kongruence“) je transformace, která zachovává délku ... “
^ Coxeter 1969, str. 46
3.51 Jakákoli přímá izometrie je buď překlad nebo rotace. Jakákoli opačná izometrie je buď odraz, nebo klouzavý odraz.
^ Coxeter 1969, str. 39
3.11 Jakékoli dva shodné trojúhelníky jsou spojeny jedinečnou izometrií.
^ Beckman, F. S .; Quarles, D. A., Jr. (1953). „Na izometrii euklidovských prostorů“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. PAN 0058193.
Nechat $T$ být transformací (možná s mnoha hodnotami) ${ displaystyle E ^ {n}}$ ( ${ displaystyle 2 leq n < infty}$ ) do sebe.
Nechat ${ displaystyle d (p, q)}$ být vzdálenost mezi body $p$ a $q$ z ${ displaystyle E ^ {n}}$ a nechte $Tp$ , $Tq$ být jakékoli obrázky $p$ a $q$ , resp.
Pokud existuje délka $A$ > 0 takových ${ displaystyle d (Tp, Tq) = a}$ kdykoli ${ displaystyle d (p, q) = a}$ , pak $T$ je euklidovská transformace ${ displaystyle E ^ {n}}$ na sebe.
^ ^A ^b Narici & Beckenstein 2011, str. 275-339.
^ Wilansky 2013, str. 21-26.
^ Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Lineární algebra] (v dánštině). Århus: Katedra matematiky, Aarhuská univerzita. str. 125.
^ Roweis, S. T .; Saul, L. K. (2000). "Snížení nelineární dimenze lokálně lineárním vkládáním". Věda. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313. doi:10.1126 / science.290.5500.2323. PMID 11125150.
^ Saul, Lawrence K .; Roweis, Sam T. (2003). „Přemýšlejte globálně, přizpůsobte se místně: Neomezené učení nelineárních variet.“ Journal of Machine Learning Research. 4 (Červen): 119–155. Kvadratická optimalizace ${ displaystyle mathbf {M} = (I-W) ^ { top} (I-W)}$ (strana 135) takové ${ displaystyle mathbf {M} ekv YY ^ { nahoru}}$
^ Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Hlavní rozdělovače a nelineární zmenšení rozměrů pomocí místního vyrovnání tangenciálního prostoru". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137 / s1064827502419154.
^ Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). „MLLE: Modifikované lokálně lineární vkládání pomocí více vah“. Pokroky v systémech zpracování neurálních informací. 19. Může načíst ideální vložení, pokud se MLLE použije na datové body vzorkované z izometrického potrubí.

Bibliografie

Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Bibliografie

Coxeter, H. S. M. (1969). Úvod do geometrie, druhé vydání. Wiley. ISBN 9780471504580.
Lee, Jeffrey M. (2009). Rozdělovače a diferenciální geometrie. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[CoxeterIsometryDef-1] A ^b Coxeter 1969, str. 29
„Zjistíme, že je vhodné toto slovo použít proměna ve zvláštním smyslu osobní korespondence ${ displaystyle P to P '}$ mezi všemi body v rovině (nebo v prostoru), tj. pravidlem pro sdružování dvojic bodů, s tím, že každá dvojice má prvního člena $P$ a druhý člen $P '$ a že každý bod se vyskytuje jako první člen pouze jednoho páru a také jako druhý člen jen jednoho páru ...
Zejména an izometrie (nebo „kongruentní transformace“ nebo „kongruence“) je transformace, která zachovává délku ... “

[2] Coxeter 1969, str. 46
3.51 Jakákoli přímá izometrie je buď překlad nebo rotace. Jakákoli opačná izometrie je buď odraz, nebo klouzavý odraz.

[3] Coxeter 1969, str. 39
3.11 Jakékoli dva shodné trojúhelníky jsou spojeny jedinečnou izometrií.

[4] Beckman, F. S .; Quarles, D. A., Jr. (1953). „Na izometrii euklidovských prostorů“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. PAN 0058193.
Nechat $T$ být transformací (možná s mnoha hodnotami) ${ displaystyle E ^ {n}}$ ( ${ displaystyle 2 leq n < infty}$ ) do sebe.
Nechat ${ displaystyle d (p, q)}$ být vzdálenost mezi body $p$ a $q$ z ${ displaystyle E ^ {n}}$ a nechte $Tp$ , $Tq$ být jakékoli obrázky $p$ a $q$ , resp.
Pokud existuje délka $A$ > 0 takových ${ displaystyle d (Tp, Tq) = a}$ kdykoli ${ displaystyle d (p, q) = a}$ , pak $T$ je euklidovská transformace ${ displaystyle E ^ {n}}$ na sebe.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275-339-5] A ^b Narici & Beckenstein 2011, str. 275-339.

[FOOTNOTEWilansky201321-26-6] Wilansky 2013, str. 21-26.

[Thomsen_2017_p125-7] Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Lineární algebra] (v dánštině). Århus: Katedra matematiky, Aarhuská univerzita. str. 125.

[8] Roweis, S. T .; Saul, L. K. (2000). "Snížení nelineární dimenze lokálně lineárním vkládáním". Věda. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313. doi:10.1126 / science.290.5500.2323. PMID 11125150.

[9] Saul, Lawrence K .; Roweis, Sam T. (2003). „Přemýšlejte globálně, přizpůsobte se místně: Neomezené učení nelineárních variet.“ Journal of Machine Learning Research. 4 (Červen): 119–155. Kvadratická optimalizace ${ displaystyle mathbf {M} = (I-W) ^ { top} (I-W)}$ (strana 135) takové ${ displaystyle mathbf {M} ekv YY ^ { nahoru}}$

[10] Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Hlavní rozdělovače a nelineární zmenšení rozměrů pomocí místního vyrovnání tangenciálního prostoru". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137 / s1064827502419154.

[11] Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). „MLLE: Modifikované lokálně lineární vkládání pomocí více vah“. Pokroky v systémech zpracování neurálních informací. 19. Může načíst ideální vložení, pokud se MLLE použije na datové body vzorkované z izometrického potrubí.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]