Oprava (geometrie) - Rectification (geometry)

Opravená kostka je a cuboctahedron - hrany zmenšené na vrcholy a vrcholy rozšířené do nových ploch

A usměrněný krychle je osmistěn - tváře se zmenší na body a nové tváře se vystředí na původní vrcholy.

A rektifikovaný kubický plástev - hrany zmenšené na vrcholy a vrcholy rozšířené do nových buněk.

v Euklidovská geometrie, náprava, také známý jako kritické zkrácení nebo úplné zkrácení je proces zkrácení a polytop vyznačením středů všech jeho hran a odříznutím jeho vrcholů v těchto bodech.^[1] Výsledný mnohostěn bude ohraničen vrchol obrázek fazety a opravené fazety původního polytopu.

Operátor opravy je někdy označen písmenem r s Schläfliho symbol. Například, r{4,3} je opravený krychle, také nazývaný a cuboctahedron, a také reprezentován jako ${ displaystyle { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$ . A usměrněný cuboctahedron rr {4,3} je kosočtverec, a také reprezentován jako ${ displaystyle r { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$ .

Conwayova mnohostěnová notace používá A pro ambo jako tento operátor. v teorie grafů tato operace vytvoří a mediální graf.

Oprava každého pravidelného self-dual mnohostěn nebo obklady způsobí další pravidelný mnohostěn nebo obklady s a pořadí obkladů ze 4, například čtyřstěn {3,3} stává se osmistěn {3,4}. Jako zvláštní případ, a čtvercové obklady {4,4} se během operace opravy změní na další čtvercový obklad {4,4}.

Příklad opravy jako konečné zkrácení na hranu

Oprava je konečným bodem procesu zkrácení. Například na krychli tato sekvence zobrazuje čtyři kroky kontinua zkrácení mezi pravidelnou a opravenou formou:

Opravy vyššího stupně

Oprava vyššího stupně může být provedena na výškových pravidelných polytopech. Nejvyšší stupeň nápravy vytváří duální polytop. Náprava zkrátí hrany na body. Birectifikace zkracuje tváře na body. Trirektifikace zkracuje buňky na body atd.

Příklad směrování jako konečné zkrácení tváře

Tato sekvence ukazuje a usměrněná krychle jako konečná sekvence od krychle k duálu, kde jsou původní tváře zkráceny dolů do jediného bodu:

V polygonech

Duál mnohoúhelníku je stejný jako jeho opravený tvar. Nové vrcholy jsou umístěny do středu okrajů původního mnohoúhelníku.

V mnohostěnech a rovinných obkladech

Každý platonická pevná látka a jeho dvojí mít stejný usměrněný mnohostěn. (To neplatí o polytopech ve vyšších dimenzích.)

Ukázalo se, že usměrněný mnohostěn je vyjádřitelný jako průsečík původního platonického tělesa s přivlastněnou zmenšenou soustřednou verzí jeho duální. Z tohoto důvodu je jeho název kombinací jmen originálu a duálu:

Opraveno čtyřstěn, jehož duální je čtyřstěn, je tetratetrahedron, lépe známý jako osmistěn.
Opraveno osmistěn, jehož duální je krychle, je cuboctahedron.
Opraveno dvacetistěnu, jehož duální je dvanáctistěn, je icosidodecahedron.
Opravený čtvercové obklady je čtvercové obklady.
Opravený trojúhelníkové obklady nebo šestihranný obklad je trihexagonal obklady.

Příklady

Rodina	Rodič	Oprava	Dvojí
[p, q]
[3,3]	Čtyřstěn	Octahedron	Čtyřstěn
[4,3]	Krychle	Cuboctahedron	Octahedron
[5,3]	Dodecahedron	Icosidodecahedron	Dvacetistěnu
[6,3]	Šestihranný obklad	Trihexagonální obklady	Trojúhelníkový obklad
[7,3]	Order-3 heptagonal obklady	Triheptagonal obklady	Objednávka 7 trojúhelníkové obklady
[4,4]	Čtvercové obklady	Čtvercové obklady	Čtvercové obklady
[5,4]	Objednávka 4 pětiúhelníkové obklady	Tetrapentagonální obklady	Objednávka-5 čtvercových obkladů

V nepravidelných mnohostěnech

Pokud mnohostěn není pravidelný, nemusí být středové body okraje obklopující vrchol koplanární. V tomto případě je však stále možná forma nápravy: každý mnohostěn má a polyedrický graf jako jeho 1-kostra a z tohoto grafu lze vytvořit mediální graf umístěním vrcholu do každého středu hrany původního grafu a spojením dvou z těchto nových vrcholů hranou, kdykoli patří k následným hranám podél společné plochy. Výsledný mediální graf zůstává mnohostěnný, tedy o Steinitzova věta to může být reprezentováno jako mnohostěn.

The Conwayova mnohostěnová notace ekvivalent opravy je ambo, reprezentováno A. Použití dvakrát aa„(oprava opravy) je Conwayova rozšířit úkon, E, což je stejné jako u Johnsona cantellation provoz, t_0,2 generované z pravidelných mnohostěnů a obkladů.

Ve 4-polytopech a 3D voštinových mozaikách

Každý Konvexní pravidelný 4-polytop má opravenou podobu jako jednotný 4-polytop.

Pravidelný 4-mnohostěn {p, q, r} má buňky {p, q}. Jeho oprava bude mít dva typy buněk, opravený {p, q} mnohostěn vlevo od původních buněk a {q, r} mnohostěn jako nové buňky tvořené každým zkráceným vrcholem.

Opravený {p, q, r} však není stejný jako opravený {p, q, r}. Zavolalo se další zkrácení bitruncation, je symetrický mezi 4-mnohostěnem a jeho dvojím. Vidět Jednotný 4-polytop # Geometrické derivace.

Příklady

Rodina	Rodič	Oprava	Směrování (Duální oprava)	Trirektifikace (Dvojí)
[p,q,r]	{p,q,r}	r {p,q,r}	2r {p,q,r}	3r {p,q,r}
[3,3,3]	5článková	rektifikovaný 5článkový	rektifikovaný 5článkový	5článková
[4,3,3]	tesseract	opravený tesseract	Rektifikovaný 16 buněk (24článková )	16 buněk
[3,4,3]	24článková	rektifikovaná 24článková	rektifikovaná 24článková	24článková
[5,3,3]	120 buněk	rektifikovaný 120 buněk	opraveno 600 buněk	600 buněk
[4,3,4]	Krychlový plástev	Rektifikovaný kubický plástev	Rektifikovaný kubický plástev	Krychlový plástev
[5,3,4]	Order-4 dodecahedral	Rectified order-4 dodecahedral	Opravená objednávka - 5 kubických	Objednávka-5 kubických

Stupně nápravy

První oprava zkrátí hrany dolů na body. Pokud je mnohostěn pravidelný, tento formulář je reprezentován rozšířeným Schläfliho symbol notace t₁{p, q, ...} nebo r{p, q, ...}.

Druhá oprava, nebo směrování, zkráceně tváře až na body. Je-li pravidelný, má notaci t₂{p, q, ...} nebo 2r{p, q, ...}. Pro mnohostěn, birectification vytvoří a duální mnohostěn.

U výškově dimenzionálních polytopů lze zkonstruovat opravy vyššího stupně. Obecně se n-rektifikace zkracuje n-tváře na body.

Pokud je n-polytop opraven (n-1), je jeho fazety jsou redukovány na body a mnohostěn se stává jeho dvojí.

Zápisy a fazety

Pro každý stupeň opravy existují různé ekvivalentní notace. Tyto tabulky zobrazují názvy podle dimenze a dvou typů fazety pro každého.

Pravidelný mnohoúhelníky

Fazety jsou hrany, reprezentované jako {2}.

název {p}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	Vertikální Schläfliho symbol
název {p}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	název	Facet-1	Facet-2
Rodič		t₀{p}	{p}	{2}
Opraveno		t₁{p}	{p}		{2}

Pravidelný mnohostěn a obklady

Fazety jsou pravidelné polygony.

název {p, q}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	Vertikální Schläfliho symbol
název {p, q}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	název	Facet-1	Facet-2
Rodič	=	t₀{p, q}	{p, q}	{p}
Opraveno	=	t₁{p, q}	r {p, q} = ${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	{p}	{q}
Usměrněný	=	t₂{p, q}	{q, p}		{q}

Pravidelný Jednotné 4-polytopy a voštiny

Fazety jsou pravidelné nebo opravené mnohostěny.

název {p, q, r}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	Rozšířené Schläfliho symbol
název {p, q, r}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	název	Facet-1	Facet-2
Rodič		t₀{p, q, r}	{p, q, r}	{p, q}
Opraveno		t₁{p, q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q, r end {Bmatrix}}}$ = r {p, q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$ = r {p, q}	{q, r}
Usměrněný (Dual rektifikováno)		t₂{p, q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p r end {Bmatrix}}}$ = r {r, q, p}	{q, r}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q r end {Bmatrix}}}$ = r {q, r}
Trirectified (Dvojí)		t₃{p, q, r}	{r, q, p}		{r, q}

Pravidelný 5-polytopes a 4-prostor voštiny

Fazety jsou pravidelné nebo opravené 4-polytopy.

název {p, q, r, s}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	Rozšířené Schläfliho symbol
název {p, q, r, s}	Coxeterův diagram	t-notace Schläfliho symbol	název	Facet-1	Facet-2
Rodič		t₀{p, q, r, s}	{p, q, r, s}	{p, q, r}
Opraveno		t₁{p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q, r, s end {Bmatrix}}}$ = r {p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q, r end {Bmatrix}}}$ = r {p, q, r}	{q, r, s}
Usměrněný (Usměrněný duální)		t₂{p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p r, s end {Bmatrix}}}$ = 2r {p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p r end {Bmatrix}}}$ = r {r, q, p}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q r, s end {Bmatrix}}}$ = r {q, r, s}
Trirectified (Rektifikovaný duální)		t₃{p, q, r, s}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} r, q, p s konec {Bmatrix}}}$ = r {s, r, q, p}	{r, q, p}	${ displaystyle { begin {Bmatrix} r, q s end {Bmatrix}}}$ = r {s, r, q}
Quadrirectified (Dvojí)		t₄{p, q, r, s}	{s, r, q, p}		{s, r, q}

Viz také

Reference

^ Weisstein, Eric W. „Oprava“. MathWorld.

Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8 (str. 145–154 Kapitola 8: Zkrácení)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)

externí odkazy

Olshevsky, Georgi. „Oprava“. Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.

Operátoři mnohostěnů
[
proti
t
E
]
Semínko	Zkrácení	Oprava	Bitruncation	Dvojí	Expanze	Omnitruncation	Střídání


t₀{p, q} {p, q}	t₀₁{p, q} t {p, q}	t₁{p, q} r {p, q}	t₁₂{p, q} 2t {p, q}	t₂{p, q} 2r {p, q}	t₀₂{p, q} rr {p, q}	t₀₁₂{p, q} tr {p, q}	ht₀{p, q} h {q, p}	ht₁₂{p, q} s {q, p}	ht₀₁₂{p, q} sr {p, q}

[1] Weisstein, Eric W. „Oprava“. MathWorld.

[1]