Snub (geometrie) - Snub (geometry)

Ti dva se ušklíbli Archimédovy pevné látky
Snub kostka nebo Utlumit cuboctahedron	Utlumit dvanáctistěn nebo Utlumit icosidodecahedron

Dvě chirální kopie tupé krychle, jako střídavé (červené nebo zelené) vrcholy zkráceného cuboctahedronu.

A urážka kostka lze postavit z a kosočtverec otáčením 6 modrých hranatých ploch, dokud se z 12 bílých hranatých ploch nestanou páry rovnostranných ploch trojúhelníku.

v geometrie, a urážet je operace aplikovaná na mnohostěn. Termín pochází z Kepler jména dvou Archimédovy pevné látky, pro urážka kostka (cubus simus) a urážet dvanáctistěn (dodecaedron simum).^[1] Obecně platí, že snubi mají chirální symetrii se dvěma formami: s orientací ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Podle Keplerových jmen lze na urážku pohlížet jako na expanze běžného mnohostěnu: posunutí ploch od sebe, jejich kroucení kolem jejich středů, přidání nových mnohoúhelníků na střed původních vrcholů a přidání dvojic trojúhelníků zapadajících mezi původní hrany.

Terminologii zobecnil Coxeter, s mírně odlišnou definicí, pro širší soubor jednotné polytopy.

Conway snubs

John Conway prozkoumal zobecněné operátory mnohostěnů a definoval, co se nyní nazývá Conwayova mnohostěnová notace, které lze aplikovat na mnohostěny a obklady. Conway volá operaci Coxetera a semi-urážka.^[2]

V této notaci urážet je definován dvojím a gyroskop operátoři, as s = dg, a je ekvivalentní s střídání zkrácení o ambo operátor. Samotná Conwayova notace se vyhýbá Coxeterově střídavé (poloviční) operaci, protože platí pouze pro mnohostěny s pouze sudými plochami.

Odmítl pravidelné postavy
Formuláře k urážce	Mnohostěn			Euklidovské obklady		Hyperbolické obklady
Jména	Čtyřstěn	Krychle nebo osmistěn	Dvacetistěnu nebo dvanáctistěn	Čtvercové obklady	Šestihranný obklad nebo Trojúhelníkový obklad	Heptagonální obklady nebo Objednávka 7 trojúhelníkové obklady
snímky
Odmítnutá forma Conway notace	Svatý	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ₇
obraz

Ve 4-dimenzích navrhuje Conway potlačit 24 buněk by měl být nazýván a semi-snub 24-cell protože na rozdíl od trojrozměrných útlumových mnohostěnů se střídají všudypřítomné formy, nejedná se o střídané omnitruncated 24-cell. Místo toho se vlastně střídá zkrácený 24 buněk.^[3]

Coxeterovy urážky, pravidelné a kvaziregulární

Snub kostka, odvozený z kostky nebo cuboctahedron
název	Krychle	Cuboctahedron Rektifikovaná kostka	Zkrácený cuboctahedron Cantitruncated krychle	Utlumit cuboctahedron Usnadnit usměrněnou kostku
	Semínko	Opraveno r	Zkráceno t	Střídavě h
Conwayova notace	C	CO rC	tCO trC nebo trO	htCO = sCO htrC = srC
Schläfliho symbol	{4,3}	${displaystyle {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$ nebo r {4,3}	${displaystyle t {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$ nebo tr {4,3}	${displaystyle ht {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}} = s {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$ htr {4,3} = sr {4,3}
Coxeterův diagram		nebo	nebo	nebo
obraz

Coxeter Terminologie urážky je poněkud odlišná, což znamená střídal zkrácení, odvozující urážka kostka jako urážet cuboctahedron a urážet dvanáctistěn jako urážet icosidodecahedron. Tato definice se používá při pojmenování dvou Johnson pevné látky: potlačit disphenoid a potlačit čtvercový antiprism, a polytopů vyšších dimenzí, jako je například 4-dimenzionální potlačit 24 buněk, s rozšířeným Schläfliho symbolem s {3,4,3} a Coxeterovým diagramem .

A pravidelný mnohostěn (nebo obklady), se symbolem Schläfli ${displaystyle {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$ , a Coxeterův diagram , má zkrácení definováno jako ${displaystyle t {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$ , a , a má urážku definovanou jako střídal zkrácení ${displaystyle ht {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}} = s {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$ , a . Tato alternativní konstrukce vyžaduje q být vyrovnaný.

A kvaziregulární mnohostěn, se symbolem Schläfli ${displaystyle {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$ nebo r{p,q} a Coxeterův diagram nebo , má quasiregular zkrácení definováno jako ${displaystyle t {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$ nebo tr{p,q}, a nebo , a má quasiregular snub definovaný jako střídal zkrácená náprava ${displaystyle ht {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}} = s {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$ nebo htr{p,q} = sr{p,q}, a nebo .

Například Kepler urážka kostka je odvozen od kvaziregula cuboctahedron, se svislou Schläfliho symbol ${displaystyle {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$ , a Coxeterův diagram , a tak se explicitněji nazývá a potlačit cuboctahedron, vyjádřeno svislým Schläfliho symbolem ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$ a Coxeterův diagram . Tlumič kvádru je střídáním zkrácený cuboctahedron, ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$ , a .

Pravidelné mnohostěny s vrcholy sudého řádu lze také potlačit jako alternativní zkrácení, jako je potlačit osmistěn, tak jako ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3,4end {Bmatrix}}}$ , , je střídání zkrácený osmistěn, ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 3,4end {Bmatrix}}}$ , a . The potlačit osmistěn představuje pseudoikosahedron pravidelný dvacetistěnu s pyritohedrální symetrie.

The potlačit tetratetrahedron, tak jako ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$ , a , je střídání komolé čtyřstěnné symetrie, ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$ , a .

název	Octahedron	Zkráceno osmistěn	Utlumit osmistěn
	Semínko	Zkráceno t	Střídavě h
Conwayova notace	Ó	na	htO nebo sO
Schläfliho symbol	{3,4}	t {3,4}	ht {3,4} = s {3,4}
Coxeterův diagram
obraz

Provoz tlumiče Coxeter také umožňuje n-antiprismy být definován jako ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 nend {Bmatrix}}}$ nebo ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2,2nend {Bmatrix}}}$ , na základě n-hranolů ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 2 nend {Bmatrix}}}$ nebo ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 2,2nend {Bmatrix}}}$ , zatímco ${displaystyle {egin {Bmatrix} 2, nend {Bmatrix}}}$ je pravidelný n-hosohedron, zdegenerovaný mnohostěn, ale platný obklad na kouli s digon nebo lune - tváře ve tvaru.

Snub hosohedra, {2,2p}
obraz
Coxeter diagramy							... ...
Schläfli symboly	s {2,4}	s {2,6}	s {2,8}	s {2,10}	s {2,12}	s {2,14}	s {2,16}...	s {2, ∞}
Schläfli symboly	sr {2,2} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 2end {Bmatrix}}}$	sr {2,3} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 3end {Bmatrix}}}$	sr {2,4} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 4end {Bmatrix}}}$	sr {2,5} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 5end {Bmatrix}}}$	sr {2,6} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 6end {Bmatrix}}}$	sr {2,7} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 7end {Bmatrix}}}$	sr {2,8} ... ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 8end {Bmatrix}}}$ ...	sr {2, ∞} ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 infty end {Bmatrix}}}$
Conway notace	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8 ...	A∞

Stejný postup platí i pro obklady s tlumením:

Trojúhelníkový obklad Δ	Zkráceno trojúhelníkové obklady tΔ	Tlumené trojúhelníkové obklady htΔ = sΔ
{3,6}	t {3,6}	ht {3,6} = s {3,6}

Příklady

Odmítnutí založené na {p, 4}
Prostor	Sférické		Euklidovský	Hyperbolický
obraz
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	s {2,4}	s {3,4}	s {4,4}	s {5,4}	s {6,4}	s {7,4}	s {8,4}	...s {∞, 4}

Quasiregular snubs based on r {p, 3}
Conway notace	Sférické				Euklidovský	Hyperbolický
obraz
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	sr {2,3}	sr {3,3}	sr {4,3}	sr {5,3}	sr {6,3}	sr {7,3}	sr {8,3}	...sr {∞, 3}
Schläfli symbol	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 4 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 5 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 6 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 7 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 8 3end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} infty 3end {Bmatrix}}}$
Conway notace	A3	Svatý	sC nebo sO	sD nebo sI	sΗ nebo sΔ

Quasiregular snubs based on r {p, 4}
Prostor	Sférické		Euklidovský	Hyperbolický
obraz
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	sr {2,4}	sr {3,4}	sr {4,4}	sr {5,4}	sr {6,4}	sr {7,4}	sr {8,4}	...sr {∞, 4}
Schläfli symbol	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 2 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 4 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 5 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 6 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 7 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} 8 4end {Bmatrix}}}$	${displaystyle s {egin {Bmatrix} infty 4end {Bmatrix}}}$
Conway notace	A4	sC nebo sO	sQ

Nejednotný tupý mnohostěn

Lze potlačit nejednotné mnohostěny se všemi vrcholy rovnoměrného valance, včetně některých nekonečných sad; například:

Odmítnout bipyramidy sdt {2, p}
Tlumený čtvercový bipyramid


Tlumit šestihranný bipyramid

Snub usměrněné bipyramidy srdt {2, p}

Potlačení antiprismů s {2,2p}
obraz				...
Schläfli symboly	ss {2,4}	ss {2,6}	ss {2,8}	ss {2,10} ...
Schläfli symboly	SSR {2,2} ${displaystyle ss {egin {Bmatrix} 2 2end {Bmatrix}}}$	SSR {2,3} ${displaystyle ss {egin {Bmatrix} 2 3end {Bmatrix}}}$	SSR {2,4} ${displaystyle ss {egin {Bmatrix} 2 4end {Bmatrix}}}$	sr {2,5} ... ${displaystyle ss {egin {Bmatrix} 2 5end {Bmatrix}}}$

Coxeterův uniformní urážlivý hvězdný mnohostěn

Pochmurné hvězdné mnohostěny jsou konstruovány podle jejich Schwarzův trojúhelník (p q r), s racionálně uspořádanými zrcadlovými úhly a všechna zrcadla aktivní a střídaná.

Zhnusená uniformní hvězdná mnohostěna
s {3 / 2,3 / 2}	s {(3,3,5 / 2)}	sr {5,5 / 2}	s {(3,5,5 / 3)}	sr {5 / 2,3}
sr {5 / 3,5}	s {(5 / 2,5 / 3,3)}	sr {5 / 3,3}	s {(3 / 2,3 / 2,5 / 2)}	s {3 / 2,5 / 3}

Vyšší dimenze společnosti Coxeter potlačila polytopy a voštiny

Obecně platí, že pravidelný polychoron s Schläfliho symbol ${displaystyle {egin {Bmatrix} p, q, rend {Bmatrix}}}$ , a Coxeterův diagram , má urážku s rozšířený Schläfliho symbol ${displaystyle s {egin {Bmatrix} p, q, rend {Bmatrix}}}$ , a .

Usměrněný polychoron ${displaystyle {egin {Bmatrix} p q, rend {Bmatrix}}}$ = r {p, q, r}, a má symbol urážky ${displaystyle s {egin {Bmatrix} p q, rend {Bmatrix}}}$ = sr {p, q, r}, a .

Příklady

Ortogonální projekce potlačit 24 buněk

Ve 4-dimenzích je pouze jeden jednotný konvexní útlum, potlačit 24 buněk. Pravidelný 24článková má Schläfliho symbol, ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3,4,3end {Bmatrix}}}$ , a Coxeterův diagram a snubní 24-buňka je reprezentována ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3,4,3end {Bmatrix}}}$ , Coxeterův diagram . Má také index 6 konstrukcí nižší symetrie jako ${displaystyle sleft {{egin {pole} {l} 3 3 3end {pole}} vpravo}}$ nebo s {3^1,1,1} a a index 3 subsymmetrie jako ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 3,4end {Bmatrix}}}$ nebo sr {3,3,4} a nebo .

Související potlačit 24článkový plástev může být viděn jako ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3,4,3,3end {Bmatrix}}}$ nebo s {3,4,3,3} a a nižší symetrie ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 3,4,3end {Bmatrix}}}$ nebo sr {3,3,4,3} a nebo a tvar nejnižší symetrie jako ${displaystyle sleft {{egin {pole} {l} 3 3 3 3end {pole}} vpravo}}$ nebo s {3^1,1,1,1} a .

Euklidovský plástev je střídaný plástev s šestihrannou deskou, s {2,6,3} a nebo sr {2,3,6} a nebo sr {2,3^[3]}, a .

Dalším euklidovským (scaliformním) plástem je střídavý voštinový tvar čtvercové desky, s {2,4,4} a nebo sr {2,4^1,1} a :

Jediným jednotným hyperbolickým jednotným plástem je uklidnit šestihranný obkladový plástev, as s {3,6,3} a , které lze také zkonstruovat jako střídavý šestihranný obkladový plástev, h {6,3,3}, . Je také konstruován jako s {3^[3,3]} a .

Další hyperbolický (scaliformní) plástev je a snub order-4 octahedral honeycomb, s {3,4,4} a .

Viz také

Utlumit mnohostěn

Operátoři mnohostěnů
[
proti
t
E
]
Semínko	Zkrácení	Oprava	Bitruncation	Dvojí	Expanze	Omnitruncation	Střídání


t₀{p, q} {p, q}	t₀₁{p, q} t {p, q}	t₁{p, q} r {p, q}	t₁₂{p, q} 2t {p, q}	t₂{p, q} 2r {p, q}	t₀₂{p, q} rr {p, q}	t₀₁₂{p, q} tr {p, q}	ht₀{p, q} h {q, p}	ht₁₂{p, q} s {q, p}	ht₀₁₂{p, q} sr {p, q}

Reference

^ Kepler, Harmonices Mundi, 1619
^ Conway, (2008) str.287 Coxeterova operace s částečným tlumením
^ Conway, 2008, s. 401 Gossetův polořadý polyoktaedron

Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S .; Miller, J. C. P. (1954). "Jednotná mnohostěna". Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy. Královská společnost. 246 (916): 401–450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. doi:10.1098 / rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. PAN 0062446.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8 (str. 154–156 8,6 Částečné zkrácení nebo střídání)
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [2]
- (Papír 17) Coxeter, Vývoj Coxeter – Dynkinových diagramů„[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
Weisstein, Eric W. „Snubification“. MathWorld.
Richard Klitzing, Útržky, střídané fasety a Stott – Coxeter – Dynkinovy diagramy, Symetrie: Culture and Science, Vol. 21, č. 4, 329–344, (2010) [3]

[1] Kepler, Harmonices Mundi, 1619

[2] Conway, (2008) str.287 Coxeterova operace s částečným tlumením

[3] Conway, 2008, s. 401 Gossetův polořadý polyoktaedron

[1]

[2]

[3]