Orbifold notace - Orbifold notation - Wikipedia

v geometrie, orbifold notace (nebo orbifold podpis) je systém, který vynalezl matematik John Conway, pro reprezentaci typů skupiny symetrie ve dvourozměrných prostorech konstantního zakřivení. Výhodou notace je, že popisuje tyto skupiny způsobem, který označuje mnoho vlastností skupin: zejména vyplývá William Thurston při popisu orbifold získá se převzetím kvocientu Euklidovský prostor posuzovanou skupinou.

Skupiny reprezentovatelné v této notaci zahrnují bodové skupiny na koule ( ${ displaystyle S ^ {2}}$ ), vlysové skupiny a skupiny tapet z Euklidovské letadlo ( ${ displaystyle E ^ {2}}$ ) a jejich analogy na internetu hyperbolická rovina ( ${ displaystyle H ^ {2}}$ ).

Definice zápisu

Ve skupině popsané orbifoldovou notací se mohou vyskytnout následující typy euklidovské transformace:

odraz přes čáru (nebo rovinu)
překlad vektorem
rotace konečného řádu kolem bodu
nekonečné otáčení kolem čáry ve 3 prostoru
klouzavý odraz, tj. odraz následovaný překladem.

Předpokládá se, že všechny překlady, které se vyskytnou, tvoří diskrétní podskupinu popsaných skupinových symetrií.

Každá skupina je označena orbifold notací konečným řetězcem vytvořeným z následujících symbolů:

pozitivní celá čísla ${ displaystyle 1,2,3, dots}$
the nekonečno symbol, ${ displaystyle infty}$
the hvězdička, *
symbol Ó (plný kruh ve starších dokumentech), který se nazývá a divit se a také a Rukojeť protože topologicky představuje torus (1 rukojeť) uzavřený povrch. Vzory se opakují dvěma překlady.
symbol ${ displaystyle times}$ (otevřený kruh ve starších dokumentech), který se nazývá a zázrak a představuje topologickou crosscap kde se vzor opakuje jako zrcadlový obraz bez překročení zrcadlové čáry.

Řetězec napsaný v tučně představuje skupinu symetrií euklidovského 3-prostoru. Řetězec, který není napsán tučně, představuje skupinu symetrií euklidovské roviny, o které se předpokládá, že obsahuje dva nezávislé překlady.

Každý symbol odpovídá odlišné transformaci:

celé číslo n nalevo od hvězdičky označuje a otáčení řádu n kolem a gyrační bod
celé číslo n napravo od hvězdičky označuje transformaci řádu 2n který se otáčí kolem kaleidoskopického bodu a odráží se přímkou (nebo rovinou)
an ${ displaystyle times}$ označuje klouzavý odraz
symbol ${ displaystyle infty}$ označuje nekonečnou rotační symetrii kolem čáry; může nastat pouze u tučných skupin obličejů. Zneužíváním jazyka bychom mohli říci, že taková skupina je podskupinou symetrií euklidovské roviny s jediným nezávislým překladem. The vlysové skupiny nastat tímto způsobem.
výjimečný symbol Ó označuje, že existují přesně dva lineárně nezávislé překlady.

Dobré kruhy

Nazývá se symbol orbifold dobrý pokud nejde o jednu z následujících možností: p, pq, *p, *pq, pro p, q≥2, a p ≠ q.

Chirality a achirality

Objekt je chirální pokud jeho skupina symetrie neobsahuje žádné odrazy; jinak se to nazývá achirál. Odpovídající orbifold je orientovatelný v chirálním případě a jinak neorientovatelný.

Eulerova charakteristika a řád

The Eulerova charakteristika z orbifold lze číst z jeho symbolu Conway následujícím způsobem. Každá funkce má hodnotu:

n bez nebo dříve se hvězdička počítá jako ${ displaystyle { frac {n-1} {n}}}$
n poté, co se hvězdička počítá jako ${ displaystyle { frac {n-1} {2n}}}$
hvězdička a ${ displaystyle times}$ počítat jako 1
Ó počítá se jako 2.

Odečtením součtu těchto hodnot od 2 získá Eulerovu charakteristiku.

Pokud je součet hodnot prvků 2, je pořadí nekonečné, tj. Notace představuje skupinu tapet nebo skupinu vlysů. Conwayova „Magic Theorem“ ve skutečnosti naznačuje, že 17 skupin tapet je přesně těch, jejichž součet hodnot funkcí se rovná 2. Jinak je pořadí 2 děleno Eulerovou charakteristikou.

Stejné skupiny

Následující skupiny jsou izomorfní:

1 * a * 11
22 a 221
* 22 a * 221
2 * a 2 * 1.

Je to proto, že 1násobná rotace je „prázdná“ rotace.

Dvojrozměrné skupiny

Perfektní sněhová vločka bude mít * 6 • symetrii,	The Pentagon má symetrii * 5 •, celý obrázek se šipkami 5 •.	The Vlajka Hongkongu má 5násobnou symetrii rotace, 5 •.

The symetrie a 2D objekt bez translační symetrie lze popsat typem 3D symetrie přidáním třetí dimenze k objektu, která nepřidává ani nezkazí symetrii. Například u 2D obrazu můžeme uvažovat o kusu kartonu s tímto obrázkem zobrazeným na jedné straně; tvar kartonu by měl být takový, aby nezkazil symetrii, nebo si lze představit, že je nekonečný. Tak to máme n• a *n•. The kulka (•) je přidán na jednorozměrné a dvourozměrné skupiny, aby naznačil existenci pevného bodu. (Ve třech dimenzích tyto skupiny existují v n-násobku digonal orbifold a jsou reprezentovány jako nn a *nn.)

Podobně, a 1D obrázek lze nakreslit vodorovně na kus kartonu, s ustanovením, aby se zabránilo další symetrii vzhledem k linii obrázku, např. nakreslením vodorovného pruhu pod obrázkem. Tedy diskrétní skupiny symetrie v jedné dimenzi jsou * •, * 1 •, ∞ • a * ∞ •.

Dalším způsobem konstrukce 3D objektu z 1D nebo 2D objektu pro popis symetrie je použití kartézský součin objektu a asymetrický 2D nebo 1D objekt.

Korespondenční tabulky

Sférické

Základní domény reflexních 3D skupin bodů
(* 11), C._1v= C._s	(* 22), C._2v	(* 33), C._3v	(* 44), C._4v	(* 55), C._5v	(* 66), C._6v
Objednávka 2	Objednávka 4	Objednávka 6	Objednávka 8	Objednávka 10	Objednávka 12
(* 221), D_{1 hod}= C._2v	(* 222), D_2h	(* 223), D_3h	(* 224), D_4h	(* 225), D_5h	(* 226), D_6h
Objednávka 4	Objednávka 8	Objednávka 12	Objednávka 16	Objednávka 20	Objednávka 24
(* 332), T_d		(* 432), O._h		(* 532), I_h
Objednávka 24		Objednávka 48		Objednávka 120

Skupiny sférické symetrie^[1]
Orbifold Podpis	Coxeter	Schönflies	Hermann – Mauguin	Objednat
Polyedrické skupiny
*532	[3,5]	Já_h	53 m	120
532	[3,5]⁺	Já	532	60
*432	[3,4]	Ó_h	m3m	48
432	[3,4]⁺	Ó	432	24
*332	[3,3]	T_d	43 m	24
3*2	[3⁺,4]	T_h	m3	24
332	[3,3]⁺	T	23	12
Dihedrální a cyklické skupiny: n = 3,4,5 ...
* 22n	[2, n]	D_nh	n / mmm nebo 2nm2	4n
2 * n	[2⁺, 2n]	D_nd	2n2 m nebo nm	4n
22n	[2, n]⁺	D_n	n2	2n
* nn	[n]	C_nv	nm	2n
n *	[č⁺,2]	C_nh	n / m nebo 2n	2n
n ×	[2⁺, 2n⁺]	S_2n	2n nebo n	2n
nn	[n]⁺	C_n	n	n
Speciální případy
*222	[2,2]	D_2h	2 / mmm nebo 22m2	8
2*2	[2⁺,4]	D_2d	222 m nebo 2m	8
222	[2,2]⁺	D₂	22	4
*22	[2]	C_2v	2 m	4
2*	[2⁺,2]	C_2h	2 / m nebo 22	4
2×	[2⁺,4⁺]	S₄	22 nebo 2	4
22	[2]⁺	C₂	2	2
*22	[1,2]	D_{1 hod}= C._2v	1 / mmm nebo 21m2	4
2*	[2⁺,2]	D_1d= C._2h	212 m nebo 1m	4
22	[1,2]⁺	D₁= C.₂	12	2
*1	[ ]	C_1v= C._s	1 m	2
1*	[2,1⁺]	C_{1 hod}= C._s	1 / m nebo 21	2
1×	[2⁺,2⁺]	S₂= C._i	21 nebo 1	2
1	[ ]⁺	C₁	1	1

Euklidovské letadlo

Vlysové skupiny

Vlysové skupiny
IUC	Kormidelník	Schön^* Struct.	Diagram^§ Orbifold	Příklady a Conway přezdívka^[2]	Popis
p1	[∞]⁺	C_∞ Z_∞	∞∞	F F F F F F F F poskok	(T) Pouze překlady: Tato skupina je jednotlivě generována překladem o nejmenší vzdálenost, na které je vzor periodický.
p11g	[∞⁺,2⁺]	S_∞ Z_∞	∞×	Γ L Γ L Γ L Γ L krok	(TG) Klouzavé odrazy a překlady: Tato skupina je jednotlivě generována klouzavým odrazem, přičemž překlady jsou získány kombinací dvou klouzavých odrazů.
p1m1	[∞]	C_.V Dih_∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ blížit se bokem	(TV) Svislé odrazové čáry a překlady: Skupina je stejná jako netriviální skupina v jednorozměrném případě; je generován posunem a odrazem ve svislé ose.
p2	[∞,2]⁺	D_∞ Dih_∞	22∞	S S S S S S S S předení hop	(TR) Překlady a otočení o 180 °: Skupina je generována překladem a otočením o 180 °.
p2mg	[∞,2⁺]	D_.D Dih_∞	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ točící se	(TRVG) Svislé odrazové čáry, Klouzavé odrazy, Překlady a 180 ° rotace: Překlady zde vznikají z klouzavých odrazů, takže tato skupina je generována klouzavým odrazem a buď rotací nebo vertikálním odrazem.
p11m	[∞⁺,2]	C_.H Z_∞× Dih₁	∞*	B B B B B B B B skok	(THG) Překlady, Horizontální odrazy, Klouzavé odrazy: Tato skupina je generována translací a odrazem ve vodorovné ose. Klouzavý odraz zde vzniká jako složení translace a horizontálního odrazu
p2mm	[∞,2]	D_.H Dih_∞× Dih₁	*22∞	H H H H H H H H rotující skok	(TRHVG) Vodorovné a svislé odrazové čáry, překlady a otočení o 180 °: Tato skupina vyžaduje tři generátory, přičemž jednu generující sadu tvoří překlad, odraz ve vodorovné ose a odraz ve svislé ose.

^*Schönfliesova bodová skupinová notace je zde rozšířena jako nekonečné případy ekvivalentních symetrií bodů vzepětí

^§Diagram ukazuje jeden základní doména žlutě, s reflexními čarami modře, klouzající reflexní čáry přerušovanou zelenou barvou, normály překladu červeně a 2násobné body gyrace jako malé zelené čtverce.

Skupiny tapet

Základní domény euklidovských reflexních skupin
(* 442), p4m	(4 * 2), p4g

(* 333), p3m	(632), s. 6

17 skupiny tapet^[3]
Orbifold Podpis	Coxeter	Hermann - Mauguin	Speiser Niggli	Polya Guggenhein	Fejes Toth Cadwell
*632	[6,3]	p6m	C^(Já)_6v	D₆	Ž¹₆
632	[6,3]⁺	p6	C^(Já)₆	C₆	Ž₆
*442	[4,4]	p4m	C^(Já)₄	D^*₄	Ž¹₄
4*2	[4⁺,4]	p4g	C^II_4v	D^Ó₄	Ž²₄
442	[4,4]⁺	p4	C^(Já)₄	C₄	Ž₄
*333	[3^[3]]	p3m1	C^II_3v	D^*₃	Ž¹₃
3*3	[3⁺,6]	31 m	C^Já_3v	D^Ó₃	Ž²₃
333	[3^[3]]⁺	p3	C^Já₃	C₃	Ž₃
*2222	[∞,2,∞]	pmm	C^Já_2v	D₂kkkk	Ž²₂
2*22	[∞,2⁺,∞]	cmm	C^IV_2v	D₂kg kg	Ž¹₂
22*	[(∞,2)⁺,∞]	pmg	C^III_2v	D₂kkgg	Ž³₂
22×	[∞⁺,2⁺,∞⁺]	pgg	C^II_2v	D₂gggg	Ž⁴₂
2222	[∞,2,∞]⁺	p2	C^(Já)₂	C₂	Ž₂
**	[∞⁺,2,∞]	odpoledne	C^Já_s	D₁kk	Ž²₁
*×	[∞⁺,2⁺,∞]	cm	C^III_s	D₁kg	Ž¹₁
××	[∞⁺,(2,∞)⁺]	str	C^II₂	D₁např	Ž³₁
Ó	[∞⁺,2,∞⁺]	p1	C^(Já)₁	C₁	Ž₁

Hyperbolické letadlo

Poincaré model disku základní domény trojúhelníky
Příklad pravoúhlých trojúhelníků (* 2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Příklad obecných trojúhelníků (* pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*6³	*∞³
Příklad vyšších polygonů (* pqrs ...)
*2223	*(23)²	*(24)²	*3⁴	*4⁴
*2⁵	*2⁶	*2⁷	*2⁸
*222∞	*(2∞)²	*∞⁴	*2^∞	*∞^∞

Prvních několik hyperbolických skupin seřazených podle jejich Eulerovy charakteristiky je:

Skupiny hyperbolické symetrie^[4]
-1 / χ	Orbifolds	Coxeter
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3]⁺
40	*245	[5,4]
36 - 26.4	239, 2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	2 3 12, 246, 334, 34, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3⁺,8], [8,3]⁺
22.3 - 21	2 3 13, 2 3 14	[13,3], [14,3]
20	2 3 15, 255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5⁺,4], [5,4]⁺
19.2	*2 3 16	[16,3]
18+2/3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3]⁺
17.5 - 16.2	2 3 19, 2 3 20, 2 3 21, 2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	2 3 24, 248	[24,3], [8,4]
15	2 3 30, 256, 335, 35, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3⁺,10], [10,3]⁺
14+2/5 - 13+1/3	2 3 36 ... 2 3 70, 249, 2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13+1/5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3]⁺
12+8/11	2 3 105, 257	[105,3], [7,5]
12+4/7	2 3 132, 2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	23∞, 2 4 12, 266, 62, 336, 36, 344, 43, 2223, 223, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6⁺,4], [(6,3,3)], [3⁺,12], [(4,4,3)], [4⁺,6], [∞,3,∞], [12,3]⁺, [6,4]⁺ [(4,3,3)]⁺
...

Viz také

Mutace orbifoldů
Fibrifoldova notace - rozšíření orbifold notace pro 3d vesmírné skupiny

Reference

^ Symetrie věcí, dodatek A, strana 416
^ Vlysové vzory Matematik John Conway vytvořil jména, která se vztahují ke stopám pro každou ze skupin vlysů.
^ Symetrie věcí, dodatek A, strana 416
^ Symetrie věcí, Kapitola 18, Více o hyperbolických skupinách, Výčet hyperbolických skupin, str. 239

John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson a William P. Thurston. Na trojrozměrných orbifoldech a vesmírných skupinách. Příspěvky do algebry a geometrie, 42 (2): 475-507, 2001.
J. H. Conway, D. H. Huson. Orbifoldova notace pro dvourozměrné skupiny. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, srpen 2002.
J. H. Conway (1992). "Orbifoldova notace pro povrchové skupiny". In: M. W. Liebeck a J. Saxl (eds.), Skupiny, kombinatorika a geometrie, Sborník L.M.S. Durham Symposium, 5. – 15. Července, Durham, Velká Británie, 1990; London Math. Soc. Série přednášek 165. Cambridge University Press, Cambridge. 438–447
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
Hughes, Sam (2019), Kohomologie fuchsijských skupin a neeuklidovských krystalografických skupin, arXiv:1910.00519, Bibcode:2019arXiv191000519H

externí odkazy

Polní průvodce orbifolds (Poznámky z hodiny na "Geometrie a představivost" v Minneapolisu s Johnem Conwayem, Peterem Doylem, Jane Gilman a Billem Thurstonem ve dnech 17. – 28. června 1991. Viz také PDF, 2006 )
2DTiler Software pro vizualizaci dvourozměrných naklonění roviny a úpravy jejich skupin symetrie v orbifold notaci

[1] Symetrie věcí, dodatek A, strana 416

[2] Vlysové vzory Matematik John Conway vytvořil jména, která se vztahují ke stopám pro každou ze skupin vlysů.

[3] Symetrie věcí, dodatek A, strana 416

[4] Symetrie věcí, Kapitola 18, Více o hyperbolických skupinách, Výčet hyperbolických skupin, str. 239

[1]

[2]

[3]

[4]