Wythoffův symbol - Wythoff symbol - Wikipedia

Příklad Wythoffovy konstrukční trojúhelníky se 7 generátorovými body. Řádky aktivních zrcadel jsou zbarveny červeně, žlutě a modře a 3 uzly naproti nim jsou přiřazeny symbolem Wythoff.

Osm forem pro Wythoffovy konstrukce z obecného trojúhelníku (p q r).

v geometrie, Wythoffův symbol je zápis představující a Wythoffova konstrukce a jednotný mnohostěn nebo rovina v rámci a Schwarzův trojúhelník. To bylo poprvé použito Coxeter, Longuet-Higgins a Miller v jejich výčtu jednotných mnohostěnů. Později Coxeterův diagram byl vyvinut k označení jednotných polytopů a voštin v n-dimenzionálním prostoru v základním simplexu.

Symbol Wythoff se skládá ze tří čísel a svislé čáry. Představuje jeden uniformní mnohostěn nebo obklad, ačkoli stejný obklad / mnohostěn může mít různé symboly Wythoff z různých generátorů symetrie. Například pravidelné krychle může být reprezentován 3 | 2 4 s Ó_h symetrie a 2 4 | 2 jako čtverec hranol se 2 barvami a D_4h symetrie, stejně jako 2 2 2 | se 3 barvami a D_2h symetrie.

S mírným rozšířením lze Wythoffův symbol použít na všechny jednotné mnohostěny. Konstrukční metody však nevedou ke všem rovnoměrným nakláněním v euklidovském nebo hyperbolickém prostoru.

Popis

Konstrukce Wythoff začíná výběrem a bod generátoru na základním trojúhelníku. Pokud je vzdálenost tohoto bodu od každé ze stran nenulová, musí být bod vybrán tak, aby měl stejnou vzdálenost od každé hrany. Mezi bodem generátoru a každou plochou, na které neleží, je poté svržena kolmá čára.

Tři čísla ve Wythoffově symbolu, str, q, a r, představují rohy Schwarzova trojúhelníku použitého při konstrukci, které jsou^π⁄_str, ​^π⁄_qa^π⁄_r radiány resp. Trojúhelník je také reprezentován stejnými čísly, zapsanými (str q r). Svislá čára v symbolu určuje kategorickou polohu bodu generátoru v základním trojúhelníku podle následujícího:

• str | q r označuje, že generátor leží na rohu str,
• str q | r označuje, že generátor leží na okraji mezi str a q,
• str q r | značí, že generátor leží uvnitř trojúhelníku.

V této notaci jsou zrcadla označena řádem odrazu opačného vrcholu. The str, q, r jsou uvedeny hodnoty před lišta, pokud je aktivní odpovídající zrcadlo.

Speciální použití je symbol | str q r který je určen pro případ, kdy jsou aktivní všechna zrcadla, ale liché odražené obrazy jsou ignorovány. Výsledný údaj má pouze rotační symetrii.

Bod generátoru může být buď zapnutý nebo vypnutý u každého zrcadla, aktivovaný nebo ne. Toto rozlišení vytváří 8 (2³) možných forem, přičemž se opomíná jedna, kde je bod generátoru na všech zrcadlech.

Symbol Wythoff je funkčně podobný obecnějším Coxeter-Dynkinův diagram, ve kterém každý uzel představuje zrcadlo a oblouky mezi nimi - označené čísly - úhly mezi zrcadly. (Oblouk představující pravý úhel je vynechán.) Uzel je zakroužkován, pokud bod generátoru není na zrcadle.

Příklad sférických, euklidovských a hyperbolických tilingu na pravých trojúhelnících

Základní trojúhelníky jsou nakresleny střídavě jako zrcadlové obrazy. Posloupnost trojúhelníků (str 3 2) změna ze sférické (str = 3, 4, 5), do euklidovské (str = 6), na hyperbolické (str ≥ 7). Hyperbolické obklady jsou zobrazeny jako a Poincaré disk projekce.

Wythoffův symbol	q | str 2	2 q | str	2 | str q	2 str | q	str | q 2	str q | 2	str q 2 |	| str q 2
Coxeterův diagram
Vrcholová postava	strq	q.2str.2str	str.q.str.q	str.2q.2q	qstr	str.4.q.4	4.2str.2q	3.3.str.3.q
Fond. trojúhelníky	7 formulářů a urážka
(4 3 2)	3 | 4 2 43	2 3 | 4 3.8.8	2 | 4 3 3.4.3.4	2 4 | 3 4.6.6	4 | 3 2 34	4 3 | 2 3.4.4.4	4 3 2 | 4.6.8	| 4 3 2 3.3.3.3.4
(5 3 2)	3 | 5 2 53	2 3 | 5 3.10.10	2 | 5 3 3.5.3.5	2 5 | 3 5.6.6	5 | 3 2 35	5 3 | 2 3.4.5.4	5 3 2 | 4.6.10	| 5 3 2 3.3.3.3.5
(6 3 2)	3 | 6 2 63	2 3 | 6 3.12.12	2 | 6 3 3.6.3.6	2 6 | 3 6.6.6	6 | 3 2 36	6 3 | 2 3.4.6.4	6 3 2 | 4.6.12	| 6 3 2 3.3.3.3.6
(7 3 2)	3 | 7 2 73	2 3 | 7 3.14.14	2 | 7 3 3.7.3.7	2 7 | 3 7.6.6	7 | 3 2 37	7 3 | 2 3.4.7.4	7 3 2 | 4.6.14	| 7 3 2 3.3.3.3.7
(8 3 2)	3 | 8 2 83	2 3 | 8 3.16.16	2 | 8 3 3.8.3.8	2 8 | 3 8.6.6	8 | 3 2 38	8 3 | 2 3.4.8.4	8 3 2 | 4.6.16	| 8 3 2 3.3.3.3.8
(∞ 3 2)	3 | ∞ 2 ∞3	2 3 | ∞ 3.∞.∞	2 | ∞ 3 3.∞.3.∞	2 ∞ | 3 ∞.6.6	∞ | 3 2 3∞	∞ 3 | 2 3.4.∞.4	∞ 3 2 | 4.6.∞	| ∞ 3 2 3.3.3.3.∞

Viz také

• Pravidelný mnohostěn
• Pravidelný mnohostěn
• Seznam uniformních obkladů
• Rovnoměrné naklánění v hyperbolické rovině
• Seznam jednotných mnohostěnů
• Seznam uniformních mnohostěnů Schwarzovým trojúhelníkem
• Seznamy stejnoměrných naklonění na kouli, rovině a hyperbolické rovině

Reference

• Coxeter Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN  0-486-61480-8 (Kapitola V: Kaleidoskop, Sekce: 5.7 Wythoffova konstrukce)
• Coxeter Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
• Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Jednotná mnohostěna, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50.
• Wenninger, Magnus (1974). Mnohostěnné modely. Cambridge University Press. ISBN  0-521-09859-9. str. 9–10.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Wythoff symbol“. MathWorld.
• Symbol Wythoff
• Wythoffův symbol
• Greg Eganův applet pro zobrazení jednotné mnohostěn pomocí Wythoffovy konstrukční metody
• Shadertoyovo vykreslení Wythoffovy konstrukční metody
• KaleidoTile 3 Zdarma vzdělávací software pro Windows od Jeffrey Weeks který vygeneroval mnoho obrázků na stránce.
• Poklop, Done. „Hyperbolické planární mozaiky“.