Čtyřboká symetrie - Tetrahedral symmetry - Wikipedia

Skupiny bodů ve třech dimenzích

Involuční symetrie Cs, (*) [ ] =	Cyklická symetrie Cnv, (* nn) [n] =	Dihedrální symetrie Dnh, (* n22) [n, 2] =
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32)
Čtyřboká symetrie Td, (*332) [3,3] =	Oktaedrická symetrie Óh, (*432) [4,3] =	Ikosahedrální symetrie Jáh, (*532) [5,3] =

Pravidelný čtyřstěn, příklad tělesa s plnou čtyřboká symetrií

Pravidelný čtyřstěn má 12 rotačních (nebo zachování orientace ) symetrie a a pořadí symetrie 24 včetně transformací, které kombinují odraz a rotaci.

Skupina všech symetrií je isomorfní se skupinou S₄, symetrická skupina permutací čtyř objektů, protože pro každou permutaci vrcholů čtyřstěnu existuje přesně jedna taková symetrie. Sada symetrií zachovávající orientaci tvoří skupinu označovanou jako střídavá podskupina A₄ S₄.

Detaily

Chirál a úplný (nebo achirální čtyřboká symetrie a pyritohedrální symetrie) jsou diskrétní bodové symetrie (nebo ekvivalentně, symetrie na kouli ). Patří mezi krystalografické skupiny bodů z kubický krystalový systém.

Gyrační osy

C3	C3	C2
2	2	3

Viděl stereografická projekce okraje tetrakis hexahedron tvoří 6 kruhů (nebo centrálně radiálních čar) v rovině. Každý z těchto 6 kruhů představuje zrcadlovou linii v čtyřboké symetrii. Průsečík těchto kruhů se setkává v pořadí 2 a 3 gyračních bodů.

Ortogonální	Stereografické projekce
	4krát	3krát	2krát
Chirální čtyřboká symetrie, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Pyritohedrální symetrie, T.h, (3*2), [4,3+],
Achirální čtyřboká symetrie, T.d, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Chirální čtyřboká symetrie

Čtyřboká rotační skupina T s základní doména; pro triakis čtyřstěn, viz níže, druhá je jedna celá tvář

A čtyřstěn lze umístit na 12 různých pozic pomocí otáčení sama. Ty jsou znázorněny výše v dokumentu graf cyklu formát spolu s okrajem 180 ° (modré šipky) a vrcholem 120 ° (červenavé šipky) rotace že obměňovat čtyřstěn skrz tyto pozice.

V tetrakis hexahedron jedna celá tvář je základní doménou; další tělesa se stejnou symetrií lze získat úpravou orientace ploch, např. sloučení vybraných podskupin ploch ke sloučení každé podmnožiny do jedné plochy nebo nahrazení každé plochy několika plochami nebo zakřiveným povrchem.

T, 332, [3,3]⁺nebo 23, objednávky 12 - chirální nebo rotační čtyřboká symetrie. K dispozici jsou tři ortogonální 2násobné osy otáčení, jako chirální dihedrální symetrie D₂ nebo 222, navíc se čtyřmi trojnásobnými osami, na střed mezi tři ortogonální směry. Tato skupina je izomorfní na A₄, střídavá skupina na 4 prvcích; ve skutečnosti je to skupina dokonce i obměny čtyř čtyřnásobných os: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12) (34), ( 13) (24), (14) (23).

The třídy konjugace z T jsou:

• identita
• 4 × rotace o 120 ° ve směru hodinových ručiček (při pohledu z vrcholu): (234), (143), (412), (321)
• 4 × otáčení o 120 ° proti směru hodinových ručiček (přesněji)
• 3 × otočení o 180 °

Otočení o 180 ° spolu s identitou tvoří a normální podskupina typu Dih₂, s kvocientová skupina typu Z₃. Tři prvky posledně jmenovaného jsou identita, „otáčení ve směru hodinových ručiček“ a „otáčení proti směru hodinových ručiček“, což odpovídá permutacím tří ortogonálních 2-násobných os, se zachováním orientace.

A₄ je nejmenší skupina prokazující, že naopak Lagrangeova věta není obecně platná: vzhledem k konečné skupině G a dělitel d z |G|, nemusí nutně existovat podskupina G s objednávkou d: skupina G = A₄ nemá žádnou podskupinu řádu 6. Ačkoli je to vlastnost pro abstraktní skupinu obecně, je to jasné ze skupiny izometrie chirální čtyřboké symetrie: kvůli chiralitě by podskupina musela být C₆ nebo D.₃, ale neplatí ani jeden.

Podskupiny chirální čtyřboké symetrie

Chirální čtyřboká symetrie podskupiny

Schoe.	Coxeter		Koule.	H-M	Generátory	Struktura	Cyc	Objednat	Index
T	[3,3]+	=	332	23	2	A4		12	1
D2	[2,2]+	=	222	222	3	Dih2		4	3
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	4
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	6
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	12

Achirální čtyřboká symetrie

Celá čtyřboká skupina T_d se základní doménou

T_d, *332, [3,3] nebo 43m, objednávka 24 - achirál nebo plná čtyřboká symetrie, také známý jako (2,3,3) skupina trojúhelníků. Tato skupina má stejné osy otáčení jako T, ale se šesti zrcadlovými rovinami, každá skrz dvě trojnásobné osy. Dvojnásobné osy jsou nyní S.₄ (4) sekery. T_d a O jsou izomorfní jako abstraktní skupiny: obě odpovídají S₄, symetrická skupina na 4 objektech. T_d je spojení T a množiny získané kombinací každého prvku O T. s inverzí. Viz také izometrie pravidelného čtyřstěnu.

The třídy konjugace T._d jsou:

• identita
• 8 × rotace o 120 ° (C₃)
• 3 × otočení o 180 ° (C.₂)
• 6 × odraz v rovině dvěma rotačními osami (C_s)
• 6 × otočení o 90 ° (S.₄)

Podskupiny achirální čtyřboké symetrie

Achirální čtyřboké podskupiny

Schoe.	Coxeter		Koule.	H-M	Generátory	Struktura	Cyc	Objednat	Index
Td	[3,3]		*332	43 m	3	S4		24	1
C3v	[3]		*33	3 m	2	Dih3= S3		6	4
C2v	[2]		*22	mm2	2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 nebo m	1	Z2 = Dih1		2	12
D2d	[2+,4]		2*2	42 m	2	Dih4		8	3
S4	[2+,4+]		2×	4	1	Z4		4	6
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D2	[2,2]+		222	222	2	Dih2		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3 = A3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Pyritohedrální symetrie

Pyritohedrální skupina T_h se základní doménou

Švy a volejbal mít pyritohedrální symetrii

T_h, 3*2, [4,3⁺] nebo m3, objednávky 24 - pyritohedrální symetrie. Tato skupina má stejné osy otáčení jako T, se zrcadlovými rovinami procházejícími dvěma ortogonálními směry. Trojnásobné osy jsou nyní S₆ (3) os a existuje centrální inverzní symetrie. T_h je izomorfní s T × Z₂: každý prvek T_h je buď prvek T, nebo prvek kombinovaný s inverzí. Kromě těchto dvou normálních podskupin existuje také normální podskupina D_2h (to a kvádr ), typu Dih₂ × Z.₂ = Z₂ × Z.₂ × Z.₂. Je to přímý produkt normální podskupiny T (viz výše) s C_i. The kvocientová skupina je stejný jako výše: typu Z₃. Tři prvky posledně jmenovaného jsou identita, „otáčení ve směru hodinových ručiček“ a „otáčení proti směru hodinových ručiček“, což odpovídá permutacím tří ortogonálních 2-násobných os, se zachováním orientace.

Jedná se o symetrii krychle, kdy na každé ploše je úsečka rozdělující plochu na dva stejné obdélníky, takže úsečky sousedních ploch se na okraji nesetkávají. Symetrie odpovídají rovnoměrným permutacím tělesných úhlopříček a stejné v kombinaci s inverzí. Je to také symetrie a pyritohedron, který je extrémně podobný popsané krychli, přičemž každý obdélník je nahrazen pětiúhelníkem s jednou osou symetrie a 4 stejnými stranami a 1 jinou stranou (ta, která odpovídá úsečce dělící tvář krychle); tj. tváře krychle vyčnívají na dělicí čáře a tam se zužují. Je to podskupina úplných ikosahedrální symetrie skupina (jako skupina izometrie, nejen jako abstraktní skupina), se 4 z 10 3-násobných os.

Třídy konjugace T_h zahrnují ty z T, se dvěma kombinovanými třídami 4 a každou s inverzí:

• identita
• 8 × rotace o 120 ° (C₃)
• 3 × otočení o 180 ° (C.₂)
• inverze (S.₂)
• 8 × otočení o 60 ° (S.₆)
• 3 × odraz v rovině (C_s)

Podskupiny pyritohedrální symetrie

Pyritohedrální podskupiny

Schoe.	Coxeter		Koule.	H-M	Generátory	Struktura	Cyc	Objednat	Index
Th	[3+,4]		3*2	m3	2	A4×2		24	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	3	Dih2× Dih1		8	3
C2v	[2]		*22	mm2	2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 nebo m	1	Dih1		2	12
C2h	[2+,2]		2*	2 / m	2	Z2× Dih1		4	6
S2	[2+,2+]		×	1	1	2 nebo Z.2		2	12
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D3	[2,3]+		322	3	2	Dih3		6	4
D2	[2,2]+		222	222	3	Dih4		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Pevné látky s chirální čtyřboká symetrie

Dvacetistěn zbarvený jako potlačit čtyřstěn má chirální symetrii.

Tělesa s plnou čtyřboká symetrie

Třída	název	Obrázek	Tváře	Hrany	Vrcholy
Platonická pevná látka	čtyřstěn		4	6	4
Archimédův pevný	zkrácený čtyřstěn		8	18	12
Katalánština pevná	triakis čtyřstěn		12	18	8
Johnson téměř solidní	Zkrácený triakis čtyřstěn		16	42	28
	Tetrated dodecahedron		28	54	28
Jednotný hvězdný mnohostěn	Tetrahemihexahedron		7	12	6

Viz také

• Oktaedrická symetrie
• Ikosahedrální symetrie
• Binární čtyřboká skupina
• Symetrická skupina S4

Reference

• Peter R. Cromwell, Mnohostěn (1997), str. 295
• Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
• N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.5 Skupiny sférických coxeterů

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Čtyřboká skupina“. MathWorld.