Disdyakis triacontahedron - Disdyakis triacontahedron

Disdyakis triacontahedron
(rotující a 3D Modelka)
Typ	Katalánština
Conwayova notace	mD nebo dbD
Coxeterův diagram
Polygon obličeje	scalenový trojúhelník
Tváře	120
Hrany	180
Vrcholy	62 = 12 + 20 + 30
Konfigurace obličeje	V4.6.10
Skupina symetrie	Jáh, H3, [5,3], (*532)
Rotační skupina	Já, [5,3]+, (532)
Dihedrální úhel	164° 53' 17 arccos (-179-24√5/241)
Duální mnohostěn	zkrácen icosidodecahedron
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní
síť

v geometrie, a disdyakis triacontahedron, hexakis icosahedron, decakis dodecahedron nebo kisrhombic triacontahedron^[1] je Katalánština pevná se 120 tvářemi a duální na Archimedean zkrácený icosidodecahedron. Jako takový je uniformní, ale s nepravidelnými polygony. Trochu to připomíná nafouknutý kosočtverečný triacontahedron —Pokud jeden nahradí každou tvář kosočtverečného triacontahedronu jediným vrcholem a čtyřmi trojúhelníky běžným způsobem, skončí jeden disdyakisovým triacontahedronem. To znamená, že disdyakis triacontahedron je Kleetope kosočtverečného triacontahedronu. Má také nejvíce tváří mezi archimédskými a katalánskými tělesy, s urážet dvanáctistěn, s 92 tvářemi, na druhém místě.

Pokud bipyramidy, gyroelongované bipyramidy a lichoběžník jsou vyloučeny, disdyakis triacontahedron má nejvíce tváří z jakéhokoli jiného přísně konvexního mnohostěnu, kde každá tvář mnohostěnu má stejný tvar.

Okraje disdyakis triacontahedron, promítnuté do koule, definují 15 velké kruhy. Buckminster Fuller použil k definování svých 15 velkých kruhů spolu s 10 a 6 dalšími ve dvou dalších mnohostěnách 31 velkých kruhů sférického dvacetistěnu.

Tváře

Tváře triacontahedronu disdyakis jsou scalenové trojúhelníky. Li ${ displaystyle phi}$ je Zlatý řez pak jsou jejich úhly stejné ${ displaystyle arccos ({ frac {-4 phi +7} {30}}) přibližně 88,991 , 801 , 907 , 82 ^ { circ}}$, ${ displaystyle arccos ({ frac {-4 phi +17} {20}}) přibližně 58 237 , 919 , 620 , 89 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle arccos ({ frac {5 phi +2} {12}}) přibližně 32 770 , 278 , 471 , 29 ^ { circ}}$.

Symetrie

Okraje mnohostěnu vyčnívající do tvaru koule 15 velké kruhy a představují všech 15 zrcadlových rovin odrazu Já_h ikosahedrální symetrie. Kombinace dvojic světlých a tmavých trojúhelníků definuje základní domény nereflektivního (Já) ikosahedrální symetrie. Okraje a sloučenina pěti oktaedrů také představují 10 zrcadlových rovin ikosaedrální symetrie.

Disdyakis triacontahedron

Deltoidní hexecontahedron

Kosočtverečný triacontahedron

Dodecahedron

Dvacetistěnu

Pyritohedron

Sférický mnohostěn
(vidět rotující model )	Ortografické projekce ze 2, 3 a 5násobné osy

Stereografické projekce
	2krát	3krát	5krát
Barevné jako sloučenina pěti oktaedrů, se 3 velkými kruhy pro každý osmistěn. Oblast v černých kruzích níže odpovídá frontální polokouli sférického mnohostěnu.

Ortogonální projekce

Disdyakis triacontahedron má tři typy vrcholů, které lze vycentrovat v ortogonální projekci:

Ortogonální projekce

Projektivní symetrie	[2]	[6]	[10]
obraz
Dvojí obraz

Použití

Big Chop hádanka

The disdyakis triacontahedron, jako pravidelný dvanáctistěn s pětiúhelníky rozdělenými do 10 trojúhelníků, je považován za „svatý grál“ pro kombinované hádanky jako Rubikova kostka. Tento nevyřešený problém, často nazývaný problém „velkého chopu“, v současné době nemá uspokojivý mechanismus. Jedná se o nejvýznamnější nevyřešený problém v mechanických hádankách.^[2]

Tento tvar byl použit k vytvoření kostek d120 pomocí 3D tisku.^[3] Od roku 2016 Dice Lab používá disdyakis triacontahedron k masovému prodeji vstřikovaného 120stranného zemřít.^[4] Tvrdí se, že d120 je největším počtem možných tváří na spravedlivé matrici, kromě nekonečných rodin (například pravých pravidelných hranoly, bipyramidy, a lichoběžník ), což by bylo ve skutečnosti nepraktické kvůli tendenci k dlouhodobému házení.^[5]

Disdyakis tricontahedron promítnutý na kouli se používá jako logo pro Brilantní, web obsahující řadu lekcí o ZASTAVIT -související témata. ^[6]

Související mnohostěny a obklady

Mnohostěn podobné disdyakis triacontahedron jsou duals k Bowtie icosahedron a dodecahedron, obsahující další páry trojúhelníkových ploch.[7]

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Topologicky souvisí s mnohostěnnou sekvencí definovanou konfigurace obličeje V4.6.2n. Tato skupina je speciální pro to, že má sudý počet hran na vrchol a vytváří půlící roviny přes mnohostěn a nekonečné čáry v rovině a pokračuje do hyperbolické roviny pro libovolnou n ≥ 7.

Se sudým počtem ploch na každém vrcholu lze tyto mnohostěny a obklady zobrazit střídáním dvou barev, takže všechny sousední plochy mají různé barvy.

Každá tvář na těchto doménách také odpovídá základní doméně a skupina symetrie s objednávkou 2,3,n zrcadla na každém vrcholu trojúhelníku. Tohle je *n32 palců orbifold notace, a [n, 3] v Coxeterova notace.

*n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n [ proti t E ]
Sym. *n32 [n,3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Čísla
Konfigurace	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duální
Konfigurace	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Reference

• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Část 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN  978-0-521-54325-5, PAN  0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duály, strana 25, Disdyakistriacontahedron)
• Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 285, kisRhombic triacontahedron)

externí odkazy

• Eric W. Weisstein, Disdyakis triacontahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.
• Disdyakis triacontahedron (Hexakis Icosahedron) - Interaktivní model mnohostěnu