Pětiúhelníkový hexecontahedron - Pentagonal hexecontahedron - Wikipedia

Pětiúhelníkový hexecontahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Katalánština pevná
Coxeterův diagram
Conwayova notace	gD
Typ obličeje	V3.3.3.3.5 nepravidelný Pentagon
Tváře	60
Hrany	150
Vrcholy	92
Vrcholy podle typu	12 {5} 20+60 {3}
Skupina symetrie	Já, 1/2H₃, [5,3]⁺, (532)
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532)
Dihedrální úhel	153°10′43″
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní chirální
Utlumit dvanáctistěn (duální mnohostěn )	Síť

3D model pětibokého šestihranu

v geometrie, a pětiúhelníkový hexekontahedron je Katalánština pevná, duální z urážet dvanáctistěn. Má dvě odlišné formy, které jsou zrcadlové obrazy (nebo „enantiomorfy ") navzájem. Má 92 vrcholů, které pokrývají 60 pětiúhelníkových ploch. Jedná se o katalánskou těleso s největším počtem vrcholů. Mezi katalánskými a Archimedean pevné látky, má druhý největší počet vrcholů, po zkrácený icosidodecahedron, který má 120 vrcholů.

Konstrukce

Pětiúhelníkový hexekontahedron může být sestrojen z tupého dodekaedru, aniž by byl použit duální. Pětiúhelníkové pyramidy jsou přidány k 12 pětiúhelníkovým plochám tupého dodekaedru a trojúhelníkové pyramidy jsou přidány k 20 trojúhelníkovým plochám, které nesdílejí hranu s pětiúhelníkem. Výšky pyramidy jsou upraveny tak, aby byly koplanární s ostatními 60 trojúhelníkovými plochami tupého dodekaedru. Výsledkem je pětiúhelníkový hexekontahedron.^[1]

Geometrie

Obličeje jsou nepravidelné pětiúhelníky se dvěma dlouhými okraji a třemi krátkými okraji. Nechat ${ displaystyle xi přibližně 0,943 , 151 , 259 , 24}$ být skutečná nula polynomu ${ displaystyle x ^ {3} + 2x ^ {2} - phi ^ {2}}$ , kde ${ displaystyle phi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ je Zlatý řez Pak poměr ${ displaystyle l}$ délky hran je dána vztahem:

{ displaystyle l = { frac {1+ xi} {2- xi ^ {2}}} přibližně 1,749 , 852 , 566 , 74}

.

Tváře mají čtyři stejné tupé úhly a jeden ostrý úhel (mezi dvěma dlouhými okraji). Tupé úhly se rovnají ${ displaystyle arccos (- xi / 2) přibližně 118,136 , 622 , 758 , 62 ^ { circ}}$ a akutní se rovná ${ displaystyle arccos (- phi ^ {2} xi / 2 + phi) přibližně 67,453 , 508 , 965 , 51 ^ { circ}}$ . Úhel vzepětí se rovná ${ displaystyle arccos (- xi / (2- xi)) přibližně 153,178 , 732 , 558 , 45 ^ { circ}}$ Uvědomte si, že středy tváře urážet dvanáctistěn nemůže sloužit přímo jako vrcholy pětiúhelníkového šestiúhelníku: čtyři středy trojúhelníků leží v jedné rovině, ale střed pětiúhelníku ne; je třeba jej radiálně vytlačit, aby byl koplanární se středy trojúhelníků. V důsledku toho neleží vrcholy pětiúhelníkového hexecontahedronu na stejné sféře a podle definice to není zonohedron.

Chcete-li zjistit objem a povrch pětibokého šestihranu, označte delší stranu jedné z pětiúhelníkových ploch jako ${ displaystyle b}$ a nastavíme konstantu t^[2] ${ displaystyle t = { frac {{ sqrt [{3}] {44 + 12 phi (9 + { sqrt {81 phi -15}})}} + { sqrt [{3}] { 44 + 12 phi (9 - { sqrt {81 phi -15}})}} - 4} {12}} přibližně 0,471 , 575 , 629 , 622}$ .

Pak je povrchová plocha (A):

${ displaystyle A = { frac {30b ^ {2} cdot (2 + 3t) cdot { sqrt {1-t ^ {2}}}} {1-2t ^ {2}}} přibližně 162,698 , 964 , 198b ^ {2}}$ .

A objem (V) je:

${ displaystyle V = { frac {5b ^ {3} (1 + t) (2 + 3t)} {(1-2t ^ {2}) cdot { sqrt {1-2t}}}} přibližně 189 789 , 852 , 067b ^ {3}}$ .

Variace

Isohedral varianty mohou být konstruovány s pětiúhelníkovými plochami se 3 délkami hran.

Tuto zobrazenou variantu lze zkonstruovat přidáním pyramid k 12 pětiúhelníkovým plochám a 20 trojúhelníkovým plochám a urážet dvanáctistěn takové, že nové trojúhelníkové plochy jsou paralelní s jinými trojúhelníky a lze je sloučit do pětiúhelníkových ploch.

Utlumit dvanáctistěn s rozšířenými pyramidami a sloučenými tvářemi	Příklad variace	Síť

Ortogonální projekce

The pětiúhelníkový hexekontahedron má tři polohy symetrie, dvě na vrcholech a jednu střední hranu.

Ortogonální projekce
Projektivní symetrie	[3]	[5]⁺	[2]
obraz
Dvojí obraz

Související mnohostěny a obklady

Sférický pětiúhelníkový hexekontahedron

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence mnohostěnů a obkladů pětiúhelníků s konfigurace obličeje (V3.3.3.3.n). (Sekvence postupuje do naklonění hyperbolické roviny k jakékoli n.) Tyto tvář-tranzitivní čísla mají (n32) rotační symetrie.

n32 mutací symetrie útlumů: 3.3.3.3.n
Symetrie n32	Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperbolický		Paracomp.
Symetrie n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub čísla
Konfigurace	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Viz také

Reference

^ Odkaz
^ „Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator“. rechneronline.de. Citováno 2020-05-26.

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, PAN 0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duálů, strana 29, pětiúhelníkový hexekontahedron)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 287, pětiúhelníkový hexekontahedron)