Pětiúhelníkový icositetrahedron - Pentagonal icositetrahedron

Pětiúhelníkový icositetrahedron
(Klikněte.) ccw* nebo cw pro rotující modely.)*
Typ	Katalánština
Conwayova notace	gC
Coxeterův diagram
Polygon obličeje	nepravidelný pětiúhelník
Tváře	24
Hrany	60
Vrcholy	38 = 6 + 8 + 24
Konfigurace obličeje	V3.3.3.3.4
Dihedrální úhel	136° 18' 33'
Skupina symetrie	Ó, ½ BC₃, [4,3]⁺, 432
Duální mnohostěn	urážka kostka
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní, chirální
Síť

3D model pětiúhelníkového icositetrahedronu

v geometrie, a pětiúhelníkový icositetrahedron nebo pětiúhelníkový icosikaitetrahedron^[1] je Katalánština pevná který je dvojí z urážka kostka. v krystalografie také se tomu říká a gyroid.^[2]^[3]

Má dvě odlišné formy, které jsou zrcadlové obrazy (nebo „enantiomorfy ") navzájem.

Konstrukce

Pětiúhelníkový icositetrahedron může být sestrojen z tupé krychle, aniž by byl použit duální. Čtvercové pyramidy jsou přidány k šesti čtvercovým plochám tupé krychle a trojúhelníkové pyramidy jsou přidány k osmi trojúhelníkovým plochám, které nesdílejí hranu se čtvercem. Výšky pyramidy jsou upraveny tak, aby byly koplanární s ostatními 24 trojúhelníkovými plochami tupé krychle. Výsledkem je pětiúhelníkový icositetrahedron.

Kartézské souřadnice

Označte tribonacciho konstanta podle ${ Displaystyle t přibližně 1,839 , 286 , 755 , 21}$ . (Vidět urážka kostka pro geometrické vysvětlení tribonacciho konstanty.) Pak Kartézské souřadnice pro 38 vrcholů pětiúhelníkového icositetrahedron se středem na počátku, jsou následující:

12. den dokonce i obměny z (± 1, ± (2 t + 1), ± t²) se sudým počtem znaků mínus
12. den zvláštní permutace z (± 1, ± (2 t + 1), ± t²) s lichým počtem znaků mínus
6 bodů (± t³, 0, 0), (0, ± t³, 0) a (0, 0, ± t³)
8 bodů (± t², ± t², ± t²)

Geometrie

Pětiúhelníkové plochy mají čtyři úhly ${ displaystyle arccos ((1-t) / 2) přibližně 114,812 , 074 , 477 , 90 ^ { circ}}$ a jeden úhel ${ displaystyle arccos (2-t) přibližně 80,751 , 702 , 088 , 39 ^ { circ}}$ . Pětiúhelník má tři krátké okraje o jednotkové délce a dva dlouhé okraje o délce ${ Displaystyle (t + 1) / 2 přibližně 1,419 , 643 , 377 , 607 , 08}$ . Ostrý úhel je mezi dvěma dlouhými okraji. Úhel vzepětí se rovná ${ displaystyle arccos (-1 / (t ^ {2} -2)) přibližně 136,309 , 232 , 892 , 32 ^ { circ}}$ .

Pokud je to dvojí urážka kostka má délku hrany jednotky, její povrch a objem jsou:^[4]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} A & = 3 { sqrt { frac {22 (5t-1)} {4t-3}}} && přibližně 19 299 , 94 V & = { sqrt { frac {11 (t-4)} {2 (20t-37)}}} && přibližně 7 4474 end {zarovnáno}}}

Ortogonální projekce

The pětiúhelníkový icositetrahedron má tři polohy symetrie, dvě se středem na vrcholech a jednu na středě.

Ortogonální projekce
Projektivní symetrie	[3]	[4]⁺	[2]
obraz
Dvojí obraz

Variace

Isohedral varianty se stejnou chirální oktaedrickou symetrií mohou být konstruovány s pětiúhelníkovými plochami majícími 3 délky hran.

Tuto zobrazenou variantu lze zkonstruovat přidáním pyramid k 6 čtvercovým plochám a 8 trojúhelníkovým plochám a urážka kostka tak, že nové trojúhelníkové plochy se 3 koplanárními trojúhelníky se spojily do stejných pětiúhelníkových ploch.

Snub kostka s rozšířenými pyramidami a sloučenými tvářemi	Pětiúhelníkový icositetrahedron	Síť

Související mnohostěny a obklady

Sférický pětiúhelníkový icositetrahedron

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence mnohostěnů a obkladů pětiúhelníků s konfigurace obličeje (V3.3.3.3.n). (Sekvence postupuje do naklonění hyperbolické roviny k jakékoli n.) Tyto tvář-tranzitivní čísla mají (n32) rotační symetrie.

n32 mutací symetrie útlumů: 3.3.3.3.n
Symetrie n32	Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperbolický		Paracomp.
Symetrie n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub čísla
Konfigurace	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

The pětiúhelníkový icositetrahedron je druhým v řadě dvojitých polyhedrů a obkladů s konfigurace obličeje V3.3.4.3.n.

4n2 mutace symetrie útlumu: 3.3.4.3.n [ proti t E ]
Symetrie 4n2	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
Symetrie 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Snub čísla
Konfigurace	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Pětiúhelníkový icositetrahedron je jedním z rodiny dualů k jednotnému mnohostěnu souvisejícímu s krychlí a pravidelným osmistěnem.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Reference

^ Conway, Symetrie věcí, str.284
^ http://www.metafysica.nl/turing/promorph_crystals.html
^ http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm
^ Eric W. Weisstein, Pětiúhelníkový icositetrahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, PAN 0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duálů, strana 28, pětiúhelníkový icositetrahedron)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 287, pětiúhelníkový icosikaitetrahedron)

externí odkazy

Pětiúhelníkový Icositetrahedron - Interaktivní model mnohostěnu

[1] Conway, Symetrie věcí, str.284

[2] ttp://www.metafysica.nl/turing/promorph_crystals.html

[3] ttp://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm

[4] Eric W. Weisstein, Pětiúhelníkový icositetrahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]