Tetrakis hexahedron - Tetrakis hexahedron
Tetrakis hexahedron | |
---|---|
![]() (Kliknutím sem zobrazíte rotující model) | |
Typ | Katalánština pevná |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Conwayova notace | kC |
Typ obličeje | V4.6.6![]() rovnoramenný trojúhelník |
Tváře | 24 |
Hrany | 36 |
Vrcholy | 14 |
Vrcholy podle typu | 6{4}+8{6} |
Skupina symetrie | Óh, B3, [4,3], (*432) |
Rotační skupina | O, [4,3]+, (432) |
Dihedrální úhel | 143°07′48″ arccos (-4/5) |
Vlastnosti | konvexní, tvář-tranzitivní |
![]() Zkrácený osmistěn (duální mnohostěn ) | ![]() Síť |
v geometrie, a tetrakis šestistěn (také známý jako tetrahexahedron, šestistěnu, tetrakis kostka, a kiscube[2]) je Katalánština pevná. Jeho duální je zkrácený osmistěn, an Archimédův pevný.
Lze jej také nazvat a disdyakis hexahedron nebo hexakis čtyřstěn jako dvojí z všudypřítomný čtyřstěn.
Kartézské souřadnice
Kartézské souřadnice pro 14 vrcholů šestiúhelníku tetrakis se středem na počátku jsou body (± 3/2, 0, 0), (0, ± 3/2, 0), (0, 0, ± 3/2) a ( ± 1, ± 1, ± 1).
Délka kratších okrajů tohoto šestistěnu tetrakis se rovná 3/2 a délka delších okrajů se rovná 2. Plochy jsou akutní rovnoramenné trojúhelníky. Čím větší úhel se rovná a dva menší stejné .
Ortogonální projekce
The tetrakis hexahedron, duální z zkrácený osmistěn má 3 polohy symetrie, dvě umístěné na vrcholech a jednu střední hranu.
Projektivní symetrie | [2] | [4] | [6] |
---|---|---|---|
Tetrakis šestistěn | ![]() | ![]() | ![]() |
Zkráceno osmistěn | ![]() | ![]() | ![]() |
Použití
Přirozeně se vyskytující (krystal ) formace tetrahexahedry jsou pozorovány v měď a fluorit systémy.
Mnohostěnné kostky ve tvaru tetrakis hexahedron jsou občas používány hráči.
A 24článková při pohledu pod vrcholem perspektivní projekce má povrchovou topologii šestistěnu tetrakis a geometrické proporce kosočtverečný dvanáctistěn, s kosočtverečnými tvářemi rozdělenými do dvou trojúhelníků.
Tetrakis hexahedron se jeví jako jeden z nejjednodušších příkladů budova teorie. Zvažte Riemannovský symetrický prostor spojené s skupina SL4(R). Své Hranice prsa má strukturu a sférická budova jejichž byty jsou dvourozměrné koule. Rozdělení této koule na sférické jednoduchosti (komory) lze získat převzetím radiální projekce tetrakis hexahedronu.
Symetrie
S Td, [3,3] (*332) čtyřboká symetrie, trojúhelníkové plochy představují 24 základních domén čtyřboké symetrie. Tento mnohostěn může být sestaven z 6 velké kruhy na kouli. To může také být viděno krychlí se svými čtvercovými plochami trojúhelníkovými podle jejich vrcholů a středů obličejů a čtyřstěn s jeho plochami rozdělenými vrcholy, středními okraji a středovým bodem.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Zkráceno tetratetrahedron | Disdyakis šestistěn | Deltoidní dvanáctistěn | Kosočtverečný šestistěn | Čtyřstěn |
Sférický mnohostěn | |||
---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(vidět rotující model ) | Ortografické projekce ze dvou, tří a čtyřnásobných os |
Okraje sférického šestistěnu tetrakis patří šesti velkým kruhům, které odpovídají zrcadlová letadla v čtyřboká symetrie. Mohou být seskupeny do tří párů ortogonálních kruhů (které se obvykle protínají vždy na jedné souřadnicové ose). Na obrázcích pod těmito čtverci hosohedra jsou červené, zelené a modré.
Stereografické projekce | |||
---|---|---|---|
![]() | 2krát | 3krát | 4krát |
![]() | ![]() | ![]() |
Rozměry
Označíme-li délku hrany základní kostky o A, výška každého vrcholku pyramidy nad krychlí je A/4. Sklon každé trojúhelníkové plochy pyramidy oproti ploše krychle je arktan (1/2), přibližně 26 565 ° (sekvence A073000 v OEIS ). Jeden okraj rovnoramenné trojúhelníky má délku A, další dva mají délku 3A/4, který následuje po použití Pythagorova věta na výšku a délku základny. Tím se získá nadmořská výška √5A/4 v trojúhelníku (OEIS: A204188). Své plocha je √5A/8, a vnitřní úhly jsou oblouky (2/3) (přibližně 48,1897 °) a doplňkových 180 ° - 2 arccos (2/3) (přibližně 83,6206 °).
The objem pyramidy je A3/12; takže celkový objem šesti pyramid a krychle v šestistěnu je 3A3/2.
Kleetope
To může být viděno jako krychle s čtvercové pyramidy zakrývající každou čtvercovou tvář; to znamená, že je Kleetope kostky.
Kubická pyramida
Je to velmi podobné 3D síti pro 4D kubická pyramida, protože síť pro čtverec je čtverec s trojúhelníky připojenými ke každému okraji, síť pro a kubická pyramida je krychle s čtvercové pyramidy připojené ke každé tváři.
Související mnohostěny a obklady
Jednotná oktaedrická mnohostěna | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie: [4,3], (*432) | [4,3]+ (432) | [1+,4,3] = [3,3] (*332) | [3+,4] (3*2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {31,1} | t {3,4} t {31,1} | {3,4} {31,1} | rr {4,3} s2{3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h2{4,3} t {3,3} | s {3,4} s {31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Duals na uniformní mnohostěn | ||||||||||
V43 | V3.82 | V (3,4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
*n32 mutace symetrie zkrácených naklonění: n.6.6 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sym. *n42 [n, 3] | Sférické | Euklid. | Kompaktní | Parac. | Nekompaktní hyperbolický | |||||||
*232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]... | *∞32 [∞,3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
Zkráceno čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
Konfigurace | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
n-kis čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Konfigurace | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 |
Je to mnohostěn v pořadí definovaném znakem konfigurace obličeje V4.6.2n. Tato skupina je speciální pro to, že má sudý počet hran na vrchol a vytváří půlící roviny přes mnohostěn a nekonečné čáry v rovině a pokračuje do hyperbolické roviny pro libovolnou n ≥ 7.
Se sudým počtem ploch na každém vrcholu lze tyto mnohostěny a obklady zobrazit střídáním dvou barev, takže všechny sousední plochy mají různé barvy.
Každá tvář na těchto doménách také odpovídá základní doméně a skupina symetrie s objednávkou 2,3,n zrcadla na každém vrcholu trojúhelníku.
*n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sym. *n32 [n,3] | Sférické | Euklid. | Kompaktní hyperb. | Paraco. | Nekompaktní hyperbolický | |||||||
*232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3] | *∞32 [∞,3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Konfigurace | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duální | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Konfigurace | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Viz také
- Disdyakis triacontahedron
- Disdyakis dodecahedron
- Kisrhombille obklady
- Sloučenina tří oktaedrů
- Deltoidní icositetrahedron, další katalánská pevná látka s 24 tvářemi.
Reference
- ^ Hexakistetraeder v němčině viz např. Meyers strana a Brockhaus strana. The stejný výkres se objeví v Brockhaus a Efron tak jako преломленный пирамидальный тетраэдр (lomený pyramidový čtyřstěn ).
- ^ Conway, Symetrie věcí, str. 284
- Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, PAN 0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duálů, strana 14, Tetrakishexahedron)
- Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 284, Tetrakis hexahedron)
externí odkazy
- Eric W. Weisstein, Tetrakis hexahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.
- Mnohostěn virtuální reality www.georgehart.com: Encyklopedie mnohostěnů
- VRML Modelka
- Conwayova notace pro mnohostěn Zkuste: „dtO“ nebo „kC“
- Tetrakis Hexahedron - Interaktivní model mnohostěnu
- Jednotná mnohostěna