Triakis icosahedron - Triakis icosahedron

Triakis icosahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Katalánština pevná
Coxeterův diagram
Conwayova notace	kI
Typ obličeje	V3.10.10 rovnoramenný trojúhelník
Tváře	60
Hrany	90
Vrcholy	32
Vrcholy podle typu	20{3}+12{10}
Skupina symetrie	Já_h, H₃, [5,3], (*532)
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532)
Dihedrální úhel	160°36′45″ arccos (-24 + 15√5/61)
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní
Zkrácený dvanáctistěn (duální mnohostěn )	Síť

3d model triakis icosahedron

v geometrie, triakis icosahedron (nebo kisikosahedron^[1]) je Archimédův duální pevné nebo Katalánština pevná. Jeho duální je zkrácený dvanáctistěn.

Kartézské souřadnice

Nechat ${ displaystyle phi}$ být Zlatý řez. 12 bodů daných ${ displaystyle (0, pm 1, pm phi)}$ a cyklické permutace těchto souřadnic jsou vrcholy a pravidelný dvacetistěn. Je to dvojí pravidelný dvanáctistěn, jehož hrany protínají hrany dvacetistěnu v pravých úhlech, má jako vrcholy body ${ displaystyle ( pm 1, pm 1, pm 1)}$ společně s body ${ displaystyle ( pm phi, pm 1 / phi, 0)}$ a cyklické permutace těchto souřadnic. Vynásobením všech souřadnic tohoto dvanáctistěny činitelem ${ Displaystyle (7 phi -1) / 11 přibližně 0,938 , 748 , 901 , 93}$ dává o něco menší dvanáctistěn. 20 vrcholů tohoto dodekaedru, spolu s vrcholy icosahedronu, jsou vrcholy triakisového icosahedronu soustředěného na počátek. Délka jeho dlouhých hran se rovná ${ displaystyle 2}$ . Jeho tváře jsou rovnoramenné trojúhelníky s jedním tupým úhlem ${ displaystyle arccos (-3 phi / 10) přibližně 119,039 , 350 , 869 , 29 ^ { circ}}$ a dva akutní z ${ displaystyle arccos (( phi +7) / 10) přibližně 30,480 , 324 , 565 , 36 ^ { circ}}$ . Poměr délky mezi dlouhým a krátkým okrajem těchto trojúhelníků se rovná ${ Displaystyle ( phi +7) / 5 přibližně 1,723 , 606 , 797 , 75}$ .

Ortogonální projekce

Triakis icosahedron má tři polohy symetrie, dvě na vrcholech a jednu na středě: Triakis icosahedron má pět speciálních ortogonální projekce, se středem na vrcholu, na dvou typech hran a dvou typech ploch: šestihranný a pětiúhelníkový. Poslední dva odpovídají A₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce režimů drátového modelu
Projektivní symetrie	[2]	[6]	[10]
obraz
Dvojí obraz

Kleetope

To může být viděno jako dvacetistěnu s trojúhelníkové pyramidy rozšířené na každou tvář; to znamená, že je Kleetope dvacetistěnu. Tato interpretace je vyjádřena v názvu, triakis.

Pokud je dvacetistěn rozšířen o čtyřstěn, aniž by byl odstraněn středový dvacetistěn, získá se síť ikosahedrální pyramida.

Ostatní triakis icosahedra

Tuto interpretaci lze použít i na jiné podobné nekonvexní mnohostěny s pyramidami různých výšek:

První stellation of icosahedronnebo Malý triambický dvacetistěn, nebo někdy nazývané a Triakis icosahedron (mezi ostatními)
Velký hvězdný dvanáctistěn (s velmi vysokými pyramidami)
Velký dvanáctistěn (s obrácenými pyramidami)

Stellations

Triakis icosahedron má mnoho stellations, počítaje v to toto.

Související mnohostěn

Sférický triakis icosahedron

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Triakis icosahedron je součástí posloupnosti mnohostěnů a obkladů, zasahujících do hyperbolické roviny. Tyto tvář-tranzitivní čísla mají (* n32) reflexní symetrie.

*n32 mutace symetrie zkrácených sklonů: t {n,3} [ proti t E ]
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
Symetrie *n32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Symbol	t {2,3}	t {3,3}	t {4,3}	t {5,3}	t {6,3}	t {7,3}	t {8,3}	t {∞, 3}	t {12i, 3}	t {9i, 3}	t {6i, 3}
Triakis čísla
Konfigurace	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Viz také

Kotzigova věta, pro které triakis icosahedron dává extrémní případ
Triakis trojúhelníkové obklady pro jiné polyedrické formy „triakis“.
Velký triakis dvacetistěn

Reference

^ Conway, Symetrie věcí, str.284

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Wenninger, Magnus (1974). Mnohostěnné modely. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
Wenninger, Magnus (1983). Duální modely. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54325-5. PAN 0730208. (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duály, strana 19, Triakisicosahedron)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 284, Triakis icosahedron)