Toroidní mnohostěn - Toroidal polyhedron

Mnohostěn torus mohou být konstruovány tak, aby aproximovaly povrch torusu z a síť čtyřúhelníkových ploch, jako je tento příklad 6x4.

v geometrie, a toroidní mnohostěn je mnohostěn což je také a toroid (A G- díra torus ), který má a topologické rod 1 nebo vyšší. Pozoruhodné příklady zahrnují Császár a Szilassi mnohostěn.

Variace v definici

Toroidní mnohostěny jsou definovány jako sbírky mnohoúhelníky které se setkávají na svých okrajích a vrcholech a tvoří a potrubí jak to dělají. To znamená, že každá hrana by měla být sdílena přesně dvěma polygony a odkaz každého vrcholu by měl být jeden cyklus, který se střídá mezi hranami a polygony, které se v daném vrcholu setkávají. Pro toroidní mnohostěny je toto potrubí znakem orientovatelný povrch.[1] Někteří autoři omezují frázi „toroidní mnohostěn“ na konkrétnější mnohostěn topologicky ekvivalentní (rod 1) torus.[2]

V této oblasti je důležité rozlišovat vložený toroidní mnohostěn, jehož plochy jsou ploché polygony v trojrozměrném tvaru Euklidovský prostor které nepřekračují sebe nebo sebe navzájem z abstraktní mnohostěn, topologické povrchy bez konkrétní geometrické realizace.[3] Mezi těmito dvěma extrémy jsou polyhedra tvořená geometrickými polygony nebo hvězdné polygony v euklidovském prostoru, které se mohou navzájem protínat.

Ve všech těchto případech lze toroidní povahu mnohostěnu ověřit podle jeho orientovatelnosti a podle jeho Eulerova charakteristika není pozitivní. Eulerova charakteristika se zobecňuje na PROTI − E + F = 2 − 2N, kde N je počet otvorů.

Császár a Szilassi mnohostěn

Interaktivní Szilassiho mnohostěnný model s každou tváří jinou barvou. v obrázek SVG, otáčejte myší doleva a doprava.[4]
Interaktivní model Csaszar mnohostěn. v obrázek SVG pohybem myši jej otočíte.[5]

Dva z nejjednodušších možných vložených toroidních mnohostěnů jsou Császár a Szilassi mnohostěn.

The Császár mnohostěn je toroidní mnohostěn se sedmi vrcholy s 21 hranami a 14 trojúhelníkovými plochami.[6] To a čtyřstěn jsou jediné známé mnohostěny, ve kterých každý možný úsečka spojující dva vrcholy tvoří okraj mnohostěnu.[7] Je to dvojí Szilassi mnohostěn, má sedm šestihranných ploch, které jsou všechny vedle sebe,[8] proto poskytuje existenci polovinu teorém že maximální počet barev potřebných pro mapu na torusu (rodu jedna) je sedm.[9]

Császárův mnohostěn má nejméně možných vrcholů jakéhokoli vloženého toroidního mnohostěnu a Szilassiho mnohostěn má nejméně možných ploch jakéhokoli vloženého toroidního mnohostěnu.

Stewartovy toroidy

Zvláštní kategorii toroidních mnohostěnů konstruuje výhradně pravidelný mnohoúhelník plochy bez křížení as dalším omezením, že sousední plochy nemusí ležet ve stejné rovině jako každá jiná. Tito se nazývají Stewartovy toroidy,[10] pojmenoval podle Bonnie Stewart, který je intenzivně studoval.[11] Jsou analogické s Johnson pevné látky v případě konvexní mnohostěn; na rozdíl od Johnsonových pevných látek však existuje nekonečně mnoho Stewartových toroidů.[12] Zahrnují také toroidní deltahedra, mnohostěny, jejichž plochy jsou rovnostranné trojúhelníky.

Omezená třída Stewartových toroidů, také definovaná Stewartem, je kvazi-konvexní toroidní mnohostěn. Jedná se o toroidy Stewart, které zahrnují všechny jejich okraje konvexní trupy. U takového mnohostěnu leží každá plocha konvexního trupu buď na povrchu toroidu, nebo je polygonem, jehož všechny hrany leží na povrchu toroidu.[13]

Stewartovy toroidy rozšířením jednoho mnohostěnu
Rod11
obrazStewartův toroid 6-hexprisms.pngOsm oktaedrového toroidu.png
Mnohostěn6 šestihranné hranoly8 oktaedra
Vrcholy4824
Hrany8472
Tváře3648
Kvazi-konvexní Stewartovy toroidy
Rod131135711
obrazVytěžená zkrácená kostka.pngVytěžený zkrácený oktaedron1.pngVytěžený zkrácený oktaedron2.pngVytěžený rozšířený cuboctahedron.pngVytěžený komolý kvádr 4.pngVytěžený zkrácený cuboctahedron2.pngVytěžený komolý kvádr 3.pngVytěžený zkrácený cuboctahedron.png
Mnohostěn4 čtvercové kopule
8 čtyřstěn		6 trojúhelníkové kopule
6 čtvercové pyramidy		4 trojúhelníkové kopule
6 čtvercové pyramidy		24 trojúhelníkové hranoly
6 čtvercové pyramidy
8 čtyřstěn		6 čtvercové kopule
4 trojúhelníkové kopule
12 kostky		8 trojúhelníkové kopule
12 kostky		6 čtvercové kopule
12 kostky		6 čtvercové kopule
8 trojúhelníkové kopule
Konvexní obalzkrácená kostkazkrácený osmistěnzkrácený osmistěnrozšířený cuboctahedronzkrácený cuboctahedronzkrácený cuboctahedronzkrácený cuboctahedronzkrácený cuboctahedron
Vrcholy3230306272727272
Hrany646072168144168168168
Tváře3230388668888476

Self-křížení mnohostěn

Octahemioctahedron.png
Octahemioctahedron		Malý cubicuboctahedron.png
Malý cubicuboctahedron		Great dodecahedron.png
Velký dvanáctistěn

Mnohostěn, který je tvořen systémem křížení polygonů, odpovídá abstraktnímu topologickému potrubí tvořenému jeho mnohoúhelníky a jejich systémem sdílených hran a vrcholů a z tohoto abstraktního potrubí lze určit rod mnohostěnů. Mezi příklady patří rod-1. octahemioctahedron, rod-3 malý cubicuboctahedron a rod-4 velký dvanáctistěn.

Korunní mnohostěn

Pětiúhelníkový stephanoid. Tento stephanoid má pětiúhelník dihedrální symetrie a má stejné vrcholy jako uniforma pětiúhelníkový hranol.

A korunní mnohostěn nebo stephanoid je toroidní mnohostěn, který také je ušlechtilý být oba isogonal (stejné vrcholy) a isohedrální (stejné tváře). Korunní mnohostěny se protínají samy a topologicky self-dual.[14]

Viz také

Reference

  1. ^ Whiteley (1979); Stewart (1980), str. 15.
  2. ^ Webber, William T. (1997), „Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids“, Geometriae Dedicata, 67 (1): 31–44, doi:10.1023 / A: 1004997029852, PAN  1468859.
  3. ^ Whiteley, Walter (1979), „Realizovatelnost mnohostěnů“ (PDF), Strukturální topologie (1): 46–58, 73, PAN  0621628.
  4. ^ Branko Grünbaum, Lajos Szilassi, Geometrické realizace speciálních toroidních komplexů, Příspěvky k diskrétní matematice, svazek 4, číslo 1, strany 21-39, ISSN 1715-0868
  5. ^ Ákos Császár, Mnohostěn bez úhlopříček., Bolyai Institute, University of Szeged, 1949
  6. ^ Császár, A. (1949), "Mnohostěn bez úhlopříček", Acta Sci. Matematika. Segedín, 13: 140–142.
  7. ^ Ziegler, Günter M. (2008), „Polyhedral Surfaces of High Genus“, Bobenko, A. I .; Schröder, P .; Sullivan, J. M.; Ziegler, G. M. (eds.), Diskrétní diferenciální geometrieSemináře Oberwolfach, 38, Springer-Verlag, str. 191–213, arXiv:math.MG/0412093, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN  978-3-7643-8620-7.
  8. ^ Szilassi, Lajos (1986), „Pravidelné toroidy“ (PDF), Strukturální topologie, 13: 69–80[trvalý mrtvý odkaz ].
  9. ^ Heawood, P. J. (1890), "Věty o zbarvení mapy", Čtvrtletní J. Math. Oxford Ser., 24: 322–339
  10. ^ Webb, Robert (2000), „Stella: polyhedron navigator“, Symetrie: Kultura a věda, 11 (1–4): 231–268, PAN  2001419.
  11. ^ Stewart, B. M. (1980), Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces (2. vyd.), B. M. Stewart, ISBN  978-0-686-11936-4.
  12. ^ Stewart (1980), str. 15.
  13. ^ Stewart (1980) „Kvazi-konvexnost a slabá kvazi-konvexnost“, s. 76–79.
  14. ^ Grünbaum, Branko (1994), „Mnohostěn s dutými tvářemi“, Polytopes: Abstract, Convex and Computational„NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series, 440„Kluwer Academic Publishers, s. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3. Viz zejména str. 60.

externí odkazy